/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 517
от 04.12.2007, 05:05

Вопрос № 111.359

Уважаемые эксперты,помогите,пожалуйста, в решении следующей задачи: найти пределы: 1) lim при х--> бескон. числитель (корень 3-й ст. из 8*х^5+3)+7х-1: знаменатель (3х+1)^2 - 9(х+2)^2 2) lim при х--> -2, числитель cos piх/3* (ln (7+х) - ln (1-2х)), знаменатель (корень 5-й степени из 9+4х) -1. Пробовала сама решить разными способами, но что-то не получается. Заранее благодарна

Отправлен: 28.11.2007, 12:08 Вопрос задала: Овчинникова Алла Николаевна (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Крючков Павел Геннадьевич !!! Здравствуйте, Овчинникова Алла Николаевна! 1) lim(((8*х^5 + 3)^(1/3) + 7x - 1)/((3х + 1)^2 - 9*(х + 2)^2)) = = lim(((8/х + 3/x^6)^(1/3) + 7/x - 1/x^2)/((3 + 1/x)^2 - 9*(1 + 2/x)^2)) = = (0 + 0 - 0)/(3^2 - 9*1^2) = 0 Предел вычислен неправильно. Правильное решение в следующем ответе. ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 29.11.2007, 23:03

Ответ отправил: Крючков Павел Геннадьевич (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 28.11.2007, 12:34 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Овчинникова Алла Николаевна! В предыдущем ответе первый предел вычислен неправильно. Приведу правильное решение. 1) limx→∞[(8x5+3)1/3+7x-1]/[(3x+1)²-9(x+2)²] = {раскладываем знаменатель на множители по формуле разности квадратов} = limx→∞[(8x5+3)1/3+7x-1]/[(3x+1-3(x+2))(3x+1+3(x+2))] = limx→∞[(8x5+3)1/3+7x-1]/[-5(6x+7)] = {делим числитель и знаменатель на x} = limx→∞[(8x²+3/x³)1/3+7-1/x]/[-5(6+7/x)] = (∞1/3+7-0)/(-5(6+0)) = ∞/(-30) = -∞.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 29.11.2007, 23:03 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Овчинникова Алла Николаевна! 2) lim при х--> -2, числитель cos piх/3* (ln (7+х) - ln (1-2х)), знаменатель (корень 5-й степени из 9+4х) -1. Используем правило Лопиталя: предел отношения фукнций при стремлении этих функций к нулю равен пределу отношения производных этих функций. cos(πx/3)=-1/2 всего лишь коэффициент. Остаётся (ln(7+х)-ln(1-2х))/((9+4х)1/5-1). f(x)=ln(7+х)-ln(1-2х) и f'(x)=1/(7+х)+2/(1-2х)→3/5 при x→-2. g(x)=(9+4х)1/5-1 и g'(x)=4/5(9+4х)-4/5→4/5 при x→-2. Итого limx→-2cos(πx/3)(ln(7+х)-ln(1-2х))/((9+4х)1/5-1)=limx→-2cos(πx/3)(1/(7+х)+2/(1-2х))/(4/5(9+4х)-4/5)=(-1/2)(3/5)/(4/5)=-3/8.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Практикант) Ответ отправлен: 01.12.2007, 08:35 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 111.390

Помогите пожалуйста найти пределы по правилу Лопиталя: 1) lim(3tg4x-12tgx)/(3sin4x-12sinx) при x-->0 2) lim(x/(x-1))-(1/lnx) при x-->бесконечность

Отправлен: 28.11.2007, 16:30 Вопрос задала: Людмила I Am (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Людмила I Am! 1) limx→0(3tg(4x)-12tg(x))/(3sin(4x)-12sin(x)) = = {применяем правило Лопиталя} = = limx→0(3tg(4x)-12tg(x))'/(3sin(4x)-12sin(x))' = = limx→0(12/cos²4x-12/cos²x)/(12cos(4x)-12cos(x)) = = limx→0(1/cos²4x-1/cos²x)/(cos(4x)-cos(x)) = = limx→0(cos²x-cos²4x)/[cos²4x*cos²x(cos(4x)-cos(x))] = = {раскладываем числитель на множители по формуле разности квадратов} = = limx→0(cos(x)-cos(4x))(cos(x)+cos(4x))/[cos²4x*cos²x(cos(4x)-cos(x))] = = limx→0(cos(x)+cos(4x))/(-cos²4x*cos²x) = = (1+1)/(-1²1²) = -2.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 29.11.2007, 23:27 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 111.394

Уважаемые эксперты помогите решить задание,только плиз основываясь на правила по теории вероятности. 1.Из колоды ,в которой сдержится 32 карты выбирается без возвращения две карты.Определить вероятность того,что будут выбраны карты разных значений. Надеюсь на помощь.Жду с нетерпением ответа.

Отправлен: 28.11.2007, 17:15 Вопрос задала: Yana2317 (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 6)

Отвечает: piit !!! Здравствуйте, Yana2317! 1.Из колоды ,в которой сдержится 32 карты выбирается без возвращения две карты.Определить вероятность того,что будут выбраны карты разных значений. Решение. 4 шестерки, 4 семерки, ..., 4 десятки, 4 вальта, .., 4 туза - итого 9 карт имеют разные значения. P(A)=9/[C_32^2]=9:(32!/[30!*2!])=9*2/[31*32]=9/[31*16]=9/496 C_32^2 - это число сочетаний из 32 по 2 (32 - нижний индекс, 2 - верхний) Ответ:9/496 Решение неверное. Правильное решение в следующем ответе. ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 03.12.2007, 20:59 --------- От алгоритмов к суждениям + самообучение

Ответ отправил: piit (статус: Студент) Ответ отправлен: 28.11.2007, 17:33 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Yana2317! Две карты из тридцати двух можно выбрать C232 = 32*31/(1*2) = 496 способами. Две карты с одинаковым значением можно выбрать 8 * C24 = 8 * 4*3/(1*2) = 48 способами. Следовательно, вероятность вытащить две карты с одинаковым значением равна p = 48/496 = 3/31, а вероятность вытащить две карты с разными значениями равна 1 - p = 28/31. Ответ: 28/31.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 03.12.2007, 20:58 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: спасибо большое.Очень полный и хорошо расписанный ответ.

Вопрос № 111.402

Здраствуйте,помогите мне решить задание по высшей математике, заранее премного благодарен. Задание №1.Построить графики функции путем сдвигов и деформаций: y=1/x-1 +2

Отправлен: 28.11.2007, 18:10 Вопрос задал: Понасенков Илья Адександрович (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Понасенков Илья Адександрович! Начальный график это график гиперболы 1/х. 1) Строим график 1/х 2) 1/(х-1) : делаем смещение графика относительно оси ОХ вправо на 1 единицу. 3) 1/(х-1) + 2 : смещение графика относительно оси ОY вверх на 2 единицы. Вот получившийся график: Good Luck!!! --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 28.11.2007, 18:41 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: спасибо

Вопрос № 111.417

Здравствуйте... помоги посчитать предел НЕ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ!!! lim((2x**2-9x+4)/(sqrt(5-x)-sqrt(x-3))), где х**2- х в квадрате, предел стремиться к 4 и как вообще не пользуясь правилом лопиля счиать? спасибки!

Отправлен: 28.11.2007, 19:01 Вопрос задала: Blondinka b b (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Blondinka b b! limx->4 (2x2-9x+4)/(√(5-x)-√(x-3)) = {домножим числитель и знаменатель на √(5-x)+√(x-3)} = = limx->4 (2x2-9x+4)(√(5-x)+√(x-3))/(√(5-x)-√(x-3)(√(5-x)+√(x-3))) = = limx->4 (2x2-9x+4)(√(5-x)+√(x-3))/(8-2x) = {2x2-9x+4 разложим на множители 2x2-9x+4 = (2x-1)(x-4)} = limx->4 (2x-1)(x-4)(√(5-x)+√(x-3))/(8-2x) = = limx->4 (2x-1)(x-4)(√(5-x)+√(x-3))/(x-4)(-2) = limx->4 (2x-1)(√(5-x)+√(x-3))/(-2) = (2*4-1)(1+1)/(-2) = -7. Good Luck!!! --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 28.11.2007, 19:18 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Blondinka b b! В ответ на Ваш вопрос про правил Лопиталя: По правилу Лопиталя Вы заменяете предел отношения фукнций пределом отношения производных этих функций. В Вашем случае это было бы limx→4 (2x2-9x+4)/(√(5-x)-√(x-3)) = limx→4 (4x-9)/(-1/(2√(5-x))-1/(2√(x-3))) Как видите ни числитель, ни знаменатель теперь в 0 не превращаются и можно просто поситать их значение при x=4. (4*4-9)/(-1/(2√(5-4))-1/(2√(4-3)))=-7

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Практикант) Ответ отправлен: 01.12.2007, 07:32

Вопрос № 111.427

Найти предлы, использую правило Лопиталя: а). lim(x(lnx)^3) x стремится к 0 б). lim(x^2(1-e^(1/x))) x стремится к бесконечности в). lim((sin x + cos x)/(x+p/4)) x стремится к p/4 (p-пи) г). lim((ln(1+x)-ln2)/(√(1+2x)-3^(x-1/2))) x стремится к 1 д). lim(x+√(x))^1/x x стремится к бесконечности e). lim(ln ln(x^2-3)/ln(x-2)) x стремится к 2 ж). lim (sinx + √(x))^x x стремится к 0 з). lim arcsin x/sin s x стремится к 0

Отправлен: 28.11.2007, 20:15 Вопрос задала: Kamelia26 (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Kamelia26! а) limx→0x*ln³x = limx→0ln³x/(1/x) = = {применим правило Лопиталя} = = limx→0(ln³x)'/(1/x)' = limx→0(3ln²x*1/x)/(-1/x²) = limx→0(-3ln²x)/(1/x) = = {применим правило Лопиталя во второй раз} = = limx→0(-3ln²x)'/(1/x)' = limx→0(-6ln(x)*1/x)/(-1/x²) = limx→0(6ln(x))/(1/x) = = {в третий раз воспользуемся правилом Лопиталя} = = limx→0(6ln(x))'/(1/x)' = limx→0(6/x)/(-1/x²) = limx→0(-6x) = 0.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 29.11.2007, 23:42

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Kamelia26! e). limx→2ln(ln(x2-3))/ln(x-2) = {применяем правило Лопиталя} = limx→2 (2x/((x2-3)*ln(x2-3)))/1/(x-2) = limx→2 2x*(x-2)/((x2-3)*ln(x2-3)) = = {применяем правило Лопиталя повторно} = limx→2 (4x - 4)/(2x + 2x*ln(x2-3)) = (4*2-4)/(2*2 + 2*0) = 4/4 = 1. Good Luck!!! --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 30.11.2007, 00:40

Вопрос № 111.458

здравствуйте, уважаемые эксперт, помогите пожалуйста с задачами по теории вероятности.1.Из колоды,в которой содержится 52 карты выбирается 4 карты,причем каждая из них после определения масти и значения возвращается в колоду. определить вероятность того, что будет выбрано две карты одного значения, а две - другого. 2.Во время эстафетных соревнований по биатлону каждому участнику требуется поразить на огневом рубеже 5 мишеней, имея для этого 7 патронов.Вероятность попадания в мишень при выстреле составляет 0.9.Определить вероятность того, что все мишени будут поражены первыми же пятью выстрелами.

Отправлен: 28.11.2007, 22:44 Вопрос задала: Ерохина Сонька (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Ерохина Сонька! здравствуйте, уважаемые эксперт, помогите пожалуйста с задачами по теории вероятности. 1.Из колоды,в которой содержится 52 карты выбирается 4 карты,причем каждая из них после определения масти и значения возвращается в колоду. определить вероятность того, что будет выбрано две карты одного значения, а две - другого. 2.Во время эстафетных соревнований по биатлону каждому участнику требуется поразить на огневом рубеже 5 мишеней, имея для этого 7 патронов. Вероятность попадания в мишень при выстреле составляет 0.9.Определить вероятность того, что все мишени будут поражены первыми же пятью выстрелами. 1. Судя по условию, карты вынимаются по одной, а потом возвращаются обратно. Вероятность вынуть какое-то определённое значение равна 4/52=1/13. Тогда задача может быть переформулирована как 4 позиции в которых может быть число от 1 до 13 (цифры 0-12 в 13-ричной системе счисления). Найти вероятность, что есть 2 различных пары одинаковых чисел (в 13-ричной системе число составлено из 2-х цифр, каждая цифра встречается по 2 раза). Есть C213 способов выбрать числа (цифры). Есть C24 способов выбора расстановки чисел в 4 позициях. Итого, C213C24 искомых способов. Всего способов (чисел в 13-ричной системе) 134. Вероятность подходящего события C213C24/134=18/133 2. Так как события независимы, то вероятность совместного события считаем как произведение вероятностей отдельных событий (0,9)5. Будут вопросы - пишите.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Практикант) Ответ отправлен: 01.12.2007, 07:13

Вопрос № 111.470

Уважаемые эксперты, помогите, пожалуйста доказать расходимость ряда 1/((n+1)*ln(n)) не испобьзуя при этом интегральный признак, а только признаки Даламбера, Коши, сравнения, и Критерий Коши. Пожалуйста, Побыстрей!!!!!! заранее спасибо!!

Отправлен: 28.11.2007, 23:43 Вопрос задал: Ивинский Антон (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Ивинский Антон! Уважаемые эксперты, помогите, пожалуйста доказать расходимость ряда 1/((n+1)*ln(n)) не испобьзуя при этом интегральный признак, а только признаки Даламбера, Коши, сравнения, и Критерий Коши. Пожалуйста, Побыстрей!!!!!! заранее спасибо!! Я Вам приведу доказательство с использованием только элементарной математики путём повторного использования способа доказательства расходимости гармонического ряда ∑1/n. Сначала напомню сам способ. Веcь ряд мы разбиваем на частичные суммы от n=2k-1+1 до n=2k. Каждый член суммы больше последнего 1/2k. Таких членов 2k-1. Частичная сумма больше (1/2k)2k-1=1/2. Сумма k частичных сумм больше k/2, т.е. неограничена. Теперь показываем как этот же принцип применим к нашему ряду. Точно так же разбиваем на группы от n=2k-1+1 до n=2k. Каждый член суммы больше последнего 1/[2kln(2k-1)]>1/[2kln(2k)]=1/[2kkln2]. Таких членов 2k-1. Частичная сумма больше (1/[2kkln2])2k-1=1/(2kln2). Таким образом, сумма k частичных сумм больше ∑1/(2nln2)=1/(2ln2)∑1/n, т.е. больше суммы гармонического ряда, который кка мы уже доказали расходится. Будут вопросы - пишите.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Практикант) Ответ отправлен: 01.12.2007, 06:41 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Ответ хороший, прямо по теме. Точно так же разбиваем на группы от n=2k-1+1 до n=2k. Каждый член суммы больше последнего 1/[2kln(2k-1)]>1/[2kln(2k)]=1/[2kkln2]. В этом месте немного не понятно. Видимо, имелось ввиду Точно так же разбиваем на группы от n=2"(k-1) до n=2"(k) -1 А ещё не очень понятно, как посчитать сумму к частичных сумм.в остаольном я разобрался. Спасибо, ответ хороший.

Вопрос № 111.471

мне нужно нарисовать в пространстве пирамиду по заданным точкам. А1(0,0,5) А2(-3,0,1) А3(4,0,2) А4(1,5,2) P.S.И еще вопрос часто приходится особенно при вычислении объемов и площадей при помощи интегралов, смотреть пересечение различных поверхностей. Кто нибудь знает в какой программке можно нарисовать и увидеть, так как у меня большие проблемы с пространственным восприятием. Всегда были с этим проблемы. Может кто даст ссылку на ресурс. Заранее спасибо

Отправлен: 28.11.2007, 23:46 Вопрос задала: lyalya (статус: 2-ой класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, lyalya! мне нужно нарисовать в пространстве пирамиду по заданным точкам. А1(0,0,5) А2(-3,0,1) А3(4,0,2) А4(1,5,2) Я в таких случаях пользуюсь изометрической проекцией. Рисуете 3 луча из одной точки под 120 градусов. Вертикальный луч - ось Z. (на часах 12 часов) Луч влево вниз - ось X. (на часах 8 часов) Луч вправо вниз - ось Y. (на часах 4 часа) Вы как бы смотрите со стороны луча x=y=z, т.е. строите проекцию на плоскость x+y+z=0. В такой проекции все компоненты равнозначны. Теперь как построить точку (x, y, z): - откладываете отрезок, равныый x вдоль луча X (на 8 часов) - от этой точки откладываете отрезок, равныый y, параллельно лучу Y (на 4 часа) - теперь вверх откладываете отрезок равный z. Получаются абсолютно корретные (с точностью до масштаба) проекции на плоскость x+y+z=0. Другая проекция используемая в чертежах (не ортогональная). Ось X смотрит на 7:30 по часам. Ось Y смотрит на 3:00 по часам. Ось Z смотрит на 12:00 по часам. По осям Y и Z отклавдываете отрезки без изменения масштаба. По оси X делите координату x пополам. Этой проекции нас учили на уроках черчения.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Практикант) Ответ отправлен: 01.12.2007, 06:23 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо. Все поняла. Метод понятный. Нас этому вообще не учили.

Вопрос № 111.484

Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить уравнение: Найти корни z уравнения (-2-3i)*z^-6+(-1+5i)*z^-3+(15-10i)=0 записать их в алебраической форме и изобразить на комплексной плоскости Это из темы комплексные числа. Не очень понятно, как вычислять корень из коплексного числа, если решать как квадратное уравнение? Спасибо

Отправлен: 29.11.2007, 01:55 Вопрос задал: Кошапов Эльнар (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Кошапов Эльнар ! Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить уравнение: Найти корни z уравнения (-2-3i)*z^-6+(-1+5i)*z^-3+(15-10i)=0 записать их в алебраической форме и изобразить на комплексной плоскости Это из темы комплексные числа. Не очень понятно, как вычислять корень из коплексного числа, если решать как квадратное уравнение? Спасибо Вы правильно написали, что надо решать квадратное уравнение. Заменим t=z-3. Получим (-2-3i)t²+(-1+5i)t+(15-10i)=0 Решаем стандартными средствами t=[-(-1+5i)±√((-1+5i)²+4(2+3i)(15-10i))]/(-4-6i) Рассмотрим выражение под корнем: (-1+5i)²+4(2+3i)(15-10i)=216+90i=9(24+10i) Нам нужно научиться находить корень из 24+10i. Пусть это a+bi. Тогда (a+bi)²=(a²-b²)+2abi=24+10i. Значит, нам надо решить систему: a²-b²=24 2ab=10 Подставив b=5/a в первое уравнение получим биквадратное уравнение с действительным решением a²=25. Откуда получаем, что a+bi=5+i или -5-i. Нас знак не волнует, поскольку перед скобкой всё равно стоит ±. Таким образом √((-1+5i)²+4(2+3i)(15-10i))]=3(5+i)=15+3i. t=[-(-1+5i)±(15+3i)]/(-4-6i)={(16-2i)/(-4-6i);(-14-8i}/(-4-6i)}={-1+2i,2-i} Я надеюсь, что Вам понятно как делить на (-4-6i): (16-2i)/(-4-6i)=(16-2i)(-4+6i)/(4²+6²) и т.д. Итак z-3={-1+2i,2-i}. Тогда z={(-1+2i)-1/3,(2-i)-1/3}. Считать кубические корни из комплексных чисел легче с использованием экспоненциальной записи: (Aexp(iφ))-1/3=A-1/3exp(-iφ/3) Рассмотрим для примера -1+2i=√5exp(i(-arctg(2)+π+2πn)). Тогда соответствующий z=(-1+2i)-1/3=5-1/6exp(i(arctg(2)/3-π/3+(2π/3)n)) В силу периодичности exp(i(arctg(2)/3-π/3+(2π/3)n)) получаем 3 различных значения: exp(i(arctg(2)/3-π/3)), exp(i(arctg(2)/3+π/3)) и exp(i(arctg(2)/3-π)). Аналогично расправляемся с 2-i, только там не π-arctg(2), a -arcctg(2). Когда будете рисовать: сначала отмечаете на комплексной плоскости -1+2i и 2-i. Потом на глазок делите угол на 3 части. Уменьшаете амплитуду с √5 до 5-1/6 и рисуете ещё 2 точки поворотом на 120 градусов.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Практикант) Ответ отправлен: 01.12.2007, 06:08

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.64 от 24.11.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru