Вопрос № 88562: Здравствуйте уважаемые эксперты.
Необходимо решение следующего примера:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
a) y′+(y)/(x)=2/(1+x↑2)
..Вопрос № 88626: Здравствуйте!!!
Помогите пожалуйста решить задачу на приложение определенного интеграла к физике: какая работа силы тяжести нужна, чтобы засыпать конический резервуар (радиус R, высота H, вершина конуса внизу) материалом с плотностью d?
Спаси...Вопрос № 88632: Помогите пожалуйста понять логику решения этой задачи ЧТо через что выразить? Меня очень смущает неодновременность вылета.
Из города A в город B вылетел самолет. Спустя некоторое время из B в A вылетел вертолет. Скорости самолета и вертолета...
Вопрос № 88.562
Здравствуйте уважаемые эксперты.
Необходимо решение следующего примера:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
a) y′+(y)/(x)=2/(1+x↑2)
Отправлен: 25.05.2007, 18:29
Вопрос задал: Chopik (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Piit
Здравствуйте, Chopik!
y=uv, u'v+uv'+{uv}/x=2/{1+x^2},
v'=-v/x=>dv/v=-dx/x, lnv=-lnx, v=1/x.
u'*(1/x)=2/{1+x^2}, u'={2x}/{1+x^2}, u=int{2xdx}/{1+x^2}=ln(1+x^2)+C,
y=(1/x)*(ln(1+x^2)+C)
--------- Самообразование - успех во всем
Ответ отправил: Piit (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 25.05.2007, 18:54 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Chopik! Это уравнение Бернулли . Делаем замену y=u*v , отсюда
следует dy/dx=y'=u*v'+v*u'. v*u'+u*((dv/dx)+(v/x))=2/(1+x^2) .
Пусть (dv/dx)+(v/x)=0 -> dv/v=-dx/x => ?[dv/v]=-?[dx/x] => Lnv=-Lnx => v=1/x .
? - знак интеграла . Так как (dv/v)+(dx/x)=0 , имеем v*(du/u)=2/(1+x^2) ->
du/u=2*x/(1+x^2) => ?[du/u]=?[2*x*dx/(1+x^2)]=?[d(1+x^2)/(1+x^2)] =>
Ln[u]=Ln[C*(1+x^2)] => u=C*(1+x^2) => Y=u*v=C*(1+x^2)/x .
Ответ : Y(x)=C*(1+x^2)/x .
С уважением Айболит .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 26.05.2007, 09:28 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 88.626
Здравствуйте!!!
Помогите пожалуйста решить задачу на приложение определенного интеграла к физике: какая работа силы тяжести нужна, чтобы засыпать конический резервуар (радиус R, высота H, вершина конуса внизу) материалом с плотностью d?
Спасибо за внимание.
Отправлен: 26.05.2007, 06:58
Вопрос задал: Piit (статус: 6-ой класс)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Piit!
Рассмотрим элементарную работу dA, затраченную для поднятия на расстояние x от вершины конуса элементарного кругового слоя толщиной dx. Текущий радиус r этого слоя прямо пропорционален x и равен: r = R*(x/H), его площадь s равна:
s = пи*r^2 = пи*(R/H)^2*x^2, элементарный объём dv равен: dv = s*dx = пи*(R/H)^2*x^2*dx, а масса dm = D*dv (обозначение плотности - заглавная D, чтобы не путать со значком дифференцирования). Вес этого слоя:
dw = g*dm = пи*g*D*(R/H)^2*x^2*dx, где g = 9.80665 - переводной коэффициент веса, выраженного в килограммах силы (кгс), в "ньютоны" - единицы силы, принятые в международной системе СИ.
Элементарная работа поднятия слоя на расстояние x (выраженная в "джоулях" - единицах работы в системе СИ) равна dA = dw*x = пи*g*D*(R/H)^2*x^3*dx, или, объединив произведение постоянных величин пи*g*D*(R/H)^2 = K:
dA = K*x^3*dx.
A = K*∫[0->H](x^3*dx) = (K/4)*H^4 = (пи/4)*g*D*R^2*H^2.
Приняв во внимание, что полный объём резервуара V равен V = (1/3)*пи*R^2*H, а вес W материала, который может в резервуаре поместиться, равен W = V*g*D, окончательно имеем: A = (3/4)*W*H (джоулей).
Примечание: все числовые величины необходимо выражать в системе СИ: линейные размеры в метрах, плотность в килограммах на метр^3, вес в ньютонах.
И еще маленькая поправка: везде вместо "вес" следует читать "сила тяжести, действующая на...", поскольку речь идет о работе силы тяжести, прилагаемой, как известно, к телу, в отличие от веса - силы, лействующей со стороны тела на опору.
Edited by Alexandre V. Tchamaev
Ответ отправил: SFResid (статус: Студент)
Ответ отправлен: 28.05.2007, 06:26 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: В ответе почему то pi/12, а не pi/4. Тут вопрос, как учесть то, что дан конус? (понимаю, что используется для s)
Вопрос № 88.632
Помогите пожалуйста понять логику решения этой задачи ЧТо через что выразить? Меня очень смущает неодновременность вылета.
Из города A в город B вылетел самолет. Спустя некоторое время из B в A вылетел вертолет. Скорости самолета и вертолета на всем пути постоянные, и они летят по одной трассе. Самолет до встречи с вертолетом находился в полете 6 ч, а вертолет до встречи летел 5 ч. Самолет прибыл в B в 16 ч. 20 мин, а вертолет прибыл в A в 23 ч. 20 мин. Найти время вылета самолета из города A.
Отправлен: 26.05.2007, 09:00
Вопрос задал: Myrzik (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 12)
Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Myrzik!
Обозначим через S - расстояние между пунктами А и В.
Переведем часы в минуты: 5 часов = 300 минут; 6 часов = 360 минут; 16 ч. 20 мин. = 980 мин.; 23 ч. 20 мин. = 1400 мин.
x - искомое время в минутах;
(980 - х) - время полета самолета
(1400 - х - 60)=(1340 - х) - время полета вертолета (вычитаем 60 минут поскольку из условия видно, что вертолет вылетел на час позже)
v1 - скорость самолета;
v2 - скорость вертолета.
Из условия получаем такие уравнения:
360*v1 + 300*v2 = S; (1)
v1*(980 - х) = S; (2)
v2*(1340 - х) = S; (3)
Приравняем уравнения (1) и (2), и выразим v2:
360*v1 + 300*v2 = v1*(980 - х)
v2 = v1*(980 - х - 360)/300
v2 = v1*(620 - х)/300
Переводим в часы:
x1 = 1220 минут = 20 часов 20 минут
x2 = 440 минут = 7 часов 20 минут
Очевидно что первый корень не соответсвует условию.
Ответ: время вылета самолета из города A - 7 часов 20 минут.
Good Luck!!!
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 26.05.2007, 11:23 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: ну отправься же!
Отвечает: Устинов С.Е.
Здравствуйте, Myrzik!
Да... немножко усложнил все ув. Gh0stik. Объясню попроще.
Пусть S-расстояние между городами. v1-скорость самолета, v2-вертолета.
Тогда до встречи самолет пролетел 6*v1(км), а вертолет - 5*v2.
Тогда весь путь S=6*v1+5*v2 (1).
В то же время мы знаем, что разность времени прилетов в конечный пункт равно 7 часов.
С момента встречи самолет пролетел расстояние 5*v2 за 5*v2/v1 часов, а вертолет - расстояние 6*v1 за 6*v1/v2 часов.
Получаем уравнение: 6*v1/v2-5*v2/v1=7.
В данном уравнении введем замену t=v1/v2 (t>0, т.к. скорости больше нуля).
Умножим правую и левую часть уравнения на t, перенесем все в левую сторону и получим квадратное уравнение относительно t:
6t2-7t-5=0.
Решив данное уравнение (дискриминант равен 169 - корень легко извлечь :) ) получаем:
t1=-0.5 (не подходит), t2=5/3, т.е. v1/v2=5/3.
v2=v1*(3/5).
Подставив в уравнение (1), получим 9*v1=S.
Отсюда легко найти время, которое самолет провел в пути (S/v1)=9 часов.
Так как прилетел он в 1620, то вылетел он в 1620-9=720.
