/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 362
от 01.05.2007, 00:35

Вопрос № 84.060

помогите пожалуйста y"-9y'+18y=9exp(3x)/1+exp(-3x) y'(0)=0 y(0)=0 Yo=C1exp(3x)+C2exp(6x) а дальше?

Отправлен: 25.04.2007, 00:33 Вопрос задал: сафин артур фаритович (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Toper Здравствуйте, сафин артур фаритович! Дальше будем решать методом вариации произвольной постоянной. c1=c1(x) и c2=c2(x), то есть произвольные с1 и с2 считаем как функции от х. Тогда имеет место система c1'*(3exp(3x))+c2'*(6exp(6x))=9exp(3x)/1+exp(-3x) c1'*exp(3x)+c2'exp(6x)=0 Откуда c2'=3exp(-3x)/1+exp(-3x) и c1'=-3exp(3x)/1+exp(3x) c2=-ln(exp(-3x)+1)+c3 c1=-ln(exp(3x)+1)+c4 Из начальных условий получаем c3=c4=0; Итак ответ y=-ln(exp(3x)+1)*exp(3x)-ln(exp(3x)+1)*exp(6x)

Ответ отправил: Toper (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 25.04.2007, 09:12

Отвечает: Айболит Здравствуйте, сафин артур фаритович!Cоставим систему таких уравнений : (С1(х))'*ехр(3х)+(С2(х))'*ехр(6х)=0 3*(C1(x))'*exp(3x)+6*(C2(x))'*exp(6x)=9*exp(3x)/(1+exp(-3x)) (C1(x))'=-(C2(x))'*exp(3x) (6-3)*(C2(x))'*exp(6x)=9*exp(3x)/(1+exp(-3x)) C2(x)=интеграл[(3*exp(-3x)*dx)/(1+exp(-3x))] C2(x)=C2-Ln[1+exp(-3x)]. (C1(x))'=-3/(1+exp(-3x))=(-3*exp(-3x))/(exp(-3x)*(1+exp(-3x))) C1(x)=интеграл[({(1/exp(-3x)}-{1/(1+exp(-3x))})*d(exp(-3x))]= =Ln[exp(-3x)]-Ln[1+exp(-3x)]+C1=C1(x). Y(x)=[C1-3x-Ln(1+exp(-3x))]*exp(3x)+[C2-Ln(1+exp(-3x))]*exp(6x) (Y(x))'=[3C1-3-9x-3*Ln(1+exp(-3x))+{3/(1+exP(-3x))}]*exp(3x)+6* *[C2-Ln(1+exp(-3x))]*exp(6x)+[3/(1+exp(-3x))] Подставляем начальные условия что-бы найти С1 и С2 : у(0)=у'(0)=0. exp0=1 Ln[1+exp0]=Ln2 '-знак производной [C1-0-Ln2]*exp0+[C2-Ln2]*exp0=0 [3C1-3-0-3*Ln2+(3/2)]*exp0+6*[C2-Ln2]*exp0+(3/2)=0 C1+C2=2*Ln2 3C1+6C2=(6+3)*Ln2+3 -> 3*(C1+C2)+3*C2=9Ln2-3 => C1+C2+C2=3Ln2-1 C2=Ln2-1=Ln[2/e] -> C1=Ln2+1=Ln[2e] ОТВЕТ : Y(x)=exp(3x)*Ln[2*exp(1-3x)/(1+exp(-3x))]+exp(6x)*Ln[2/(e*(1+exp(-3x)))] C уважением Айболит . --------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.

Ответ отправил: Айболит (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 25.04.2007, 21:42

Вопрос № 84.193

1. С каким значением параметра "a" в системе нет решения? x+ay=1 x-3ay=2a+3 (оба примера заключены в воздушную скобку) 2. С каким значением параметра "а" в системе бесконечное множество решений? (а+1)x-y=a+2 x+(a-1)y=2 (также в воздушных скобках пример) 3. Решить графически данные системы неравенств. y <= x^2 + 1 y^2 + x^2 >= 4 (в воздушных скобках)

Отправлен: 25.04.2007, 19:19 Вопрос задала: Prosto ja (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Устинов С.Е. Здравствуйте, Prosto ja! 1. Выразим из 1-го равенства x=1-ay. Подставим вместо x во второе. Получаем 1-ay+3ay=2a+3. Приводим подобные и выражаем y через a: y=-(2a+2)/(4a). Уравнение (а значит и система) не имеет решений при a=0. 2. От первого уравнения отнимем второе, приведем подобные - получим a(x-y)=a. При a=0 уравнение (а значит и система) имеет бесконечное множество решений. 3. Сначала построим y2+x2 > =4. Для этого построим окружность с центром в точке (0,0) и радиусом 2. Все что "вне окружности", включая границу окружности удовлетворяет данному неравенству. Далее построим график функции y=x2+1. (для этого параболу y=x2 "поднимаете" на единицу вверх). Все что "ниже" графика - удовлетворяет первому неравенству. Пересечение первой и второй области и есть решение. В Вашем случае решением будет вся плоскость за исключением внутренней области окружности и внутренней области параболы. Удачи! --------- Ждешь квалифицированного ответа? Задай правильно вопрос!

Ответ отправил: Устинов С.Е. (статус: Практикант) Ответ отправлен: 25.04.2007, 19:49

Отвечает: DZIN Здравствуйте, Prosto ja! Здравствуйте, Prosto ja! я решила вам первые две задачи..)) 1)выразим х через y и подставим во второе уравнение x+ay=1 (1) => x=1-ay x-3ay=2a+3 (2) =>1-ay-3ay=2a+3 1-4ay=2a+3 -4ay=2a+2=> y=2(a+1)/-4a=> y=a+1/-2a подставим в уравнение (1) x=1-a(a+1/-2a) x=(-2a-(a^2+a)/-2a x=(3a-a^2)/-2a у системы нет решения когда а=0 --------- 2)(а+1)x-y=a+2 (1)выразим y через икс => y=(a+1)x-a-2 x+(a-1)y=2 (2) подставим в (2)и раскроем скобки x+(a-1)(ax+x-a-2)=2 x+a^(2)x-ax+ax-x-a^2+a-2a+2=2 => (a^2)*x-a^2-a=0 (a^2)*x=a^2+a (*) x=(a^2+a)/a^2,при a!!0 (!!-не равен) проверим случай с a=0 :подставим в уравнение (*) 0*(a^2)=0+0 0=0 а значит у системы бесконечное множество решений. удачки =) --------- ДЗЫНЬ -ДЗАРА и всё в шоколаде!

Ответ отправила: DZIN (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 26.04.2007, 18:06

Вопрос № 84.198

Здравствуйте Я был на районной олимпиаде и не смог решить задачу, мне очень интересно как ее решать Задача: Известно что x, y.z - целые числа и что 1/(x+1/(y+1/z))=7/17 Найти x, y, z Спасибо за помощь

Отправлен: 25.04.2007, 19:54 Вопрос задал: Zxczxczxc Всего ответов: 4 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Verena Здравствуйте, ! Выражение с тремя неизвестными в Вашей задаче является классической цепной дробью. Алгоритм построения цепной дроби из любого действительного числа прост: 7/17 = 1/(17/7) = 1/(2+3/7) = 1/(2+1/(7/3)) = 1/(2+1/(2+1/3)) Таким образом x= 2, y = 2, z=3. О цепных дробях, если интересно, почитайте тут: http://ru.wikipedia.org/wiki/цепная_дробь --------- Эта история - не для истории, понимаешь?

Ответ отправила: Verena (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 25.04.2007, 20:15

Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович Здравствуйте, Zxczxczxc! "Перевернем" выражение — полчим следующее: x + 1/(y+1/z)=17/7 А теперь пустимся в пространные рассуждения :-) т.к. z — целое и находится в знаменателе, то оно не равно нулю ⇒ |1/z| ≤ 1. y + 1/z. Если y ≠ 0, т.к. тогда получатеся, что x+z = 17/7, а такое уравнение неразрешимо в целых числах. Случай |y|=1 рассмотрим потом отдельно, а пока заметим, что при |y| ≥ 2 верно следующее |1/(y+1/z)| ≤ 1. А раз так, то |x - 17/7| ≤ 1 и x = 2 или x = 3. При x = 2 получаем, что 7/3 = y + 1/z. |1/z| ≤ 1 и поэтому y = 2 либо y = 3. При y = 2, z = 3, при y = 3, уравнение в целых числах неразрешимо. При x = 3 получаем, что -7/4 = y + 1/z Аналогично предыдущемсу случаю y = -1 или y = -2 Решение существует только при y = -2, тогда z = 4 Теперь рассмотрим отдельно случай |y| = 1. Он разбивается на 2 более простых варианта: y = 1 и y = -1. При y = 1 получаем x + z/(z+1) = 17/7 |z/(z+1)| ≤ 2, поэтому не мудрствуя лукаво переберем все варианты x: 1, 2, 3, 4 и убедимся, что ни для одного из них не существует решения для целого z. Аналогично для y = -1 решений нет. Ответы: 1) x = 2, y = 2, z = 3 2) x = 3, y = -2, z = 4 --------- Не узнаешь - не попробуешь.

Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: Специалист) Ответ отправлен: 25.04.2007, 20:28

Отвечает: Shapoklak Здравствуйте, Zxczxczxc! Сразу прошу прощения за возможные неправильные рассуждения, т.к. я не математик, решение мое, так сказать, доморощенное, но мне задача показалась интересной - захотелось решить. На полноту решения не претендую, может, это частный случай решения, для положительных переменных. Ответ x=2 y=2 z=3, решение в приложении Приложение: переворачиваем дроби и получаем x+1/(y+1/z)=17/7 17/7=2 3/7 т.к. все переменные - целые числа, то x может равняться либо 0, либо 1, либо 2. Если x=0 то 1/(y+1/z)=17/7 переворачиваем дроби y+1/z=7/17<1 т.е. если даже y=0, z не может быть целым, значит, этот вариант не подходит. Если x=1 то 1/(y+1/z)=1 1/3 = 10/7 переворачиваем дроби y+1/z=7/10<1 и т.к. переменные - целые числа, то, y=0, z=10/7, но 10/7 - не целое число, значит, и такой вариант не подходит. Теперь рассмотрим вариант, когда x=2. Тогда y+1/z=3/7<1 переворачиваем дроби y+1/z=7/3=2 1/3 тут возможны варианты: либо y=0 либо y=1 либо y=2 если y=0, то 1/z=7/3, т.е. z=3/7 получается не целое, значит, не подходит. если y=1, то 1/z=1 1/3, т.е. z=3/4 получается не целое, значит, не подходит. если y=2, то 1/z=1/3, т.е. z=3, это целое число, значит, подходит. Итак, решение такое: x=2 y=2 z=3

Ответ отправила: Shapoklak (статус: Профессор) Россия, Орск Организация: школа Адрес: www.school56orsk.narod.ru WWW: компьютерные фирмы г. Орска ICQ: 101137510 ---- Ответ отправлен: 25.04.2007, 20:29

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, ! Прочитав все предыдущие ответы решил привести и свой, поскольку он не похож на другие. Сделаем предварительные преобразования: 1/(x+1/(y+1/z)) = 1/(x+z/(yz+1)) = 1/(x*(yz+1)+z)/(yz+1) = (yz+1)/(x*(yz+1)+z) Т.е. (yz+1)/(x*(yz+1)+z) = 7/17. (*) Из равенства (*) можно получить такие уравнения: yz+1=7 => yz = 6. x*(yz+1)+z = 17. Из первого мы можем получить две пары возможных решений в целых числа: y=2; z=3 и y=3; z=2 Подставляя эти числа во второе уравнение получаем что только при y=2; z=3, x - будет целым числом (x=2). Таким образом получаем первый ответ: (2; 2; 3). Поскольку правая чать равенства (*) - положительная, а при делении положительное число может получится только когда числитель и знаменатель одного знака, а так как для положительных мы уже рассмотрели осталось рассмотреть и для отрицательных. Для этого мы числитель и знаменатель левой части (*) домножим на "-1". Получим: -yz-1=7 => yz = -8. x*(-yz-1)-z = 17. Из первого мы можем получить четыре пары возможных решений в целых числа: y=-4; z=2 y=4; z=-2 y=2; z=-4 y=-2; z=4 Из всех пар при подстановке во второе уравнение только при y=-2; z=4 получаем целое x=3. Таким образом получаем второй ответ: (3; -2; 4). Ответ: (2; 2; 3) и (3; -2; 4). Good Luck!!! --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессионал) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 26.04.2007, 00:25

Вопрос № 84.199

Добрый день! Буду рада вашей помощи в решении нескольких задач по геометрии по тебе "векторы". 1. В параллелограмме ABCD симметрический центр О. Сказать векторы AB, BC, CD и DA с векторами а-> = AO и b-> = BO. 2. Доказать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм,если ему принадлежит это свойство: OA + OC - OB + OD, где О - любая точка плоскости. 3. Точка M и N - средние точки краев треугольника ABC AC и BC. Доказать, что MN = 0,5(CB - CA). 4. В трапеции ABCD основание AD в "к" раз больше чем основание BC. Сказать вектор OD с векторами OA= a->, OB= b->, OC= c->, если О - свободно выбранная точка плоскости. (Прикладываю схемы к задачам) http://img254.imageshack.us/img254/6610/untitledmp0.png СПАСИБО ЗАРАНЕЕ! Приложение: http://img254.imageshack.us/img254/6610/untitledmp0.png

Отправлен: 25.04.2007, 19:55 Вопрос задал: PSL (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: Oleg_art Здравствуйте, PSL! = = Ответ перенесен в мини-форум вопроса = = [ Климова М. ] = = = Ответ достоит мини-форума, так как не несет конкретного решения задач и, тем более, содержит ничем не подкрепленное утверждение эксперта об ошибках в задачах.

Ответ отправил: Oleg_art (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 25.04.2007, 20:11

Вопрос № 84.213

Здравствуйте , уважаемые эксперты.Помогите порешать следующую задачу пожалуйста : найти стороны прямоугольника наибольшей площади , вписанного в треугольник с основанием а и высотой h . Заранее благодарен . С уважением Айболит .

Отправлен: 25.04.2007, 21:50 Вопрос задал: Айболит (статус: 5-ый класс) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: И. Артур Ф. Здравствуйте, Айболит! Как я знаю у прямоугольника с наибольшей площадью,большая длина равна средней линии треугольника и лежит на ней,а значит =а/2,находим меньшую сторону.Средняя линия делит высоту пополам.А значит меньшая сторона равна h/2.Желаю удачи! --------- Семь раз подумай,один скажи!!!!!!!!

Ответ отправил: И. Артур Ф. (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 25.04.2007, 23:58

Отвечает: fsl Здравствуйте, Айболит! Пусть сторона || высоте х, || основанию у. Тогда из подобия треугольников следует, что (h-x)/h = y/a, откуда y = (h-x)*a/h. (1) Т.к. S = x*y, то S = x*(h-x)*a/h s' = a-2*a*x/h. Решая уравнения S'=0, получим, x=h/2. Из (1) у=a/2. Удачи! --------- Ну, Вы спросили!

Ответ отправил: fsl (статус: Студент) Ответ отправлен: 26.04.2007, 09:04 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо

Отвечает: SFResid Здравствуйте, Айболит! Отношение высоты прямоугольника к высоте треугольника h обозначим через x, т.е. высота прямоугольника равна h*x; тогда из свойств треугольника следует, что ширина прямоугольника равна а*(1 - x). Следовательно, площадь прямоугольника равна а*h*x*(1 - x). Поскольку а и h постоянны, ищем максимум произведения: x*(1 - x). Раскрыв скобки, продифференцировав по x и приравняв производную нулю, получаем 2*x -1 = 0, или x = 1/2, т.е. высота прямоугольника равна h/2, а ширина равна а/2.

Ответ отправил: SFResid (статус: Студент) Ответ отправлен: 26.04.2007, 10:03 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо .

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Email: support@rusfaq.ru, тел.: +7 (926) 535-23-31 Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.51 (beta) от 27.04.2007