Вопрос № 83187: Помогите исследовать функцию и начертить ее график
Y=(4x^2)/(3+x^2)...
Вопрос № 83.187
Помогите исследовать функцию и начертить ее график
Y=(4x^2)/(3+x^2)
Отправлен: 18.04.2007, 23:52
Вопрос задал: Lrad (статус: 2-ой класс)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Vassea
Здравствуйте, Lrad!
1.Область определения:
возводить в квадрат можно любое число
нельзя делить на 0 => 3+х^2<>0 x^2<>-3; X^2 -- число неотрицательное => облась определения -- все действительные
числа
2. Нули функции:
Частное равно 0, когда числитель равен 0, а знаменатель не теряет смысла=>
f(x)=0 если 4*х^2=0 x^2=0 x=0 кратности 2
3. Интервалы знакопостоянства -- функция всюду неотрицательна (можно это доказать методом
интервалов)
4. Асимптоты:
а) горизонтальная lim(x->бесконечности)F(x):
степень числителя равна степени знаменатели (кватрат)=> этотпредел равен отношению коэффициентов
= 4
б) вертикальных асимптот нет, так как область определения непрерывна
в) наклонных асимптот тоже нет
y=kx+b
k=lim(x->бесконечности)F(x)/x
получается, что мы находим предел частного, где степень знаменателя больше степени числителя,
то есть k=0; => наклонной асимптоты нет
5. Использование I производной
F'(x)=4*( 2*x*(3+x^2)-2*x*x^2 ) / ((3+x^2)^2)=
= 24*x/(3+x^2)^2
знаменатель всегда положительный
F'(x)=0 <=> x=0
x<0 f'(x)<0
x>0 f'(x)>0
Функция возрастает на [0; +бесконечность)
убывает на (-бесконечность; 0]
6. Использование II производной
f''(x)=24*(3+x^2)*(3-3*x^2)/ (3+x^2)^4
f''(x)=0 <=> x^2=1 x=+-1
следовательно две точки перегиба
на промежутке до -1 f''(x)<0 => функция выпукла вверх
на [-1;1] f''(x)>0 функция выпукла вниз
от +1 f''(x)<0 снова выпукла вниз
7: построение графика
а) весь график будет находится между y=0 и y=4 (горизонтальная асимптота)
б) найти значение функции в точках перегиба и отметить их
в) отметиь ноль функции (x=0 y=0))
г) график не должен касаться y=4, а только приближаться
и т.д.
Ответ отправил: Vassea (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 19.04.2007, 18:08 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Хороший и качественный ответ
