Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Скурлатов В.И. Философско-политический дневник

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Крупным планом" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

  Апрель 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
11.04.2003
07:19:04
10:29:36
12
13
14
14.04.2003
10:49:40
23:59:06
15
16
17
18
18.04.2003
12:19:20
14:28:51
19
19.04.2003
18:48:10
23:37:52
20
21
22
23
23.04.2003
02:11:07
13:11:00
24
25
25.04.2003
00:40:00
08:30:12
26
26.04.2003
12:40:25
23:59:48
27
28
29
30
Автор
Скурлатов Валерий Иванович

Статистика

346 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Скурлатов В.И. Философско-политический дневник


Информационный Канал Subscribe.Ru 
НЕКАНТОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ОСНОВАНИЯ МЫШЛЕНИЯ

В cвоё время я прочел в замечательном журнале «Scientific American» статью «Неканторовская
теория множеств», авторы – известнейшие математики Пол Дж. Коэн и Ройбен Херш.
Я перевёл эту статью и перевод опубликовал в ежемесячнике Академии наук СССР
«Природа» (1969, № 4, с. 43-55).

Попался на глаза оттиск, просмотрел – вроде бы статья остается злободневной.

Вот и проблемы, затрагиваемые в работах изучаемого мной ныне профессора Владимира
Андреевича Успенского, с ней перекликаются.

А самое главное – в свете постижений Хайдеггера, особенно его сокровенного доклада
«Закон тождества» (1957), можно по-новому взглянуть на те недавние споры вокруг
неоканторовской «аксиоматической теории множеств» и вокруг парадоксов математической
логики и разногласий интуитивистов и конструктивистов в математике, которые,
на мой взгляд, являются отголосками давних споров реалистов, номиналистов и концептуалистов
в схоластике.

Первая фраза статьи П.Дж. Коэна и Р. Херша гласит:

«Абстрактная теория множеств ныне переживает состояние изменений, которое по
ряду признаков аналогично революции, преобразовавшей геометрию XIX в.» (с. 43).

Как известно, имеются по меньшей мере два различных вида бесконечностей: бесконечность
ряда натуральных чисел и бесконечность сплошной совокупности точек прямой, отрезка
прямой, плоскости, куба и т.д. Уроженец Санкт-Петербурга основатель теории множеств
Георг Кантор (1845-1918) не мог найти такого множества точек, которое было бы
не эквивалентно всему отрезку и не эквивалентно также множеству натуральных чисел,
то есть по «мощности» своей бесконечности лежало бы между множеством натуральных
чисел и множеством точек линии. Он сделал предположение, что никаких подобных
множеств не существует (континуум-гипотеза).

Континуум-гипотеза в теории множеств столь же интуитивно вроде бы справедлива
и столь же логически спорна, как и аксиома о параллельных в геометрии. Поэтому
великие математики Лёйтзен Брауэр (1881-1966), Герман Вейль (1985-1955) и Анри
Пуанкаре (1854-1912) относились к ней весьма подозрительно, а в 1938 г. Курт
Гёдель (1906-1978) доказал, что её нельзя опровергнуть, если исходить из других
аксиом теории множеств (из «ограниченной теории множеств»).

Эти другие аксиомы позволяли построить или «сконструировать» с помощью последовательных
шагов класс «конструктивных множеств» из более простых множеств, а в пределах
царства конструктивных множеств (обозначим его М), показал Гёдель, не существует
никакого конструктивного множества между бесконечностью натуральных чисел и бесконечностью
сплошной совокупности точек прямой, то есть «континуум-гипотеза» верна.

Только в 1963 г. в теории множеств были достигнуты результаты, аналогичные созданию
неевклидовой геометрии. П.Дж. Коэну удалось опровергнуть гёделевскую «аксиому
конструктивности». Для этого он придумал «неконструктивное множество». Ведь достаточно
добавить в М по меньшей мере одно неконструктивное множество Х, и континуум-гипотеза
рушится.

Геометрическая аналогия - вот на евклидовой плоскости проведена кривая М. Представим
точку Х, лежащую не в этой плоскости, и соединим Х со всеми точками М, получив
поверхность N, которая уже не является евклидовой плоскостью, а является «моделью»
неевклидовой геометрии.

Вот в этом «неконструктивном множестве» Х - вся собака и зарыта. Что это такое?
Здесь мы и выходим на Платона и Аристотеля, на реалистов и номиналистов, на Абеляра
и Хайдеггера.

Решающим является здесь выбор «неконструктивного множества» Х в качестве «общего»
или «порождающего» элемента, у которого отсутствует какая-либо индивидуальность
и в то же время свойства которого являются «типичными» или «родовыми» для почти
всех других множеств в М.

«В том случае, - говорится в статье Пола Дж. Коэна и Ройбена Херша, - когда мы
выбираем Х в виде родового множества (так сказать, множеством без каких-либо
частных свойств, которые отличали бы его от любого другого множества в М), следует,
что N все ещё остается моделью для ограниченной теории множеств. Новый элемент
Х, введенный нами, не обладает никакими «хлопотными» свойствами, которые могут
«испортить» исходное М. В то же время Х неконструктивно» (с. 54).

Если представить себе двумерное существо, живущее погруженным в двумерную поверхность,
то ему было бы невозможным узнать, что его мир является частью трехмерного пространства.
Добавляя в М новый элемент Х и образованные на его основе другие элементы, мы,
находясь вне М, можем видеть, что добавлена только счетная бесконечность новых
элементов, однако они таковы, что подсчет нельзя произвести с помощью каких-либо
аппаратов, принадлежащих самому М. Таким образом, получается новая модель N¹,
в которой континуум-гипотеза неверна, потому что новых элементов в ней меньше,
чем точек на отрезке прямой, и в то же время этих новых элементов, которые в
N¹ играют роль действительных чисел (то есть точек на отрезке прямой) -
больше, чем натуральных чисел.

Поскольку можно построить модель теории множеств, в которой континуум-гипотеза
неверна, то можно добавить к обычной «ограниченной теории множеств» вывод о ложности
континуум-гипотезы, и при этом не возникнет ни одного нового противоречия.

Так удалось построить неканторовскую теорию множеств.

В результате, если Гёдель работал с одной моделью «конструктивных множеств»,
то теперь в неканторовской теории множеств имеется не одна, а много моделей,
каждая из которых строится с тем или иным намерением. «Возможно, более важна,
чем любая из моделей, - подчеркивают авторы статьи, - та методика, которая позволяет
их строить – понятие «порождающего» («родового») и соотнесенное с ним понятие
«форсинга» (я в скобках переводил «forcing» как «наделенность». – В.С.). Очень
грубо говоря, «родовые» множества обладают только теми свойствами, которыми они
«наделены», чтобы приобрести статус множества. Чтобы решить, «наделено» ли Х
тем или иным свойством, мы должны рассмотреть все N. Однако N фактически не определено
до тех пор, пока мы не специфицировали Х!» (с. 55).

С тех пор появилось много книг и о новых подходах к основаниям математики, и
о методе форсинга Коэна – в глазах рябит, многое переведено. При осмыслении споров
платонистов-реалистов и аристотелистов-номиналистов придется постоянно к этим
работам возвращаться.

Не будем также пока вдаваться в рассуждения о возможной связи неканторовской
теории множеств с современной физической М-теорией мироздания, с онтологической
многомерностью сущего.

Я же сейчас высказываю тезис, который намереваюсь обосновать (и частично уже
обосновал в работе «Постигая Хайдеггера», которую сегодня-завтра надеюсь разместить
с картинками на своём обустраивающемся портале http://www.portal.com), - о внутренней
увязке затронутой проблематики современной фундаментальной математики с основоположениями
фундаментальной онтологии Мартина Хайдеггера, выросшей из феноменологии  его
учителя Эдмунда Гуссерля.
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное