/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 534
от 21.12.2007, 13:35

Вопрос № 114.131

Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить 4примера: 1.найти экстремум w=x^2-2xy+4y^2+x+y 2.частную производную 1 порядка и дифференциал z=(sin x)*y 3.частную производную 2 порядка и дифференциал w=x*sin y+2cos x/2 4.частную производную сложной функции и дифференциал w=y^3*x^5

Отправлен: 15.12.2007, 13:57 Вопрос задала: Tatka001 (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: Грейс Флетчер Здравствуйте, Tatka001! 1) ∂w/∂x = 2x-2y+1, ∂²w/∂x² = 2 ∂w/∂y = -2x+8y+1, ∂²w/∂y² = 8, ∂²w/∂x∂y = -2 D(x0,y0) = ∂²w/∂x²*∂²w/∂y² - (∂²w/∂x∂y)² = 12. Чтобы точка (x0, y0) была экстремумом функции <=> ∂w/∂x(x0, y0) = 0, ∂w/∂y(x0, y0) = 0, D(x0, y0) > 0. Т.е. 2x-2y+1 = 0, -2x+8y+1 = 0 => x = -5/6, y = -1/3. D = 12 > 0 => точка (-5/6, -1/3) является экстремумом функции. Т.к. ∂²w/∂x² = 2 > 0 => это точка минимума. 2) ∂z/∂x = (cosx)*y, ∂z/∂y = sinx, dz = ((cosx)*y)dx + (sinx)dy 3) ∂w/∂x = siny - sin(x/2), ∂²w/∂x² = -cos(x/2)/2 ∂w/∂y = x*cosy, ∂²w/∂y² = -x*siny, ∂²w/∂x∂y = cosy d²w = ∂²w/∂x²*dx² + 2*∂²w/∂x∂y*dxdy + ∂²w/∂x²*dy² = -cos(x/2)/2*dx² + 2cosy*dxdy - x*siny*dy² 4. Не совсем понятно, какая именно функция имеется в виду. w = y3x5 не есть сложная функция, ну либо не указана дополнительная зависимость x(t), y(t) - или что-нибудь подобное. Если же просто w = y3x5 => ∂w/∂x = 5y3x4 ∂w/∂y = 3y2x5 dw = 5y3x4dx + 3y2x 5dy Дополнено решение (см. мини-форум) ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Профессионал) ∙ Дата редактирования: 16.12.2007, 12:19

Ответ отправила: Грейс Флетчер (статус: Студент) Ответ отправлен: 15.12.2007, 17:10

Вопрос № 114.152

Здравствуйте эксперты. сейчас разбираюсь с рядом Фурье не могу разложить в ряд y=x на промежутке от -pi до pi, а точне не могу посчитать Bk, как из интеграла получается -1 в степени??

Отправлен: 15.12.2007, 17:03 Вопрос задал: Tribak (статус: 8-ой класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Casper2005 Здравствуйте, Tribak! (-1)^k получается от cos(pi*k), так как cos(pi*k)=(-1)^n (1, -1, 1, -1 и т. д.) Bk=( -2*(-1)^k)/k

Ответ отправила: Casper2005 (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 15.12.2007, 17:15 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 114.209

помогите пожалуйста с графиком y=(x*x-1)/(x*x+2) Приложение: решила и хочу проверить

Отправлен: 16.12.2007, 00:22 Вопрос задала: Руслана Евгеньевна Бренц (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: Грейс Флетчер Здравствуйте, Руслана Евгеньевна Бренц! 3) Асимптоты. y=(x*x-1)/(x*x+2) = (1 - 1/x²)/(1 + 2/x²) => при x -> ±oo 1/x² и 2/x² -> 0 => y -> 1 То есть y=1 - асимптотическая линия для y=(x*x-1)/(x*x+2) Других асимптот нет, т.к. (см теорему 7.1 ) f(x)/x =(x - 1/x)/(x*x+2) = (1 - 1/x²)/(x + 2/x) -> 0 и b = lim |f(x)| -> 1 при x -> ±oo - единственный возможный вариант. 5-6) монотонность, выпуклость и вогнутость. y' = (2x(x²+2) - 2x(x²-1))/(x²+2)² = 6x/(x²+2)² y' = 0 <=> x=0 - единственная точка экстремума. Т.к. y''(0) > 0 (см ниже), то это точка локального минимума. y' < 0 при x < 0 - на промежутке (-оо, 0) функция убывает y' > 0 при x > 0 - на промежутке (-оо, 0) функция возрастает y'' = (6(x²+2)² - 2(x²+2)²*2x*6x)/(x²+2)4 = (12 - 18x²)/(x²+2)3 y'' = 0 при х = ±√(2/3) - это точки перегиба y'' > 0 при х принадлежащем (-√(2/3), √(2/3)) - на этом промежутке функция вогнута y'' < 0 при х принадлежащем (-oo, -√(2/3)), (√(2/3), +oo) - на этих промежутках функция выпукла.

Ответ отправила: Грейс Флетчер (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.12.2007, 10:09 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: спасибо у меня всё сошлось

Вопрос № 114.221

помогите пожалуйста не могу сделать эти задания даны координаты вершин треугольной пирамидыА1А2А3А4 А1(7,7,3) А2(6,5,8,) А3(3,5,8,) А4(8,4,1) НАЙТИ: 1)УГОЛ МЕЖДУ РЕБРОМ А1А4 и гранью А1А2А3 2)расстояние от вершины А4 до грани А1А2А3 3)проекцию вектора А1А3 на А1А4 4)угол между ребер А1А2 и А1А4 Дополнено условие ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Профессионал) ∙ Дата редактирования: 16.12.2007, 01:52 Приложение: помогите,плиз это срочно

Отправлен: 16.12.2007, 01:39 Вопрос задала: Руслана Евгеньевна Бренц (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: Грейс Флетчер Здравствуйте, Руслана Евгеньевна Бренц! Подробно ваши вопросы освещаются здесь: аналитическая геометрия, а что касается вашей задачи: Координаты векторов А1А2 (-1,-2,5), A1A3(-4,-2,5), A1A4(1,-3,-2). Плоскость А1А2А3: уравнение плоскости по трем точкам определяется приравниванием к нулю определителя | x y z 1 | | x0 y0 z0 1 | | x1 y1 z1 1 | | x2 y2 z2 1 | = | x y z 1 | | 7 7 3 1 | | 6 5 8 1 | | 3 5 8 1 | => 5y + 2z - 41 = 0 1) Угол между прямой и плоскостью sinφ = |Al+Bm+Cn|/(√(A²+B²+C²)√(l²+m²+n²)), где (l,m,n) - это координаты направляющего вектора, в нашем случае А1А4(1,-3,-2), а А, В, С - соответствующие коэффициенты из уравнения плоскости, А = 0, В = 5, С = 2. sinφ = |-15-4|/(√(25+4)√(1+9+4)) = 19/(√29√14) 2)Расстояние от точки до плоскости d = |Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²) = 22/√29 3) Другими словами, требуется найти основание перпендикуляра А3М к прямой (А1А4). Т.к. М(x0, y0, z0) лежит на этой прямой, то OM = OA1 + k*A1A4 = (7,7,3) + k(1,-3,-2) = (7+k,7-3k,3-2k) - координаты точки М => A3M(7+k-3,7-3k-5,3-2k-8) = (4+k,2-3k,-2k-5) Т.к. A3M перпендикулярен А1А4 => их скалярное произведение = 0 = 4+k-3(2-3k)+2(2k+5) = 4+k-6+9k+4k+10 = 14k + 8 => k = -4/7 => проекция А1А3 на А1А4 (вектор А1М) имеет координаты k*A1A4 = (-4/7, 12/7, 8/7) 4) Косинус угла между векторами cosφ = скалярное произведение этих векторов, деленное на их длины. А1А2 (-1,-2,5), A1A4(1,-3,-2). cosφ = (-1+6-10)/(√30*√14) = -√5/2√21

Ответ отправила: Грейс Флетчер (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.12.2007, 09:22 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: спасибо

Вопрос № 114.238

Доброго времени суток! Мне нужна ваша помощь в решении задачи Решить матричное уравнение. X* |1 2 2| |1 3 2| |1 1 3| = |4 -3 6| |5 -2 9| |3 7 2|. Если возможно то поподробнее. Заранее благодарен.

Отправлен: 16.12.2007, 10:01 Вопрос задал: Alex Bond (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Alex Bond! Перепишем уравнение в виде X * A = B, где A = (1 2 2) (1 3 2) (1 1 3), B = (4 -3 6) (5 -2 9) (3 7 2). Тогда X = B * A-1. Найдём A-1 по формуле: A-1 = 1/|A| * (A11 A21 A31) (A12 A22 A32) (A13 A23 A33), где A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33 — алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A. Определитель |A| вычислим по правилу треугольника: |A| = 1*3*3 + 2*2*1 + 2*1*1 - (2*3*1 + 2*1*3 + 1*2*1) = 1. A11 = (-1)1+1 * |3 2| |1 3| = = 3*3 - 2*1 = 7, A12 = (-1)1+2 * |1 2| |1 3| = = -(1*3 - 2*1) = -1, A13 = (-1)1+3 * |1 3| |1 1| = = 1*1 - 3*1 = -2, A21 = -4, A22 = 1, A23 = 1, A31 = -2, A32 = 0, A33 = 1. Значит, A-1 = (7 -4 -2) (-1 1 0) (-2 1 1). X = (4 -3 6) (5 -2 9) (3 7 2) * (7 -4 -2) (-1 1 0) (-2 1 1) = (19 -13 -2) (19 -13 -1) (10 -3 -4). Ответ: X = (19 -13 -2) (19 -13 -1) (10 -3 -4).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Профессионал) Россия, Набережные Челны Организация: Набережночелнинский гос. пед. институт (кафедра математики и методики её преподавания) WWW: НГПИ ICQ: 419442143 ---- Ответ отправлен: 19.12.2007, 17:36

Вопрос № 114.241

Доброго времени суток! Мне нужна ваша помощь в решении задачи Неизвестное X2 найти по формуле Крамера. (Всё в фигурной скобке) X1 + X2 - 7X3 - X4 = 6 X1 + 4X2 + 2X3 - X4 = 0 __ + 3X2 - 4X3 - X4 = 6 X1 + X2 ____ + 3X4 = 3 Если возможно то поподробнее. Заранее благодарен.

Отправлен: 16.12.2007, 10:08 Вопрос задал: Alex Bond (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Alex Bond! Вычислим определитель основной матрицы: Δ = |1 1 -7 -1| |1 4 2 -1| |0 3 -4 -1| |1 1 0 3| разложением по первому столбцу: Δ = 1 * |4 2 -1| |3 -4 -1| |1 0 3| - 1 * |1 -7 -1| |3 -4 -1| |1 0 3| + 0 * |1 -7 -1| |4 2 -1| |1 0 3| - 1 * |1 -7 -1| |4 2 -1| |3 -4 -1| = 1 * [4*(-4)*3 + 2*(-1)*1 + (-1)*3*0 - (-1)*(-4)*1 - 2*3*3 - 4*(-1)*0] - 1 * [1*(-4)*3 + (-7)*(-1)*1 + (-1)*3*0 - (-1)*(-4)*1 - (-7)*3*3 - 1*(-1)*0] - 1 * [1*2*(-1) + (-7)*(-1)*3 + (-1)*4*(-4) - (-1)*2*3 - (-7)*4*(-1) - 1*(-1)*(-4)] = = -72 - 54 - 9 = -135. Δ2 = |1 6 -7 -1| |1 0 2 -1| |0 6 -4 -1| |1 3 0 3| вычислим разложением по первому столбцу: Δ2 = 1 * |0 2 -1| |6 -4 -1| |3 0 3| - 1 * |6 -7 -1| |6 -4 -1| |3 0 3| + 0 * |6 -7 -1| |0 2 -1| |3 0 3| - 1 * |6 -7 -1| |0 2 -1| |6 -4 -1| = 1 * [0*(-4)*3 + 2*(-1)*3 + (-1)*6*0 - (-1)*(-4)*3 - 2*6*3 - 0*(-1)*1] - 1 * [6*(-4)*3 + (-7)*(-1)*3 + (-1)*6*0 - (-1)*(-4)*3 - (-7)*6*3 - 6*(-1)*0] - 1 * [6*2*(-1) + (-7)*(-1)*6 + (-1)*0*(-4) - (-1)*2*6 - (-7)*0*(-1) - 6*(-1)*(-4)] = = -54 - 63 - 18 = -135. x2 = Δ2/Δ = -135/(-135) = 1. Ответ: x2 = 1.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Профессионал) Россия, Набережные Челны Организация: Набережночелнинский гос. пед. институт (кафедра математики и методики её преподавания) WWW: НГПИ ICQ: 419442143 ---- Ответ отправлен: 20.12.2007, 12:25

Вопрос № 114.244

Доброго времени суток! Мне нужна ваша помощь в решении задачи Заданы вершины треугольника ABC Написать уравнения всех сторон треугольника; задать множества внутрених точек треугольника. Если: A (7;2) B (-4;1) C (1;-7) Если возможно то поподробнее. Заранее благодарен.

Отправлен: 16.12.2007, 10:50 Вопрос задал: Alex Bond (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Dayana Здравствуйте, Alex Bond! уравнение прямой пишем по формуле: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) прямая AB (х-7)/(-4-7) = (у-2)/(1-2) (х-7)/11 = (у-2)/1 у = (1/11)*х + (15/11) прямая ВС (х+4)/(1+4) = (у-1)/(-7-1) (х+4)/5 = (у-1)/(-8) у = (-8/5)*х - (27/5) прямая АС (х-7)/(1-7) = (у-2)/(-7-2) (х-7)/2 = (y-2)/3 у = (3/2)*х - (17/2) Множество внутренних точек задает система неравенств: у < (1/11)*х + (15/11) у > (-8/5)*х - (27/5) у > (3/2)*х - (17/2)

Ответ отправила: Dayana (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.12.2007, 11:15 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо огромное, что вы есть, что вы помогаете людям в сложных для учёбы ситуациях и в повседневном труде.

Отвечает: Грейс Флетчер Здравствуйте, Alex Bond! Уравнение прямой y = ax + b. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две конкретные точки, подставим координаты этих точек в уравнение и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Прямая, проходящая через А и В 2 = 7a + b 1 = -4a + b => a = 1/11, b = 15/11 => y = x/11 + 15/11 Прямая, проходящая через А и C 2 = 7a + b -7 = a + b => a = 3/2, b = -17/2 => y = 3x/2 - 17/2 Прямая, проходящая через В и С 1 = -4a + b -7 = a + b => a = -8/5, b = -27/5 => y = -8x/5 - 27/5 Треугольник расположен ниже прямой (АВ) => координата y его внутренних точек - меньше, чем x/11 + 15/11 => y < x/11 + 15/11 Но треугольник лежит выше, чем прямые (ВС) или (АС) => координата y его внутренних точек - больше, чем 3x/2 - 17/2 или -8x/5 - 27/5 Итак, множество внутренних точек треугольника с координатами (x,y) описывается условиями y < x/11 + 15/11 y > 3x/2 - 17/2 y > -8x/5 - 27/5

Ответ отправила: Грейс Флетчер (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.12.2007, 11:28 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо огромное, что вы есть, что вы помогаете людям в сложных для учёбы ситуациях и в повседневном труде.

Вопрос № 114.268

Уважаемые Эксперты, пожалуйста, помогите вычислить интеграл ∫ (x^5-x^2)/(x^3-8) dx, и вычислить предел, используя разложение по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Пеано lim(x->0) (sqr(1+x^3)-2*e^x+x+1)/(x-sin(x))

Отправлен: 16.12.2007, 13:10 Вопрос задал: Елагин Андрей Викторович (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Грейс Флетчер Здравствуйте, Елагин Андрей Викторович! 1) ∫(x5-x²)/(x³-8) dx = ∫(x²(x³-8) + 7x²)/(x³-8) dx = ∫x²dx + ∫7x²/(x³-8) dx = x³/3 + ∫7x²/((x-2)(x²+2x+4)) dx + Const Далее, разложим дробь 7x²/((x-2)(x²+2x+4)) на сумму дробей с пока неизвестными коэффициентами 7x²/((x-2)(x²+2x+4)) = А/(x-2) + (Вх+С)/(x²+2x+4) А/(x-2) + (Вх+С)/(x²+2x+4) = А(x²+2x+4)/((x-2)(x²+2x+4)) + (Bx²-2Bx+Cx-2C)/((x-2)(x²+2x+4)) = ((A+B)x²+(2A-2B+C)x+(4A-2C))/((x-2)(x²+2x+4)) => A+B = 7, 2A-2B+C = 0, 4A-2C = 0 => A = 7/3, B = C = 14/3 Итак, интеграл ∫7x²/((x-2)(x²+2x+4)) dx раскладывается на сумму двух интегралов ... = ∫[7/(3(x-2)) + 14(x+1)/(3(x²+2x+4))]dx = ∫7dx/(3(x-2)) + ∫14(x+1)/(3(x²+2x+4))dx ∫7dx/(3(x-2)) = ∫7d(x-2)/(3(x-2)) = 7ln(x-2)/3 + Const. ∫14(x+1)dx/(3(x²+2x+4)) = ∫7d(x²+2x+4)/(3(x²+2x+4)) = 7ln(x²+2x+4)/3 + Const Итак, наш интеграл "собирается" из трех интегралов, и в сумме получается ответ: ∫(x5-x²)/(x³-8) dx = x³/3 + 7ln(x-2)/3 + 7ln(x²+2x+4)/3 + Const

Ответ отправила: Грейс Флетчер (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.12.2007, 14:04 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: большое спасибо, что помогли мне вычислить интеграл, но мне больше нужно решение второго вопроса, про предел

Вопрос № 114.269

даны координаты вершин пирамиды А1(7,7,3) А2(6,5,8) А3(3,5,8) А4(8,4,1) написать уравнение плоскости А1А2А3 у меня получилось 15у-6z-123=0 это правильно или нет? проверьте пожалуйста Приложение: срочно

Отправлен: 16.12.2007, 13:10 Вопрос задала: Руслана Евгеньевна Бренц (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Грейс Флетчер Здравствуйте, Руслана Евгеньевна Бренц! Нет, у вас неправильно. Правильный ответ 15y + 6z - 123 = 0 Проверьте - подставьте в это уравнение вместо x,y,z координаты точек.

Ответ отправила: Грейс Флетчер (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.12.2007, 13:23 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Dayana Здравствуйте, Руслана Евгеньевна Бренц! х-7 y-7 z-3 6-7 5-7 8-3 3-7 5-7 8-3 -10(x-7)-20(y-7)+2(z-3)-8(z-3)+10(x-7)+5(y-7)=0 -15(y-7)-6(z-3)=0 15y+6z-123=0

Ответ отправила: Dayana (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.12.2007, 13:28 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Casper2005 Здравствуйте, Руслана Евгеньевна Бренц! Цифры верные, а знаки нет Должно быть -15у-6z+123=0

Ответ отправила: Casper2005 (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 16.12.2007, 14:28 Оценка за ответ: 5

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.65 от 04.12.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru