Вопрос № 85974: Помогите, пожалуйста, решить задачу: Найти наибольшую площадь прямоугольника, симметрично вписанного в сектор круга радиуса R, если центральный угол равен 2a(альфа). Понятно, что нужно найти наибольшее значение функции, но вот саму функцию вывести не...
Вопрос № 85.974
Помогите, пожалуйста, решить задачу: Найти наибольшую площадь прямоугольника, симметрично вписанного в сектор круга радиуса R, если центральный угол равен 2a(альфа). Понятно, что нужно найти наибольшее значение функции, но вот саму функцию вывести не получается...
Отвечает: Yermocenko Sergey
Здравствуйте, Кобцев Д.А.!
Тяжело описать решение без чертежа, еще тяжелее это решение будет понять, но попробуем :)
Пусть т.O - центр окружности, AB - хорда (с величиной центрального угла 2*alpha)
Обозначим вписанный прямоугольник CDEF (т.C и т.F лежат на радиусах AO и OB соответственно, а т.D и т.E лежат на окружности).
Обозначим через 2*x - угол AOD. (почему 2*x, а не x, чтобы считать проще было)
Тогда
угол DAO = [180-2*x]/2 = 90-x (из равнобедренного треугольника OAD)
угол BAO = [180-2*alpha]/2 = 90-alpha (из равнобедренного треугольника OAB)
угол BAD = угол DAO - угол BAO = alpha-x
По теореме синусов из треугольника OAD находим:
AD=2*a*sin(x)
Пусть отрезок CD пересекает хорду AB в точке G, тогда треугольник AGD - прямоугольный, из него имеем
DG = 2*a*sin(x)*sin(alpha-x)
AG = 2*a*sin(x)*cos(alpha-x)
треулольник AGC - прямоугольный, из него имеем:
AC = 2*a*sin(x)*cos(alpha-x) / sin(alpha)
GC = 2*a*sin(x)*cos(alpha-x)*ctg(alpha)
тогда CO = AO - AC, или
CO = a*[1 - 2*sin(x)*cos(alpha-x) / sin(alpha) ]
из равнобедренного треугольника COF по теореме синусов имеем
CF = 2*a*[sin(alpha) - 2*sin(x)*cos(alpha-x)]
Тогда площадь прямоугольника S = CF*(DG+CG).
Ну а дальше уж сами
--------- Работать ащще не прёт...
Ответ отправил: Yermocenko Sergey (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 08.05.2007, 11:13 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Надо же, как все просто... Надо было мне подумать получше, большое спасибо!
Отвечает: Chainicus
Здравствуйте, Кобцев Д.А.!
Пусть прямоугольник ABCD расположен в секторе так, что вершины A и D лежат на радиусах, а вершины B и С - на дуге окружности. Проведем биссектрису центрального угла Н. Проведем дополнительный радиус R в вершину C прямоугольника ABCD. Он составляет с H угол b. Отрезок ОD назовем r. r составляет с H угол a.
Назовем Х сторону прямоугольника AB, перпендикулярную Н, и Y - сторону CD, параллельную Н.
Тогда получаем систему:
Y = R*cos(b) - r*cos(a)
X = 2*R*sin(b)
X = 2*r*sin(a)
Решив систему относительно Y, получим формулу площади прямоугольника:
r = X/(2*sin(a)), sin(b) = X/(2*R), cos(b) = sqrt(1 - sin^2(b)) = (1/2R)*sqrt(4*R^2 -
X^2), Y = (sqrt(4*R^2 - X^2) - arctg(a))/2. =>
S = X*Y = (X/2)*(sqrt(4*R^2 - X^2) - X*arctg(a))
Теперь надо найти Х, при котором S = Х*Y максимальна (Х изменяется на отрезке [0, 2*R*sin(a)]), причем результат может зависить от значения a.
Корни производной от S: Х1 = 2*R*sin(a/2), Х2 = 2*R*cos(a/2)
X1 попадает на отрезок [0, 2*R*sin(a)] при любых а, и Smax = R^2*tg(a/2).
X2 попадает на отрезок [0, 2*R*sin(a)] при а > pi/3, и Smax = R^2*(2*sin(a) - tg(a/2)).
Ответ отправил: Chainicus (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 08.05.2007, 14:46 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Очень интересное решение! Спасибо!
