Вопрос № 81325: Уважаемые эксперты, помогите, пожалуйста, решить такую задачку – полотняный шатер объемом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?...
Вопрос № 81.325
Уважаемые эксперты, помогите, пожалуйста, решить такую задачку – полотняный шатер объемом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?
Отправлен: 06.04.2007, 14:49
Вопрос задал: Nikon (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)
Отвечает: spaar
Здравствуйте, Nikon.
Объём конуса (шатра)
V = (1/3) ∙ pi ∙ r^2 ∙ h ,
где R - радиус основания, h - высота конуса. Объём по условию известен.
Площадь боковой поверхности конуса
S = pi ∙ r ∙ l ,
где l - длина образующей. l = √(r^2 + h^2).
Выразим h из первого уравнения и подставим во второе:
S = pi ∙ r ∙ √(r^2 + [3V / (pi ∙ r^2)]^2) = pi ∙ √(r^4 + [3V / (pi ∙ r)]^2).
Получилось уравнение для S как функции r. При том значении r, при котором S минимальна, производная S' равна нулю. Т.е. нужно продифференцировать последнее уравнение по r, приравнять полученное выражение к нулю и, таким образом, найти r, при котором площадь поверхности минимальна. h связана с r через уравнение для объёма:
h / r = 3V / (pi ∙ r^3) .
S' = pi ∙ [4r^3 + (3V / pi)^2 ∙ (- 2 / r^3)] / 2√(r^4 + [3V / (pi ∙ r)]^2) ;
2r^3 - (3V / pi)^2 / r^3) = 0 ,
2r^6 = (3V / pi)^2 ,
(√2)r^3 = 3V / pi ,
3V / (pi ∙ r^3) = √2 .
Ответ: h / r = √2 .
Идея в представлении площади как функции одной переменной и нахождении минимума этой функции с помощью производной. Аргументом этой функции может быть как r, так и h или непосредственно (h/r). Как Вам удобнее.
--------- Я так боюсь не успеть хотя бы что-то успеть (z)
Ответ отправил: spaar (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 06.04.2007, 15:45
