/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 515
от 02.12.2007, 04:05

Вопрос № 111.034

№1 . Привести к каноническому виду уравнения : 1) 14x^2 + 24xy + 21y^2 -4x+18y-139=0 2) 4xy+ 3y^2 +16x+12y-36=0 3) 9x^2 -24xy+ 16y^2 -20x+110y-50=0 №2 . На прямую 3x + 5y – 34 = 0, способную отражать лучи, падает луч 10x + 3y – 45 = 0. Составить уравнение отраженного луча.

Отправлен: 26.11.2007, 11:42 Вопрос задал: Будилов Петр Алексеевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Будилов Петр Алексеевич! 1) 14x^2 + 24xy + 21y^2 -4x+18y-139=0 Я не знаю, как Вас учили, а я решал следующим образом. Квадратичная форма имеет одну из 3 видов: эллипс, гипербла или парабола. Во всех видах есть две перпендикулярные оси, в которых уравнение записывается без члена xy. Поэтому поворотом системы координат можно добиться, чтобы в новых координатах (a, b) этот член пропал. Поворачиваем систему координат на угол φ x = a cos(φ) - b sin(φ) y = a sin(φ) + b cos(φ) Подставляем в уравнение. Ищем когда коэффициент при ab равен 0 24cos2(φ) + 14cos(φ)sin(φ) - 24sin2(φ) = 0 Делим на cos2(φ) заменяем переменную t = tg(φ): 24 + 14t - 24t2 = 0 t = -3/4, t = 4/3 Берём t = 4/3, тогда sin(φ) = 4/5, а cos(φ) = 3/5. Подставляем в уравнения для x и y и подставляем в наше уравнение: 30a2 + 12a + 5b2 + 14b - 139 = 0 30(a + 1/5)2 + 5(b + 7/5)2 = 150 Возвращаемся к нашим координатам a = x cos(φ) + b sin(φ) = (3/5)x + (4/5)y b = -x sin(φ) + y cos(φ) = (-4/5)x + (3/5)y Получаем (6/5)(3x + 4y + 1)2 + (1/5)(-4x + 3y + 7)2 = 150 (3x + 4y + 1)2/125 + (-4x + 3y + 7)2/750 = 1 Эллипс. 2) 4xy+ 3y^2 +16x+12y-36=0 Поворот системы координат на угол φ достигается при помощи преобразований x = a cos(φ) - b sin(φ) y = a sin(φ) + b cos(φ) Подставим в уравнение и найдём, что коэффициент при ab равен 4 cos2(φ) + 6 cos(φ)sin(φ) - 4 sin2(φ) Решаем уравнение, когда этот коэффициент равен 0, разделив на cos2(φ) и заменив t = tg(φ) 4 + 6t - 4t2 = 0 t = -1/2, t = 2 Для t = 2 получим sin = 2/√5, cos(φ) = 1/√5 Подставим это в выражения для x и y и подставим в наше уравнение. Получим 4a2 + 8√5a - b2 - 4√5b - 36 = 0 4(a + √5)2 - (b + 2√5)2 = 36 Возвращаемся к первоначальным координатам: a = x cos(φ) + y sin(φ) = (x + 2y)/√5 b = -x sin(φ) + y cos(φ) = (-2x + y)/√5 4(x + 2y + 5)2 - (-2x + y + 10)2 = 180 (x + 2y + 5)2/45 - (-2x + y + 10)2/180 = 1 Гипербола. 3) 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 20x + 110y - 50=0 Поворачиваем систему координат на угол φ x = a cos(φ) - b sin(φ) y = a sin(φ) + b cos(φ) Подставляем в уравнение. Ищем когда коэффициент при ab равен 0 -24cos2(φ) + 14cos(φ)sin(φ) + 24sin2(φ) = 0 Делим на cos2(φ) заменяем переменную t = tg(φ): -24 + 14t + 24t2 = 0 t = -4/3, t = 3/4 Берём t = 3/4, тогда sin(φ) = 3/5, а cos(φ) = 4/5. Подставляем в уравнения для x и y и подставляем в наше уравнение: 25(b2 + 4b + 2a - 2) = 0 25(b + 2)2 + 50a = 150 Возвращаемся к нашим координатам a = x cos(φ) + b sin(φ) = (4/5)x + (3/5)y b = -x sin(φ) + y cos(φ) = (-3/5)x + (4/5)y Получаем (4x + 3y + 10)2 + (-30x + 40y)2 = 150 Парабола №2 . На прямую 3x + 5y – 34 = 0, способную отражать лучи, падает луч 10x + 3y – 45 = 0. Составить уравнение отраженного луча. Поворачиваем систему координат, чтобы отражающая прямая была вдоль координаты a. Тогда b = (3/√34)x+(5/√34)y и отражающая прямая имеет уравнение √34b-34 = 0 или b = √34. При таком повороте a = (5/√34)x-(3/√34)y. Обратное преобразование x = (5/√34)a+(3/√34)b y = -(3/√34)a+(5/√34)b Подставим в уравнение луча 41/√34a + 45/√34b - 45 = 0 Пересечёт b = √34 в a = 0. Уравнение отражённого луча получаем заменой знака a: -41/√34a + 45/√34b - 45 = 0 Вспоминаем, что a = (5/√34)x-(3/√34)y и b = (3/√34)x+(5/√34)y Окончательно 35x - 174y + 765 = 0

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Практикант) Ответ отправлен: 27.11.2007, 08:33

Вопрос № 111.052

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу: составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси Oz и проходящей через точку М (-2;-3;-1). Заранее благодарю Вас.

Отправлен: 26.11.2007, 13:28 Вопрос задала: Акимова Ирина Юрьевна (статус: 6-ой класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Крючков Павел Геннадьевич Здравствуйте, Акимова Ирина Юрьевна! Уравнение плоскости: ax+by+cz+d=0. Т.к. плоскость перпендикулярна оси Oz, то a=0, b=0. cz+d=0. Подставляем координаты точки: c*(-1)+d=0. Откуда c=d. Уравнение плоскости: z+1=0.

Ответ отправил: Крючков Павел Геннадьевич (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 26.11.2007, 14:15 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо. С вашей помощью я разобралась в этом вопросе.

Вопрос № 111.058

Доброго времени суток. Помогите студенту заочнику справиться с заданиями. 1) Даны вершины треугольника А, В, С. Найти уравнение и длинну высоты, опущенной из вершины В. А (-1;1), В(1;5), С(3;-2) 2) Определить вид поверхности. X2-Y2 = 16Z

Отправлен: 26.11.2007, 14:06 Вопрос задал: Сёмуха Виктор Сергеевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Сёмуха Виктор Сергеевич! 1) Составим уравнение стороны AC: (x+1)/(3+1) = (y-1)/(-2-1), (x+1)/4 = (y-1)/(-3), -3x – 3 = 4y – 4, 3x + 4y – 1 = 0. Высота BH перпендикулярна стороне AC, значит, уравнение прямой BH имеет вид 4x – 3y + d = 0. Подставим координаты точки B: 4*1 – 3*5 + d = 0, d = 11. BH: 4x – 3y + 11 = 0. Длина высоты BH — это расстояние от точки B до прямой AC, и вычисляется по формуле ρ(B,AC) = |3*1 + 4*5 – 1|/√(3²+4²) = 22/5 = 4.4. BH = 4.4.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 26.11.2007, 23:03 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо, более понятного ответа не может существовать.

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Сёмуха Виктор Сергеевич! 2) Поскольку в уравнении 2x-2y-16z=0 нет квадратов, то это - плоскость, проходящая через начало координат. Кстати, насчет классификации поверхностей, вот ссылка http://www.pm298.ru/2pov6.shtml - классификация поверхностей в пространстве. Может быть, пригодится позже.

Ответ отправила: Джелл (статус: Студент) Ответ отправлен: 28.11.2007, 04:35

Вопрос № 111.064

Обращаюсь к знатокам! У меня вышла заминка с решением следующей задачи: вычислить угол наклона прямой 3x+2y+b=0 к оси Ох. Помогите, пожалуйста!

Отправлен: 26.11.2007, 15:11 Вопрос задала: Акимова Ирина Юрьевна (статус: 6-ой класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Крючков Павел Геннадьевич Здравствуйте, Акимова Ирина Юрьевна! 3x+2y+b=0 y=-1.5x+0.5b tgA=-1.5 A=arctg(-1.5)

Ответ отправил: Крючков Павел Геннадьевич (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 26.11.2007, 15:18 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Супер! Спасибо. Я тоже так решила, но у меня были сомнения - искала точный угол в градусах. Я благодарна создателям такого великолепного сайта, которые дают людям возможность быстро обмениваться опытом. И несомненно толковым людям, которые на данные вопросы знают правильные ответы.

Вопрос № 111.111

На прямую 3x + 5y – 34 = 0, способную отражать лучи, падает луч 10x + 3y – 45 = 0. Составить уравнение отраженного луча.

Отправлен: 26.11.2007, 20:03 Вопрос задал: Будилов Петр Алексеевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Будилов Петр Алексеевич! Поворачиваем систему координат, чтобы отражающая прямая была вдоль координаты a. Тогда b = (3/√34)x+(5/√34)y и отражающая прямая имеет уравнение √34b-34 = 0 или b = √34. При таком повороте a = (5/√34)x-(3/√34)y. Обратное преобразование x = (5/√34)a+(3/√34)b y = -(3/√34)a+(5/√34)b Подставим в уравнение луча 41/√34a + 45/√34b - 45 = 0 Пересечёт b = √34 в a = 0. Уравнение отражённого луча получаем заменой знака a: -41/√34a + 45/√34b - 45 = 0 Вспоминаем, что a = (5/√34)x-(3/√34)y и b = (3/√34)x+(5/√34)y Окончательно 35x - 174y + 765 = 0

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Практикант) Ответ отправлен: 27.11.2007, 08:40

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Будилов Петр Алексеевич! прямые 3x + 5y – 34 = 0 и 10x + 3y – 45 = 0 пересекаются в точке (3,5). Отраженный луч тоже должен проходить через эту точку, и вдобавок, составлять такой же угол с нормалью к 3x + 5y – 34 = 0, как и луч 10x + 3y – 45 = 0. Нормаль к прямой 3x + 5y – 34 = 0 - это вектор (3,5), его длина = √34 Нормаль к прямой 10x + 3y – 45 = 0 - это вектор (10,3), его длина = √109 если отраженная прямая ax+by+c=0, то ее нормаль (a,b), его длина = √(a²+b²) Итак, cosφ = (3,5)(10,3)/(√34*√109) = (3,5)(a,b)/(√34*√(a²+b²)) => 45/√109 = (3a+5b)/√(a²+b²) 2025/109 = (9a²+25b²+30ab)/(a²+b²) -1044(a/b)²+3270(a/b)+700=0 => (a/b)1 = 10/3 (a/b)2 = -35/174 - годится. Итак, вспомним, что отраженная прямая -35x+174y+c=0 проходит через точку (3,5) => отраженная прямая задается уравнением -35x+174y-765=0 или 35x-174y+765=0

Ответ отправила: Джелл (статус: Студент) Ответ отправлен: 28.11.2007, 04:27

Вопрос № 111.116

Здравствуйте!!!! СРОЧНО!!!! СПАСИТЕ МЕНЯ!!! Нужно до 27 числа (тоесть до завтра) до 06:00 (до шести утра) сделать следующую задачу! Я просто прогулял урок и тему естественно не понял!!! Завтра проверя и тем кто не сделал - 2!!!! Ну таких мне оценок не надо!!! Задали вот что: Решите задачу с параметрами: ax ------ > 1 1+3x Читаю: Произведение а на икс, разделённое на сумму один плюс три икс больше одного. ЛЮДИ, помогите пожалуйста!!!

Отправлен: 26.11.2007, 21:21 Вопрос задал: Морозов Михаил Иванович (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Станиславъ Здравствуйте, Морозов Михаил Иванович! ax / (1+3x) > 1 <=> (ax / (1+3x)) - 1 > 0 <=> ((a-3)x -1) / (3x+1) > 0. Эта задача решается так называемым методом интервалов. Суть его состоит в том, чтобы расположить на числовой прямой корни (относительно x) числителя и знаменателя, а затем выбрать в качестве ответа те интервалы между ними, в которых наша дробь имеет нужный знак. В нашем случае Уравнение числителя (a-3)x - 1 =0 Случай a=3 особый. Его рассматриваем отдельно. 1) При a=3. Числитель выроождается в -1. Получим -1 / (3x+1) > 0, что равносильно x < -1/3. 2) При а, не равном 3. Уравнение числителя (a-3)x - 1 = 0 имеет решение x = 1/(a-3), уравнение знаменателя 3x + 1 = 0 имеет решение x = -1/3. Если эти решения не совпадают и x_min = min( 1/(a-3), -1/3), а x_max = max( 1/(a-3), -1/3), то решением будет обединение интервалов: (-бесконечность, x_min) объединить (x_max, +бесконечность). Главная проблема в случае задач с параметром --- правильно расположить корни числителя и знаменателя ни числовой прямой (а их порядок может меняться в зависимости от значения параметра). В нашем случае достаточно сравнить 1/(a-3) и -1/3. Рассмотрим неравенство 1/(a-3) > -1/3 <=> (1/(a-3)) + 1/3 >0 <=> a / (3(a-3)) >0. Это может быт при a>3 или a<0. Заметим, при этом, что 1/(a-3) = -1/3 при a=0, поэтому случай a=0 особый. 3) При a=0 Исходное неравенство принимает вид (-3x - 1) / (3x + 1) >0, что неверно для всех x из ОДЗ. Ответ: при a=3, x < -1/3; при a=0 решений нет; при a<0 объединить a>3, x<-1/3 объединить x>1/(a-3); при a из интервала (0, 3), x<1/(a-3) объединить x>-1/3.

Ответ отправил: Станиславъ (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 26.11.2007, 22:02 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Огромное СПАСИБО!!! Надеюсь, что всё верно!!! Очень хорошо что так быстро сделали! СПАСИБО!!!

Вопрос № 111.128

Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи: 1. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y=x-2 и x-5y+6=0. Диагонали его пересекаются в начале координат. Найти уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей x*x+y*y=5 и x*x+y*y+2x+4y-31=0. Найти отношение радиусов окружностей. 3. Ординаты всех точек окружности x*x+y*y=36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой. 4. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М1 (4;4корень из 5/3) и М2 (0;4). Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса. Заранее огромное спасибо! Swallow.

Отправлен: 26.11.2007, 22:26 Вопрос задала: Ласточка (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Ласточка! 2. x² + y² = 5, радиус этой окружности r1 = √5, центр — точка A(0;0). x² + y² + 2x + 4y – 31 = 0, (x² + 2x + 1) – 1 + (y² + 4y + 4) – 4 – 31 = 0, (x+1)² + (y+2)² = 36, радиус этой окружности равен r2 = √36 = 6, центр — точка B(-1;-2). Составим уравнение прямой AB: (x-0)/(-1-0) = (y-0)/(-2-0), -x = -y/2, y = 2x. r1/r2 = √5/6.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 26.11.2007, 22:49 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за решение!

Отвечает: piit !!! Здравствуйте, Ласточка! 3. Ординаты всех точек окружности x*x+y*y=36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой. Решение. y<->y/3=>x2+(y/3)2=36, x2+y2/9=36/:36=> x2/36+y2/(9*36)=1 - эллипс с центром в (0,0) и осями a=6, b=3*6=18 Ответ: x2/36+y2/324=1 Так как происходит сжатие, то надо y заменять на 3y, а не на y/3. ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 27.11.2007, 20:00 --------- От алгоритмов к суждениям + самообучение

Ответ отправил: piit (статус: Студент) Ответ отправлен: 26.11.2007, 23:28 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за решение, piit!

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Ласточка! 1) Так как пересечение диагоналей параллелограмма - это его центр симметрии, то значит, другие две стороны будут симметричны уже указанным относительно начала координат, точка (x,y) будет симметрична точке (-x,-y). y=x-2 при симметрии перейдет в -y=-x-2 => y=x+2 x-5y+6=0 при симметрии перейдет в -x+5y+6=0

Ответ отправила: Джелл (статус: Студент) Ответ отправлен: 28.11.2007, 03:51 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за решение, Джелл!

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.64 от 24.11.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru