Вопрос № 86388: В треугольнике ABC угол С=90˚, AC = b, BC = 4a. Через середину D катета BC проведён перпендикуляр DK к плоскости треугольника, DK = a*3^(1/2). Вычислите:
а) площади треугольника ACK и его проекции на плоскость треугольника ABC,
б) рассто...
Вопрос № 86.388
В треугольнике ABC угол С=90˚, AC = b, BC = 4a. Через середину D катета BC проведён перпендикуляр DK к плоскости треугольника, DK = a*3^(1/2). Вычислите:
а) площади треугольника ACK и его проекции на плоскость треугольника ABC,
б) расстояние между прямыми DK и AC
Отправлен: 11.05.2007, 09:48
Вопрос задал: Geg (статус: Посетитель)
Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)
Отвечает: Устинов С.Е.
Здравствуйте, Geg!
В треугольнике CKD (прямоугольном по условию) найдем длину гипотенузы CK (по теореме Пифагора): CK=√(CD2+KD2)=&radic(7)*a.
AC перпендикулярно CK (по теореме о трех перпендикулярах, т.к. CD перпендикулярно AC, и CD является проекцией CK на плоскость ABC).
Тогда треугольник ACK прямоугольный, и его площадь равна половине произведения катетов = (1/2)*AC*CK=√(7)/2*b*a;
Площадь его проекции на плоскость ABC это площадь треугольника ACD=1/2*AC*CD=1/2*b*2*a=a*b.
Расстояние между скрещивающимися прямыми это длина их общего перпендикуляра. Общим перпендикуляром для AC и DK будет CD (этот отрезок перпендикулярен AC и DK). Тогда расстояние между DK и AC будет равно 2*a.
Ответ отправил: Устинов С.Е. (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 11.05.2007, 11:39
Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Geg!
Из условия мы може сразу найти такие величины:
DC = CB/2 = 2a
Рассмотрим треугольник KDC (прямоугольный по условию), из него найдем KC = √(DC2 + KD2) = √(3a2 + 4a2) = a √7
Из теореме о трех перпендикулярах следует, что AC ⊥ KC. Следовательно треугольник ACK - прямоугольный, и его площадь будет равна: S(ACK) = AC*KC/2 = a*b*√(7)/2.
Так же из выше описанных утверждений следует, что и треугольник ADC прямоугольный (проекция треугольника ACK на плоскость треугольника ABC) - его площадь равна: S(ADC) = AC*DC/2 = a*b.
А расстояние между прямыми DK и AC - это есть ни что иное как длина DC, так как расстояние между скрещивающимися прямыми есть перпендикуляр опущенный с одной прямой на вторую, так как DC ⊥ AC и DC ⊥KD (по условию) значит искомое расстояние равно DC = BC/2 = 2a.
Good Luck!!!
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессионал) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 11.05.2007, 11:52
Отвечает: Chainicus
Здравствуйте, Geg!
CD = BC/2 = 2a
KD перпенд. плоскости ABC, и AC перпенд. CD => AC перпенд. плоскости CKD => AC перпенд. CK.
a) Площадь ACK = AC*CK/2 = (b/2)*sqrt(CD^2 + KD^2) = (b/2)*sqrt(4a^2 + 3a^2) = a*b*sqrt(7)/2.
Площадь его проекции ADC = AC*CD/2 = b*2a/2 = a*b.
б) KD перпенд. CD и AC перпенд. CD => Расстояние между прямыми DK и AC = CD = 2a.
Ответ отправил: Chainicus (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 11.05.2007, 15:00
