Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay
  Все выпуски  

RusFAQ.ru: Математика


Новое направление Портала RusFAQ.ru:
MosHoster.ru - Профессиональный хостинг

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 609
от 08.03.2008, 19:05

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 148, Экспертов: 44
В номере:Вопросов: 8, Ответов: 11

Нам важно Ваше мнение об этой рассылке.
Оценить этот выпуск рассылки >>


Вопрос № 125782: Доброе время суток! Горит контрольная! помогите Найти радиус конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R? Пожалуйста...
Вопрос № 125783: Милые эксперты! Не поможите с решением интеграла? ∫ (2^(5arctgx+3) * dx) / (1+x^2)...
Вопрос № 125784: Эксперты! Хелп! Без Вас, уважаемых, не получается решить ∫ (x^2 + 2) e^-x * dx...
Вопрос № 125786: Эксперты! Будьте любезны помочь, пожалуйста!!! ∫ (2x^6 + x + 4)*dx / (x^3 – 4x)...
Вопрос № 125787: Помогите пожалуйста вот с такой задачей: Разложить правильную алгебраическую дробь на простейшие. x^4+1 ------------------ x^3(x^2+1)...
Вопрос № 125790: Решить систему уравнений методом Крамера и Гауса.Сделать проверку полученного решения система: 5х+8у-z=-7 x+2y+3z=1 2x-3y+2z=9...
Вопрос № 125791: Даны координаты вершин треуголька АВС найти 1)длину стороны АВ 2)уравнение стороны АВ и её угловой коэфициент 3)уравнение и длину высоты СД 4)уравнение медианы АЕ 5)уравнение прямой, проведенной через точку Е, параллельно стор...
Вопрос № 125793: вычислить пределы: а)предел (х->2) 3хв квадрате -7х+2 всё это разделить на 7х в квадрате-5х+7 в)предел (х->0) синус 5х разделить на тангес 2х Б)предел (х->к бесконечности) х в квадрате - 3х+1 всё это разделить на 4х в к...

Вопрос № 125.782
Доброе время суток! Горит контрольная!
помогите Найти радиус конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R?
Пожалуйста
Отправлен: 03.03.2008, 10:53
Вопрос задал: Роюк Андрей Витальевич (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Роюк Андрей Витальевич!
Пусть радиус основания конуса = r, а высота =Н
Объем конуса рассчитывается по формуле: V=1/3*pi*r^2*H
Радиус сферы обозначим R.
Рассмотрим сечение конуса, вписанного в шар, плоскостью, перпендикулярной основанию конуса и содержащей его высоту: треугольник АВК равнобедренный, высота ВС=ВО+ОС=R+OC (О – центр шара)
Рассмотрим треугольник АОС – прямоугольный, где АО= R, АС= r. Отсюда по теореме Пифагора:
ОС^2=OA^2-AC^2
OC=sqrt(R^2-r^2)
H=BC=R+sqrt(R^2-r^2)
V=1/3*pi*r^2*( R+sqrt(R^2-r^2))
Если объем конуса будет наибольшим, то производная объема по радиусу =0
dV/dr=2*pi*r/3*(R+sqrt(R^2-r^2))-(pi*r^3/[3*sqrt(R^2-r^2)])
2sqrt(R^2-r^2)+2R-r^2/(sqrt(R^2-r^2))=0
2*(R^2-r^2)+2*R*sqrt(R^2-r^2)-r^2=0
3r^2-2R^2=2R*sqrt(R^2-r^2)
9*r^4=8*r^2*R^2
9r^2=8*R^2
r=2sqrt2*R/3
Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 12:20
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Клёво! спасибо большое


Вопрос № 125.783
Милые эксперты!

Не поможите с решением интеграла?

∫ (2^(5arctgx+3) * dx) / (1+x^2)
Отправлен: 03.03.2008, 11:12
Вопрос задала: Маргарита Левса (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Маргарита Левса!
∫ (2^(5arctgx+3) * dx) / (1+x^2)=∫ 2^(5arctgx+3) * d(arctgx)=1/5*∫ (2^(5arctgx+3) * d(5*arctgx+3)=1/[5*ln2]*2^(5arctgx+3)+C
Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 12:41

Отвечает: Гребенюк Юрий Валериевич
Здравствуйте, Маргарита Левса!

Производная от arctg x есть 1/(1+х^2). Значит, интеграл можно преобразовать следующим образом:
Интеграл от (2^(5arctg x+3))d(arctg x). Сделаем замену: t=arctg x, получим: интеграл от (2^(5t+3))dt. Преобразуем его в такой: интеграл от (e^((5t+3)*ln 2)dt. А этот интеграл в свою очередь равен 1/(5ln2) * e ^ ((5t+3)*ln 2) = (с учётом замены t=arctg x) = 1/(5ln 2) * e ^ ((5arctg x+3)*ln 2).

Примечание: так как интеграл неопределённый, то необходимо прибавить к полученному ответу неопределённую константу С.
Ответ отправил: Гребенюк Юрий Валериевич (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 12:46


Вопрос № 125.784
Эксперты! Хелп!
Без Вас, уважаемых, не получается решить

∫ (x^2 + 2) e^-x * dx
Отправлен: 03.03.2008, 11:14
Вопрос задала: Маргарита Левса (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Гребенюк Юрий Валериевич
Здравствуйте, Маргарита Левса!

Для вычисления этого интеграла необходимо дважды проинтегрировать по частям:

В первом случае: f = x^2+2; dg = e^(-x)dx | df = 2xdx; g = -e^(-x).

Тогда исходный интеграл равен, согласно формуле = fg- интеграл от (gdf), то есть, в нашем случае:
= -(x^2+2)*e^(-x) + 2* интеграл от ((x*e^(-x))dx). (1)

Рассмотрим отдельно получившийся интеграл – его также проинтегрируем по частям:
f = x; dg = e^(-x)dx | df = dx; g = -e^(-x) , по той же формуле получаем, что этот интеграл равен: -e^(-x)*x + интеграл от (e^(-x)dx) = -e^(-x)*x - e^(-x).

Подставляем в формулу (1):

Исходный интеграл равен: -(x^2+2)*e^(-x) – 2*e^(-x)*x – 2*e^(-x) = - e^(-x)*(x^2+2*х+4).

Примечание: так как интеграл неопределённый, то необходимо прибавить к полученному ответу неопределённую константу С.
Ответ отправил: Гребенюк Юрий Валериевич (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 12:46

Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Маргарита Левса!
Int[(x^2+2)*e^(-x) dx]=(1)
По частям
u=x^2+2, du=2xdx
dv=e^(-x)dx, v=-e^(-x)
(1)=-e^(-x) * (x^2+2)+2Int[x*e^(-x) dx]=(2)
по частям
u=x, du=dx
dv=e^(-x)dx, v=-e^(-x)
(2)= -e^(-x) * (x^2+2)+2*(-x*e^(-x)+Int[e^(-x) dx])=
= -e^(-x) * (x^2+2)-2*x*e^(-x)-2*e^(-x)+C
Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 12:51


Вопрос № 125.786
Эксперты!
Будьте любезны помочь, пожалуйста!!!
∫ (2x^6 + x + 4)*dx / (x^3 – 4x)
Отправлен: 03.03.2008, 11:19
Вопрос задала: Маргарита Левса (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Маргарита Левса!
(2x^6 + x + 4) / (x^3 – 4x)=2x^3+8x+(32x^2+x+4)/(x*(x-2)*(x+2))
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
(32x^2+x+4)/(x*(x-2)*(x+2))=A/x+B/(x-2)+C/(x+2)
A+B+C=32
2В-2С=1
-4А=4

А=-1
В=67/4
С=65/4
∫ (2x^6 + x + 4)*dx / (x^3 – 4x)=∫ (2x^3+8x+(32x^2+x+4)/(x*(x-2)*(x+2)))=
=∫ 2x^3 dx+∫ 8xdx -∫ dx/x+67/4*∫ dx/(x-2) +65/4*∫ dx/(x+2)=
=x^4/2+4x^2-ln|x|+67/4*ln|x-2|+65/4*|x+2|+C
Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 13:17


Вопрос № 125.787
Помогите пожалуйста вот с такой задачей:
Разложить правильную алгебраическую дробь на простейшие.
x^4+1
------------------
x^3(x^2+1)
Отправлен: 03.03.2008, 11:36
Вопрос задал: Кузьмин Петр Васильевич (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Кузьмин Петр Васильевич!
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, для чего представим данную дробь в виде суммі таких дробей:
(x^4+1)/(x^3*(x^2+1))=A/x+B/x^2+D/x^3+(Ex+F)/(x^2+1) (!)
Чтобы выполнялось равенство, необходимо, чтобы числители равнялись между собой (знаменатели равны)
A(x^4+x^2)+B(x^3+x)+D(x^2+1)+(Ex+F)*x^3=x^4+1 (привели к общему знаменателю дроби в правой части ур-ния (!))
x^4*(A+E)+x^3*(B+F)+x^2*(A+D)+x*B+D=1*x^4+0*x^3+0*x^2+0*x+1
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях в левой и правой части:
A+E=1
B+F=0
A+D=0
B=0
D=1
Решив систему, получим значения коэффициентов разложения данной дроби на элементарные:
A=-1
B=0
D=1
E=2
F=0
Значит
(x^4+1)/(x^3*(x^2+1))=-1/x+1/x^3+2x/(x^2+1)

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 13:45
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Спасибо большое, Вы очень мне помогли.


Вопрос № 125.790
Решить систему уравнений методом Крамера и Гауса.Сделать проверку полученного решения

система: 5х+8у-z=-7
x+2y+3z=1
2x-3y+2z=9
Отправлен: 03.03.2008, 11:54
Вопрос задал: Demonic (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Demonic!
Метод Крамера.
Матрица
....(5…8…-1)
А=(1…2….3)
....(3...-2…2)
detA=114
.......(-7 …8…-1)
А1=(1…..2….3)
..….(9.....-2…2)
detA1=150
.......(5 ...-7…-1)
А2=(1…..1….3)
..….(3......9….2)
detA2=-180
.......(5 .....8…-7)
А3=(1…..2….1)
..….(3.....-2….9)
detA3=108
x=detA1/detA, x=25/19
y=detA2/detA, y=-30/19
z=detA3/detA, z=18/19
Метод Гаусса.
(1…2…3..|1)
(3...-2....2.|9)
(5....8...-1.|-7)

(1…2…3..|1)
(0...-8...-7.|6) 1 строка *(-3)+2строка (пред. матрицы)
(0...-2.-16.|-12) 1 стр.*(-5)+3 стр. (пред. матрицы)

(1…2…3..|1)
(0...-8...-7.|6)
(0....0...57.|54) 3 стр.*(-4)+2 стр. (пред. матрицы)

(1…2…3..|1)
(0...-8...-7.|6)
(0....0.....1.|18/19) разделили на 57 и сократили полученную дробь

(1…2…0.|-35/19) 3 стр.*(-3)+1 стр. (пред. матрицы)
(0...-8....0.|240/19) 3 стр.*7+2 стр. (пред. матрицы)
(0....0.....1.|18/19)

(1…2…0.|-35/19)
(0....1....0.|-30/19) разделили на -8
(0....0.....1.|18/19)

(1…1…0.|25/19) 2 стр.*(-2)+1 стр. (пред. матрицы)
(0....1....0.|-30/19)
(0....0.....1.|18/19)

x=25/19
y=-30/19
z=18/19
Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 14:47
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 125.791
Даны координаты вершин треуголька АВС
найти
1)длину стороны АВ
2)уравнение стороны АВ и её угловой коэфициент
3)уравнение и длину высоты СД
4)уравнение медианы АЕ
5)уравнение прямой, проведенной через точку Е, параллельно стороне АВ

А(-5;0) В(7;9) С(5;-5)
Отправлен: 03.03.2008, 11:54
Вопрос задал: Demonic (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Гребенюк Юрий Валериевич
Здравствуйте, Demonic!

1) Длину АВ можно найти по формуле |AB| = sqrt ((xA-xB)^2+*(yA-yB)^2) = sqrt (144+81) = 15.
2) Уравнение АВ можно найти по формуле для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки: (x-xA)/(xB-xA) = (y-yA)/(yB-yA). Подставляем в него координаты точек А и В и получаем: (х+5)/12 = у/(-9) или: -9х-45 = 12у, или: 9х+12у+45=0 (1). Чтобы найти угловой коэффициент, приведём это уравнение к каноническому виду, перенеся всё в одну сторону и поделив на коэффициент при у: у = -(3*х)/4 - 15/4. Отсюда угловой коэффициент К = -3/4.
3) Из уравнения (1) мы знаем, что направляющий вектор прямой АВ: (9, 12), а так как высота СД перпендикулярна АВ, то её направляющий вектор должен быть перпендикулярен направляющему вектору АВ, то есть равен (-12, 9) (или (12,-9) – но это не важно, т.к. они просто противоположно направлены). Значит, уравнение СД имеет вид: -12х+9у + Ц = 0. Чтобы найти Ц подставим в это уравнение координаты точки С, т.к. она тоже лежит на прямой СД, получим: -60-45+Ц = 0. Значит, Ц = 105. То есть уравнение СД имеет вид: -12х+9у+105=0 (2). Чтобы найти координаты точки Д, необходимо решить систему уравнений (1) и (2), т.к. Д – точка пересечения прямых АВ и СД.
-12х+9у+105=0
9х+12у+45=0
Домножим первое уравнение на 3, второе на 4 и сложим, получим: 75у = -495. Или у = -33/5. Подставляя это значение во втрое уравнение, получим 9х = 396/5 – 45. Или х = 24/5.
То есть Д(24/5, -33/5). Тогда можем найти |CD| = sqrt ((5-24/5)^2+(-5+33/5)^2) = (1/5)* sqrt (1^2+8^2) = (1/5) * sqrt (65).
4) Координаты точки Е можно найти из того, что Е – середина ВС. Значит хЕ = (хВ+хС)/2 = 6, а уЕ = (уВ+уС)/2= 2. Значит, Е(6,2). Отсюда можем найти уравнение АЕ:
(х-хА)/(хЕ-хА) = (у-уА)/(уЕ-уА). Или: (х+5)/11 = у/2. Или: 2х-11у+10=0.
5) Согласно теореме о средней линии треугольника (а, вернее, следствию из него), прямая, проходящая через середину одной из сторон параллельно другой стороне, проходит и через середину третьей стороны, т.е. содержит среднюю линию треугольника. То есть, наша прямая проходит через середину АС – пусть точка К, тогда её координаты: хК = (хА+хС)/2 = 0, уК = (уА+уС)/2 = -2,5.
Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки Е и К:
(х-6)/(0-6)=(у-2)/(-2,5-2). Или: -4,5*х+27 = -6*у+12. Или: 4,5х-6у-15=0. Или: 1,5х-2у-5=0. Или: 3х-4у-10=0.
Ответ отправил: Гребенюк Юрий Валериевич (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 13:30
Оценка за ответ: 5

Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Demonic!
1) AB=sqrt((xA-xB)^2+(yA-yB)^2)
AB=sqrt((-5-7)^2+(0-9)^2)=sqrt(144+81)=sqrt225=15
2) (x-xA)/(xB-xA)=(y-yA)/(yB-yA)
(x+5)/(7+5)=(y-0)/(9-0)
9x+45=12y
3x-4y+15=0 – уравнение прямой, содержащей АВ
y=3/4x+15/4
k=3/4 – угловой коэффициент
3) n1*(x-xC)+n2*(y-yC)=0
n(n1, n2) – нормальный вектор к СД, который параллелен направляющему вектору прямой АВ (12, 9) (т.к. (хВ-хА, уВ-уА))
12(х-5)+9(у+5)=0
4х+3у-5=0 – уравнение СД
Координаты Д найдем из системы:
3x-4y+15=0
4х+3у-5=0, откуда
х=-1, у=3 – координаты точки Д.
Длина СД= sqrt((xД-xС)^2+(yД-yС)^2)
СД= sqrt((5+1)^2+(-5-3)^2)=10
4) Е(хЕ, уЕ)
Поскольку АЕ – медиана, то точка Е – середина отрезка ВС, значит
хЕ=(хВ+хС)/2
уЕ=(уВ+уС)/2
Подставив координаты точек В и С получим координаты точки Е:
хЕ=6
уЕ=2.
Тогда уравнение АЕ:
(х-хЕ)/(хА-хЕ)=(у-уЕ)/(уА-уЕ)
(х-6)/(-11)=(у-2)/(-2)
2х-11у+10=0 – уравнение АЕ
5) Координаты вектора СД=(-1-5, 3+5)=(-6, 8)
(-6)*(х-6)+8*(у-2)=0
3х-4у-10=0 – уравнение прямой, проходящей через Е параллельно АВ (использовался вектор СД – нормальный к искомой прямой)
Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 15:49
Оценка за ответ: 5


Вопрос № 125.793
вычислить пределы:
а)предел (х->2) 3хв квадрате -7х+2 всё это разделить на 7х в квадрате-5х+7

в)предел (х->0) синус 5х разделить на тангес 2х

Б)предел (х->к бесконечности) х в квадрате - 3х+1 всё это разделить на 4х в квадрате + х -2

г)предел (х к бесконечности) в скобках х+1 разделить на х-2 всё это в степени 2х+3

Отправлен: 03.03.2008, 11:55
Вопрос задал: Demonic (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Demonic!
а) предел (х->2) 3хв квадрате -7х+2 всё это разделить на 7х в квадрате-5х+7

= lim((3*2^2-7*2+2)/(7*2^2-5*2+7))=0

в)предел (х->0) синус 5х разделить на тангес 2х =
= lim ((sin5x*2x*5x)/(tg2x*5x*2x)) = 2.5

Б)предел (х->к бесконечности) х в квадрате - 3х+1 всё это разделить на 4х в квадрате + х -2

= lim ((1-(3/x)+(1/x^2))/(4+(1/x)-(2/x^2))) = 1/4

г)предел (х к бесконечности) в скобках х+1 разделить на х-2 всё это в степени 2х+3
= lim (1+3/(x-2))^(2x+3)
пусть 3/(x-2) = 1/у, х = 3у +2, при х стрем. к беск., у стрем к беск.
lim (1+3/(x-2))^(2x+3) = lim (1+1/у)^(6у+7) = lim ((1+1/у)^у)^6 * lim ((1+1/у)^7) =
= e^6
Ответ отправила: Dayana (статус: Студент)
Ответ отправлен: 03.03.2008, 18:57


Вы имеете возможность оценить этот выпуск рассылки.
Нам очень важно Ваше мнение!
Оценить этот выпуск рассылки >>

Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!

Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.


© 2001-2008, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31
Хостинг: "Московский хостер"
Поддержка: "Московский дизайнер"
Авторские права | Реклама на портале
Версия системы: 4.72.2 от 06.03.2008
Яндекс Rambler's Top100
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru
Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru

В избранное