Вопрос № 153549: Найти найбольшее и найменшее значение функции. y=sin4x+cos4x, х є {-П/2; П/2}...
Вопрос № 153590: Здраствуйте эксперты. Возникло затруднение с задачей Коши для дифура первого порядка. y`(2ylny+y-x)=y y(1)=1...Вопрос № 153591: Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(2,2) и от оси абсцисс....Вопрос № 153592:
lim((sin^2(x/4))/(x^2)) при х стремится к 0...Вопрос № 153611: Уважаемые эксперты. Прошу помощи. Уравнение кривой 2-го порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую. 3x<sup>2</sup>+12y<sup>2</sup>-4x+16y+7=0 Заранее спасибо....
Вопрос № 153.549
Найти найбольшее и найменшее значение функции. y=sin4x+cos4x, х є {-П/2; П/2}
Отправлен: 09.12.2008, 02:13
Вопрос задала: Виктория (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Виктория !
Имеет место соотношение sin 4x + cos 4x = √2cos (п/4 - 4x).
Находим производную функции y = √2cos (п/4 - 4x): y' = (√2cos (п/4 - 4x))' = 4√2sin (п/4 - 4x).
Приравниваем нулю выражение для производной и решаем полученное тригонометрической уравнение: 4√2sin (п/4 - 4x) = 0, sin (п/4 - 4x) = 0, п/4 - 4x = пn, n - целое число, -4x = пn - п/4, x = п/16 - пn/4, n - целое число.
Рассмотрим, какие из значений
x принадлежат отрезку [-п/2; п/2]. Находим: n = 0 x1 = п/16 - принадлежит отрезку, n = -1 x2 = п/16 + п/4 = 5п/16 - принадлежит отрезку, n = -2 x3 = п/16 + п/2 > п/2 - не принадлежит отрезку, n = 1 x4 = п/16 - п/4 = -3п/16 - принадлежит отрезку, n = 2 x5 = п/16 - п/2 = -7п/16 - принадлежит отрезку, n = 3 x6 = п/16 - 3п/4 = -11п/16 < -п/2 - не принадлежит отрезку.
Находим вторую производную функции и ее знаки в точках x1, x2, x4, x5: y
" = (4√2sin (п/4 - 4x))' = -16√2cos (п/4 - 4x), y"(x1) = -16√2cos (п/4 - 4•п/16) = -16√2cos 0 < 0, y"(x2) = -16√2cos (п/4 - 4•5п/16) = -16√2cos (-п) > 0, y"(x4) = -16√2cos (п/4 - 4•(-3п/16)) = -16√2cos (13п/16) > 0, y"(x5) = -16√2cos (п/4 - 4•(-7п/16)) = -16√2cos (29п/16) < 0.
Известно, что если производная функции в некоторой точке интервала равна нулю, а вторая производная
в этой точке отрицательна (положительна), то данная точка является точкой максимума (минимума) функции на интервале. Следовательно, исследуемая функция принимает максимальные значения в точках x1 и x5, причем y max = y(п/16) = sin (4п/16) + cos (4п/16) = sin (п/4) + cos (п/4) = √2/2 + √2/2 = √2 = y(-7п/16) = sin (-7п/4) + + cos (-7п/4) = sin (п/4) + cos (п/4) = √2, и минимальные значения в точках x2 и x4, причем y min = y(5п/16) =
sin (5п/4) + cos (5п/4) = -√2/2 + (-√2/2) = -√2 = y(-3п/16) = sin (-3п/4) + cos (-3п/4) = = -√2/2 + (-√2/2) = -√2.
Ответ: y max = √2, y min = -√2.
С уважением.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 09.12.2008, 17:55
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 238163 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Вопрос № 153.590
Здраствуйте эксперты. Возникло затруднение с задачей Коши для дифура первого порядка. y`(2ylny+y-x)=y y(1)=1
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Шумков Алексей Александрович!
Запишем уравнение в дифференциальной форме: ydx + (-2yln y - y + x)dy = 0. Здесь P(x, y) = y, Q(x, y) = -2yln y - y + x. Проверим, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах: дP/дy = 1, дQ/дx = 1. Следовательно, данное дифференциальное уравнение - уравнение в полных дифференциалах.
Находим функцию U(x, y), используя равенства дU/дx = P(x, y) = y, дU/дy = Q(x, y) = -2yln y - y + x.
Интегрируя первое равенство по x,
находим U(x, y) = ∫ydx = yx + φ(y), где φ(y) - произвольная дифференцируемая по y функция.
Для нахождения φ(y) продифференцируем полученное равенство по y и учтем, что дU/дy = Q(x, y) = -2yln y - y + x. Тогда x + φ'(y) = -2yln y - y + x, φ'(y) = -2yln y - y, φ(y) = -2∫yln ydy - ∫ydy + C1 = -(y^2)ln y + (1/2)y^2 - (1/2)y^2 + C1 = -(y^2)ln y + C1. (Здесь ∫yln ydy = [u = ln y, du = dy/y,
dv = ydy, v = (y^2)/2] = (1/2)(y^2)ln y - (1/2)∫ydy = = (1/2)(y^2)ln y - (1/4)y^2.)
Следовательно, U(x, y) = yx - (y^2)ln y + C1.
Общим интегралом является соотношение yx - (y^2)ln y + C1 = C2, или yx - (y^2)ln y = C2 - C1, yx - (y^2)ln y = C.
Для решения задачи Коши подставим начальное условие y = 1, x = 1 в общий интеграл: 1 • 1 - 1 • 0 = С, 1 - 0 = С, С = 1.
Таким образом, искомый частный интеграл суть yx - (y^2)ln y = 1.
Ответ:
yx - (y^2)ln y = 1.
С уважением.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 09.12.2008, 16:20
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 238159 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Вопрос № 153.591
Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(2,2) и от оси абсцисс.
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Александр,Герасимов,Михайлович!
Пусть точка, принадлежащая искомой линии, имеет координаты (x; y). Тогда расстояние от нее до точки A равно √((x - 2)^2 + (y - 2)^2), а расстояние от нее до оси абсцисс равно y. Приравнивая оба расстояния и выполняя необходимые преобразования, получаем √((x - 2)^2 + (y - 2)^2) = y, (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = y^2, (x - 2)^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2, (x - 2)^2 = 4y - 4, (x - 2)^2 = 4(y - 1).
Полученное уравнение задает параболу.
С
уважением.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 09.12.2008, 15:28
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 238156 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Отвечает: Химик CH
Здравствуйте, Александров Анатолий Олегович! 3x2+12y2-4x+16y+7=0 3x2-4x+(2/√3)2-(2/√3)2+12y2+16y+(8/√12)2-(8/√12)2+7=0 (√3*x-2√3/3)2+(2√3*y+4√3/3)2+7-4/3-16/3=0 (√3*x-2√3/3)2+(2√3*y+4√3/3)2+1/3=0 Уравнение действительных корней не имеет, так как сумма двух квадратов всегда неотрицательна и не
может равняться -1/3, а всё выражение не может равняться нулю.
--------- А пятно на потолке - это последствия эксперимента? - Нет, это сам химик...
Ответ отправил: Химик CH (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 09.12.2008, 17:35
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 238162 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!
Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
на короткий номер 1151 (Россия)
Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.
