Вопрос № 88424: Помогите, пожалуйста, найти как можно более полную информацию о числах Эйзенштейна и о числах вида a+bp, где р - кубический корень из единицы. Едиственное, что я знаю, это что такие числа существуют и их общий вид. Хотелось бы узнать всю теорию про э...Вопрос № 88434:
Здравствуйте уважаемые эксперты.
Необходимо решение следующего примера:
Вычислить по формуле Ньютона Лейбница определённый интеграл f(x)dx
a) 0∫1dx/x+x в степени 1/3;
..Вопрос № 88457: Найти неопределённый интегралы (результаты в случаях «а» и «б» проверить дифференцирование):
“А” ∫ e^2x dx / √((e^x)+1) ; е в степени 2х, √ в 4 степени, под ним е в степени х и число 1.
“Б” ∫ x^3 arctgx dx
“В”...Вопрос № 88458: Вычислить интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака:
∫√(4-x^3) dx
Верхний предел =1
Нижний предел = 0
...Вопрос № 88462: Здравствуйте! Помогите пжалста разобраться с примером:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z(x,y) в указанной замкнутой области D
z=x^2+y^2-3x-y, D : (x<=2, 0<=y<=2x)...Вопрос № 88504: Здравствуйте уважаемые эксперты.
Необходимо решение следующего примера:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
a) y′+y/x=2/1+x↑2;
...Вопрос № 88527: Здравствуйте уважаемые эксперты.
Необходимо решение следующего примера:
Найти общее решение дифференциального уравнения y″+py′+qy=f(x)
a) y″- 4y′+4y=-x↑2+3x;
...
Вопрос № 88.424
Помогите, пожалуйста, найти как можно более полную информацию о числах Эйзенштейна и о числах вида a+bp, где р - кубический корень из единицы. Едиственное, что я знаю, это что такие числа существуют и их общий вид. Хотелось бы узнать всю теорию про эти числа.
Нужна также информация про комплексные числа определенного вида, например, -1+i*sqrt(3), -1-i*sqrt(3), и др. (где sqrt(х)- квадратный корень из числа х)
Помогут даже ссылки на математические сайты или форумы, где можно было задать вопрос о таких числах и получить ответ.
Может, это не по теме, но хотелось спросить, как искать в Интернете информацию про числа вида -1-i*sqrt(3), ведь не введешь же в поле поиска непосредственное их выражение.
Спасибо за ответ.
Отправлен: 24.05.2007, 17:31
Вопрос задал: Vvv (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 5)
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Vvv!
По поводу информации про комплексные числа определенного вида, например,
-1+i*sqrt(3), -1-i*sqrt(3), и др. - повидимому, это информация о том, чем эти числа отличаются от прочих комплексных. Числа -1+i*sqrt(3), -1-i*sqrt(3) - корни квадратного уравнения: x^2 + 2*x + 4 = 0 (1) (про "и др." ничего сказать не могу).
Если умножить (1) на (x - 2), получим x^3 - 8 = 0 (2), т.е. x^3 = 8, а x - это кубический корень из 8, или x = 8^(1/3). Иными словами, 8^(1/3) имеет 3 значения - кроме тривиального 2 ещё и два комплексных. Соответственно, 3 значения кубического корня из 1 - это 1; (-1+i*sqrt(3))/2; (-1-i*sqrt(3))/2. Именно они наиболее употребительны. В показательной форме это:
e^(i*2*пи/3) и e^(-i*2*пи/3), или, применяя другие способы написания:
EXP(i*2*пи/3) и EXP(-i*2*пи/3); EXP(i*120 град) и EXP(-i*120 град).
На комплексной плоскости вместе с единицей эти числа образуют 3 вектора под углом 120 градусов между ними, поэтому их применяют в теоретической электротехнике для расчёта и анализа трехфазных цепей переменного тока.
Там для числа EXP(i*120 град) введено специальное обозначение - "a". Умножение
любого комплексного числа на "a" соответствует повороту его вектора на 120 градусов против часовой стрелки. Легко убедиться, что: EXP(-i*120 град) = a^2; a^3 = 1. Подробнее можно посмотреть в http://fishelp.ru/elekt/osnov/lecture19.htm, только надо иметь в виду, что в теоретической электротехнике для обозначения мнимой единицы вместо буквы i - буква j.
Ответ отправил: SFResid (статус: Студент)
Ответ отправлен: 25.05.2007, 00:36 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за ссылку и разъяснения. Я конечно не так хорошо знаю электротехнику, но буду разбираться. Задавая вопрос, я думал, что ответы будут находиться в пределах математики, физическую сторону даже во внимание не брал. Наверно, это мое упущение. Надо и физику брать в рассмотрение. Может я еще что-то упустил...
Вопрос № 88.434
Здравствуйте уважаемые эксперты.
Необходимо решение следующего примера:
Вычислить по формуле Ньютона Лейбница определённый интеграл f(x)dx
a) 0∫1dx/x+x в степени 1/3;
Отправлен: 24.05.2007, 19:23
Вопрос задал: Chopik (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Chopik!
Для начала запишу интеграл в более удобном виде:
[0;1]∫dx/(x+3√x)
Произведем замену:
t = √x dt = dx/33√[x2]; dx = 3t2dt
[0;1]∫3t2dt/(t3+t) = [0;1]∫3tdt/(t2+1)
z = t2+1
1,5[1;2]∫dz/z = 1,5 lnz |[1;2] = 1,5(ln2 - ln1) = 3ln2/2
--------- Не узнаешь - не попробуешь.
Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 24.05.2007, 19:39 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 88.457
Найти неопределённый интегралы (результаты в случаях «а» и «б» проверить дифференцирование):
“А” ∫ e^2x dx / √((e^x)+1) ; е в степени 2х, √ в 4 степени, под ним е в степени х и число 1.
“Б” ∫ x^3 arctgx dx
“В” ∫ x^4 dx / x^4 + 5x^2 +4 ; х в степени 4 и 2.
“Г” ∫ dx / √((2x+1)^2) +√(2x+1) ; первый √ в 3 степени (2X+1) Во 2-й степени.
“Д” ∫ dx / (4sinx+3cosx+5)
=========
Эксперт забыл указать, что была применена универсальная тригонометрическая подстановка.
tg(x/2)=t; x=2 arctg(t); dx= 2dt/(1+t2)
========= [Edited by Gh0stik] --------- Самообразование - успех во всем
Ответ отправил: Piit (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 24.05.2007, 23:17
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Volosach Aleksandr Sergeevich!
"А" Замена t = ex+1 ⇒ ∫ e^2x dx / 4√((e^x)+1) = ∫ (t-1) dt / t¼, простой степенной интеграл
"Б" Интегрировать по частям, постепенно понижая степень у "свободного" икса.
"В" ∫x4dx / (x2+1)(x2+4) =
–[1/3]∫x2dx/(x2+4)+[4/3]∫x2dx/(x2+1)
Дальше уже проще
"Г" Замена t = (2x+1)1/6; x = [t6–1]/2
∫ dx / [∛[(2x+1)2] +√(2x+1)] = ∫3t5dt / [t4+t3] = ∫3t2dt / (t+1) — совсем хорошо
--------- Не узнаешь - не попробуешь.
Вычислить интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака:
∫√(4-x^3) dx
Верхний предел =1
Нижний предел = 0
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Volosach Aleksandr Sergeevich!
Можно посмотреть в http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/kiselev2/node36.html
Ответ отправил: SFResid (статус: Студент)
Ответ отправлен: 25.05.2007, 23:50
Вопрос № 88.462
Здравствуйте! Помогите пжалста разобраться с примером:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z(x,y) в указанной замкнутой области D
z=x^2+y^2-3x-y, D : (x<=2, 0<=y<=2x)
Отправлен: 24.05.2007, 23:37
Вопрос задала: Spyro (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Ответ отправил: Piit (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 25.05.2007, 13:24
Вопрос № 88.504
Здравствуйте уважаемые эксперты.
Необходимо решение следующего примера:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
a) y′+y/x=2/1+x↑2;
Отправлен: 25.05.2007, 12:00
Вопрос задал: Chopik (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Гальченко Дмитрий
Здравствуйте, Chopik!
!!!
y′+y/x=2/1+x↑2
Замена y=uv, y'=u'v+uv';
u'v+uv'+(uv)/x=2+x^2;
u'v+u(v'+v/x)=2+x^2.
Берем v'+v/x=0, тогда u/v=2+x^2.
Интегрируем первое уравнение
dv/v=-dx/x, v=1/x;
Далее
u'(1/x)=2+x^2
du=(2*x^2+x^x)dx;
u=x^2+(x^4)/4+C;
y=uv=(1/x)*(x^2+x^4/4+C)=x+(x^3)/4+C/x.
Вот и все!!!
Совершенно не понятен переход Берем v'+v/x=0, тогда u/v=2+x^2 да и вообще откуда получилась конструкция 2+x2, если при преобразованиях должно быть 2/(1+x2). Верный ответ смотрите в мини-форуме. [Edited by Gh0stik]
Ответ отправил: Гальченко Дмитрий (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 25.05.2007, 12:24 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Toper
Здравствуйте, Chopik!
Умноженим оби части уравнения на x, получим:
xy'+y=2x/(1+x^2); - это есть уравнение Эйлера, которое решается заменой
x=exp(t) (или t=lnx).
--------- Save the Planet - Kill Yourself
Ответ отправил: Toper (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 25.05.2007, 13:01
Вопрос № 88.527
Здравствуйте уважаемые эксперты.
Необходимо решение следующего примера:
Найти общее решение дифференциального уравнения y″+py′+qy=f(x)
a) y″- 4y′+4y=-x↑2+3x;
Отправлен: 25.05.2007, 14:04
Вопрос задал: Chopik (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Toper
Здравствуйте, Chopik!
1. Решаем однородное уравнение
y''-4y'+4y=0;
k^2-4k+4=0;
k=2 кратности 2, поэтому решением однородного уравнения будет
yo=(C1+C2x)exp(2x);
2. Частное решение будем искать в виде
yч=ax^2+bx+c - это следует из вида правой части.
y'=2ax+b;
y''=2a;
Подставляем полученные выражение в данное нам уравнение:
2a-4(2ax+b)+4(ax^2+bx+c)=x^2+3x;
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему:
4a=1;
-8a+4b=3;
2a-4b+4c=0;
Отсюда:
a=1/4;
b=5/4;
c=9/8;
Итак, частное решение yч=(x^2)/4+5x/4+9/8;
Общее решение равно сумме yо+yч:
y=(C1+C2x)exp(2x)+(x^2)/4+5x/4+9/8;
Вот в принципе и все.
--------- Save the Planet - Kill Yourself
Ответ отправил: Toper (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 25.05.2007, 14:37 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Chopik!
Решение состоит из 2 частей : общее решение у1 и частное решение у2 .
Составим характеристическое уравнение :
{ y"->k^2 , y'->k , y->1 } -> k^2-4k+4=(k-2)^2=0 => k1=k2=2 =>
Y1=(C1+x*C2)*e^(2*x) .
Y2=(x^r)*(e^(альфа*х))*(Р(n)*cos(бетта*х)+Q(n)*sin(бетта*х))
{ альфа=0 ; бетта=0 ; К0=альфа+-і*бетта=0 ; r=0 } => Y2=A*(x^2)+B*x+C =>
(y2)'=2*A*x+B => (y2)"=2*A .
(Y2)"-4*(Y2)'+4*Y2=2A-8Ax-4B+4A*x^2+4Bx+4C=-x^2+3x
A=-1/4 , B=1/4 , C=3/8 .
Y2=-(1/4)*x^2+(x/4)+(3/8)
Y(x)=Y1+Y2
ОТВЕТ : Y(x)=-((x^2)/4)+(x/4)+(3/8)+(C1+x*C2)*e^(2x) .
С уважением Айболит .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 26.05.2007, 13:28
