Вопрос № 80505: Здравствуйте! Напишите подробное решение интегралла, пожалуйста, не могу с ним справиться:
интеграл dx/(3+5sinx+3cosx)...Вопрос № 80506: Здравствуйте! Решите, пожалуйста, интеграл
интеграл 5^x(x^2-1)dx...Вопрос № 80507: Здравствуйте! Напишите, пожалуйста подробное решение определенного интеграла:
интеграл от 0 до 1 [xdx/(x+1)^3]...Вопрос № 80509: Здравствуйте! Не могу справиться с заданием, напишите, пожалуйста, подробное решение. Задание: исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график функции.
y=(x^3+16)/x...Вопрос № 80511: Добрый день!
Может кто-нибудь решить следующее задание: найти общее решение уравнения y"-16y'=xe^x...Вопрос № 80512: Добрый день! Помогите решить задание: Вычислить длину дуги кривой r=sin^3(phi/3) при phi изменяющимся от 0 до п/2, только здесь не уточнили в какой системе координат, если можно в декартовой. ...
Вопрос № 80.505
Здравствуйте! Напишите подробное решение интегралла, пожалуйста, не могу с ним справиться:
интеграл dx/(3+5sinx+3cosx)
Отправлен: 01.04.2007, 08:56
Вопрос задал: Lidiya (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Ответ отправила: Dayana (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 01.04.2007, 10:46
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Lidiya! Тут следует делать замену t=tg(x/2) => dx=2*dt/(1+t^2) ;
sinx=(2*t)/(1+t^2) ; cosx=(1-t^2)/(1+t^2) . ? - знак интеграла .
?dx/(3+5sinx+3cosx)=?[(2*(1+t^2))/((1+t^2)*(3+3*t^2+10*t+3-3*t^2))]*dt
2*(1+t^2) - сокращается .
?dx/(3+5sinx+3cosx)=?dt/(3+5*t)=[1/5]*ln(3+5*t)+C , C->const .
Теперь только надо опять поменять t=tg(x/2).
ОТВЕТ : ?dx/(3+5sinx+3cosx)=0,2*ln[5*tg(x/2)+3]+C .
C уважением Айболит .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 01.04.2007, 14:57
Отправлен: 01.04.2007, 08:58
Вопрос задал: Lidiya (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Lidiya!
1) разобьем интеграл на 2:
∫5^x*x^2dx-∫5^xdx
2)∫5^xdx= 5^x/ln5 +с
3) для вычисления первого интеграла применим метод "по частям"
u=x^2 dv=5^xdx du=2xdx v=5^x/ln5
тогда, ∫5^x*x^2dx=x^2*5^x/ln5 - ∫2x5^x/ln5 =
=x^2*5^x/ln5 -(2/ln5)*∫x5^xdx
4)для вычисления последнего интеграла снова воспользуемся интегрированием по частям
u=x dv=5^xdx du=dx v=5^x/ln5
∫x5^xdx = x*5^x/ln5 - ∫5^xdx/ln5 = x*5^x/ln5 -5^x/(ln5)^2
5)Собираем все вместе
∫5^x*x^2dx-∫5^xdx = x^2*5^x/ln5 -(2/ln5)*(x*5^x/ln5 -5^x/(ln5)^2)-5^x/ln5 +с=
=5^x/ln5 [ x^2 - 2x/ln5 +2/(ln5)^2 -1 ] + c
Ответ отправила: Dayana (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 01.04.2007, 10:32
Вопрос № 80.507
Здравствуйте! Напишите, пожалуйста подробное решение определенного интеграла:
интеграл от 0 до 1 [xdx/(x+1)^3]
Отправлен: 01.04.2007, 09:00
Вопрос задал: Lidiya (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Lidiya!
сначала преобразуем подинтегральное выражение
x/(x+1)^3= (х+1-1)/(x+1)^3=(х+1)/(x+1)^3-1/(x+1)^3=1/(x+1)^2-1/(x+1)^3
Заменим переменную
t=x+1 dt=dx пределы интеграла от 1 до 2
∫dt/t^2-∫dt/t^3= -1/t(от 1 до 2)+1/2t^2(от 1 до 2)=
=(-1/2+1) + (1/8-1/2)= 1/8
Ответ отправила: Dayana (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 01.04.2007, 10:06
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Lidiya! ? - знак интеграла .
?хdx/(x+1)^3=?[(x+1)/(x+1)^3]*dx-?dx/(x+1)^3=?d(x+1)/(x+1)^2-?d(x+1)/(x+1)^3=
=-1/(x+1)+1/(2*(x+1)^2)=[1/(2*4)]-[1/2]+1-[1/2]=1/8=0,125 .
C уважением Айболит .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 01.04.2007, 14:41
Вопрос № 80.509
Здравствуйте! Не могу справиться с заданием, напишите, пожалуйста, подробное решение. Задание: исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график функции.
y=(x^3+16)/x
Отправлен: 01.04.2007, 09:02
Вопрос задал: Lidiya (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Lidiya!
1)эта функция принимает значение 0 в точке (-16)^(1/3).
2) имеет точку разрыва 0
3) y<0 при (-16)^(1/3)<x<0
4) найдем производную y'=(x^2 +16/x)'=2x-16/(x^2)=2(x^3-8)/(x^2)
y'>0 при x>2. там функция возрастает, точка (2;12) - точка минимума
на остальных интервалах функция убывает
5)при х стремится к 0 функция стремится к бесконечности (только справа к плюс беск, а слева к минус беск)
6) есть вертик асимптота, а наклонной нет
Теперь осталось график построить по этому описанию, можно еще какие-нибудь контрольные точки взять для точности, например, (-3; 11/3), (-2; -4); (1; 17)
Удачи!
Ответ отправила: Dayana (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 01.04.2007, 09:51
Вопрос № 80.511
Добрый день!
Может кто-нибудь решить следующее задание: найти общее решение уравнения y"-16y'=xe^x
Отправлен: 01.04.2007, 09:09
Вопрос задал: Lidiya (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Lidiya! Этот пример очень лёгкий . Составим
характеристическое уравнение , где к^2 соответствует у" ,
a к соответствует у' : k^2-16*k=0=k*(k-16)=>{k1=0 и k2=16} .
Общее решение состоит из 2 частей - одна из них такая :
У=С1*е^(16*x)+C2 . Другая часть представляется в следующем виде :
У=(x^r)*(e^(альфа*х))*(Р(m)*cos(бетта*x)+Q(n)*sin(бетта*X)) , где
альфа=1 , бетта=0 ,К(0)=альфа+-i*бетта=>r=0 . Значит 2 часть
решения такая : у=(А*х+В)*е^x . Первую часть решения обозначают
как у с чёрточкой , а вторую как у со звёздочкой .
у'=(A*x+A+B)*e^x => y"=(A*x+2*A+B)*e^x => y"-16*y'=x*e^x
x*e^x=(A*x+2*A+B-16*A*x-16*A-16*B)*e^x => {A=-(1/15);B=-14*A/15}->
A=-1/15 ; B=14/225 . y=(-(x/15)+(14/225))*e^x .
ОТВЕТ : У=((14/225)-(х/15))*e^x+C1*e^(16*x)+C2 .
Есть ещё 1 вид решения - он , кажется , более лёгкий .
Делаем такую замену у'=P(x) => y"=dP/dx . Итак,[dP/dx]-16*P=x*e^x.
Так получилось уравнение Бернулли : делаем ещё 1 замену у=u*v ,
отсюдова следует y'=u'*v+v'*u . u'=du/dx,v'=dv/dx . Так и пишем :
v*u'+u*(v'-16*v)=x*e^x . Пусть v'-16*v=0 - найдём отсюда v .
dv/v=16*dx . Проинтегрировав , получаем lnv=16*x , то
есть v=e^(16*x) . Далее v*u'=x*e^x => u'=x*e^(-15*x) . Тоже
интегрируем : ?du=?x*e^(-15*x)*dx=>u=C1-(x/15)*e^(-15*x)-(1/225)*
*e^(-15*x)=u . P(x)=u*v=C1*e^(16*x)-((x/15)+(1/225))*e^x=dy/dx .
Ещё раз проинтегрировав получаем искомое решение .
Y = (С1/16)*е^(16*x)-(x/15)*e^x+(14/225)*e^x+C2 .
C уважением Айболит .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 01.04.2007, 14:28
Вопрос № 80.512
Добрый день! Помогите решить задание: Вычислить длину дуги кривой r=sin^3(phi/3) при phi изменяющимся от 0 до п/2, только здесь не уточнили в какой системе координат, если можно в декартовой.
Отправлен: 01.04.2007, 09:12
Вопрос задал: Lidiya (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Lidiya!Очень долго и неприятно переходить к декартовым
координатам . Эту задачу придётся решать в полярных координатах .
sqrt - корень квадратный ; ? - знак интеграла .
L = ? sqrt(r^2+(dr/dфи)^2) * dфи , где 0<фи<п/2
dr/dфи = (3/3)*sin^2(phi/3)*cos(phi/3)
r^2+(dr/dphi)^2=sin^4(phi/3)*(cos^2(phi/3)+sin^2(phi/3))=
=sin^4(phi/3)
L = ?sqrt(sin^4(phi/3))*dphi = ?sin^2(phi/3)*dphi=
=0,5*?(1-cos(2*phi/3))*dphi = (phi/2)-(3/4)*sin(2*phi/3)=
( Теперь подставим данные значения фи )
=0,5*((п/2)-0)-(3/4)*(sin(п/3)-sin0)=(п/4)-(3*sqrt3/8)
L=(п/4)-(3*sqrt3/8)=0,135879 едениц длины .
С уважением Айболит .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 01.04.2007, 13:12
