Отвечает: Крючков Павел Геннадьевич
Здравствуйте, Иванов Дмитрий Иванович!
1) ∫x^4*lnx*dx =
v = lnx du = x^4*dx
dv = 1/x u = 1/5*x^5*dx
= 1/5*x^5*lnx - 1/5*∫x^4*dx = 1/5*x^5*lnx - 1/25x^5 + c = 1/5*x^5(lnx - 1/5) + c, где c = const.
Ответ отправил: Крючков Павел Геннадьевич (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 10.03.2008, 09:18 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Иванов Дмитрий Иванович!
2) разложим дробь в сумму:
(x^2 - 4*x + 1) / (x^3 - x) = (Ax+B)/(x^2-1) + C/x
Ax^2 + Bx + Cx^2 - C = x^2 -4x +1
A + C = 1
B = -4
-C = 1
итак, A = 2. B = -4. C = -1
∫(2x-4)/(x^2-1)dx - ∫dx/x
a)∫2xdx/(x^2-1) = [пусть x^2-1 = t, dt = 2xdx] =
= ∫dt/t = lnt + c = ln(x^2-1) + c
b) ∫4dx/(x^2-1) = -(4*1/2) * ln(1+x)/(1-x) +c
c)∫dx/x = lnx +c
итак,
∫(2x-4)/(x^2-1)dx - ∫dx/x = ln(x^2-1) + 2ln(1+x)/(1-x)+ lnx +c
Ответ отправила: Dayana (статус: Студент)
Ответ отправлен: 10.03.2008, 10:08 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 126.631
здравствуйте уважаемые эксперты помогите пожалуйста:
найти наибольшее и наименьшее значение функций на отрезке
y=³√2*(x+1)²(5-x)′ - 2 , [-3:3]
Отправлен: 10.03.2008, 14:35
Вопрос задала: Зиноида (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Andrekk
Здравствуйте, Зиноида!
Для начала перегруппируем степени, представим функцию в виде
у=2^(1/3)*((х+1)^(2/3)*(5-х)^(1/3))-2
Используя правило дифференцирования произведения и формулу производной степенной функции с рациональным показателем ((х^r)'=r*x^(r-1)), производную этой функции:
у'= 2^(1/3)*(2/3*(x+1)^(-1/3)*(5-x)+1/3*(5-x)^(-2/3))
Переносим выражения с отрицательной степенью в знаменатель, приводим выражение в скобках к общему знаменателю 3*(х+1)^(1/3)*(5-х)^(2/3). Получаем дробь: 2^(1/3)*(2*(5-х)^(5/3)+(х+1)^(1/3))/(3*(х+1)^(1/3)*(5-х)^(2/3))
Рассмотрим числитель: минимальное значение выражения 2*(5-х)^(5/3) есть 2^(8/3) - при х=3 (функция из этого выражения убывающая). Максимальное по модулю отрицательное значение выражения (х+1)^(1/3) в рассматриваемой области значений есть -2^(1/3) - при х=-3. Как видим, при любом х, принадлежащем [-3;3] числитель производной положительный . Рассматривая знаменатель полученной дроби, видим, что (5-х)^(2/3) >0 при наших х от -3 до 3, и что при х [-3; -1) знаменатель отрицательный ((х+1)^(1/3)<0) и вся дробь
и ,соответственно, производная отрицательная. при х (-1;3] - дробь и производная положительные ((х+1)^(1/3)>0). Точки, в которых производная не существует это х=-1;5-это критические точки. нас интересует только -1, принадлежащий [-3;3]. Как было сказано ранее при х<-1 производная меньше 0, при х>-1 производная больше 0, следовательно х=-1 - точка минимума. Значение функции в х=-1 и есть наименьшее значение функции оно равно -2. Подставив крайние точки заданного
промежутка получаем, что у(наиб.)=4 - при х=-3;3.
Ответ: у(наим.)=-2; у(наиб.)=2.
Ответ отправил: Andrekk (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 12.03.2008, 21:43
Вопрос № 126.633
Добрый вечер уважаемые помогите пожалуйста с примером:
Провести полное исследование функций и построить их график y = (2x²+1) / x²
Отправлен: 10.03.2008, 14:37
Вопрос задала: Зиноида (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Andrekk
Здравствуйте, Зиноида!
у=(2х^2+1)/х^2=2+1/х^2, следовательно, график функции представляет собой квадратную гиперболу сдвинутую на 2 единичных отрезка вверх
Свойства функции:
1 D(f)=(-бесконечность;0)U(0;+бесконечность)
2. четная
3. возрастает на (-бесконечность; 0), убывает на (0; +бесконечность)
4. не ограниченна сверху, ограниченна снизу у=2
5. у(наиб.) и у(наим.) не существует
6. имеет разрыв при х=0
7. E(f)=(2;+бесконечность)
8. выпукла вниз
9. дифференцируема f'(x)=-2x^(-3)
Ответ отправил: Andrekk (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 11.03.2008, 17:01
Вопрос № 126.704
здравствуйте уважаемые знатоки помогите пожалуйста с примером:
найти неопределенный интеграл:
∫ (x³ / (x-1)(x+1)(x+2)) dx
∫ (2x³+6x²+7x+2 / x(x+1)³)dx
Отправлен: 10.03.2008, 21:42
Вопрос задала: Зиноида (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Andrekk
Здравствуйте, Зиноида!
Применим метод неопределенных коэффициентов: А/(х-1) + В/(х+1) + С/(х+2) + D = х^3/((х-1)(х+1)(х+2)
Подберем дополнительные множители, составим систему уравнений:
D=1
A+B+C+2D=0
3A+B-D=0
2A-2B-C-2D=0
Сначала выражаем А+В через С из второго уравнения системы, подставляем его в третье и четвертое уравнение системы (заменяя также D на 1), получаем систему из двух уравнений для А и С:
-2-С+2А=1
2(2+С)+4А-С=2
Получим А=1/6, С=-8/3. Находим далее В, В=1/2. Следовательно, мы должны отыскать интеграл
?1/6(1/(х-1) + 3/(х+1) - 16/(х+2) + 6)dx (я предварительно вынес 1/6. Отсюда и ответ:
Ответ: 1/6(ln(x-1)+3ln(x+1)-16ln(x+2))+ x
Во втором задании в числителе отыскивается 2(х+1)^3+х+1
и задача сводится к отысканию интеграла ?(2/х+1/(х(х+1)^2)dx Дальше у меня дело не пошло...
Ответ отправил: Andrekk (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 10.03.2008, 23:09
Вопрос № 126.708
здравствуйте уважаемые знатоки помогите пожалуйста с примером:
найти неопределенный интеграл:
∫ln(4x²+1)dx;
∫(x³ / (x²+1)²) dx;
Отправлен: 10.03.2008, 21:47
Вопрос задала: Зиноида (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
= x * ln(4x²+1) - ∫(2 - 2/(4x²+1)) dx = x * ln(4x²+1) - 2x + ∫ d(2x)/(4x²+1) =
= x * ln(4x²+1) - 2x + arctg(2x) + C
Здесь в первой строке была применена формула интегрирования по частям
∫ u'*v = u*v - ∫u*v'
, где u = x , v = ln(4x²+1)
2) ∫(x³ / (x²+1)²) dx
Сделаем замену переменных u = x²
тогда du = 2xdx
∫(x³ / (x²+1)²) dx = ½ ∫(u / (u+1)² ) du = ½ ∫( 1/(u+1) - 1/(u+1)² ) du =
= ½*ln(|u+1|) + ½* 1/(u+1) + C = ½*ln(x²+1) + ½* 1/(x²+1) + C
Ответ отправил: heap11 (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 10.03.2008, 23:30
Вопрос № 126.713
Здравствуйте уважаемые эксперты. Помогите пожалуйсто исследовать функцию для каждого из данных значений аргумента. Как будет выглядеть чертеж?
y= 2^1/5+x x1=-5 x2=-4.
2. Найти точки разрыва функции, если они есть. Чертеж.
3-x^2,если х<0
f(x)={ 3, если 0<или=x<1
1/x, если х>или=1
Отправлен: 10.03.2008, 22:34
Вопрос задала: Неваляшка (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)
Отвечает: Andrekk
Здравствуйте, Неваляшка!
2. Точка разрыва в точке с абциссой х=1. На промежутке от минус бесконечности до 0 график будет выглядеть как перевернутая парабола (ветвями вниз). От 0 до 1 функция постоянна, параллельна оси Ох и равна 3. В точке (1;3) происходит разрыв -она не закрашенна- и далее функция продолжается как гипербола,начиная с точки (1;1). Извиняюсь, в данный момент нет возможности представить полный графический чертеж.
Ответ отправил: Andrekk (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 10.03.2008, 23:32 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо большое.
