Вопрос № 79887: Добрый день!
Задача: найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t
r(t)=cos2t*i+sin2t*j-ctgt*k; t=п/4...Вопрос № 79889: Добрый день! Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 8 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
интеграл от 3 до 11 корень [(x^3 ...Вопрос № 79890: Здравствуйте! Задание: вычислить длину дуги кривой p=sin^3(ph/3), при ph изменяющимся от 0 до п/2....Вопрос № 79891: Помогите решить задание: Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка xy'=y+корень(y^2-x^2)...Вопрос № 79892: Здравствуйте! Задание: Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
указанным начальным условиям.
y' + 2y=-x^2, y(0)=1/4...
Вопрос № 79.887
Добрый день!
Задача: найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t
r(t)=cos2t*i+sin2t*j-ctgt*k; t=п/4
Отправлен: 27.03.2007, 03:33
Вопрос задал: BusLnka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: spaar
Добрый день, BusLnka.
Необычный (для меня) способ задания кривой. Насколько я понял, это эквивалентно такой параметрической системе уравнений:
x(t) = cos(2t) ;
y(t) = sin(2t) ;
z(t) = - ctg(t) .
Если я понял неправильно, то всё дальнейшее решение не имеет смысла :).
Производные по t буду обозначать просто штрихом.
x' = - 2sin(2t) ;
y' = 2cos(2t) ;
z' = 1 / (sin(t))^2 .
Элемент кривой
ds = √(dx^2 + dy^2 + dz^2) = √(x'^2 + y'^2 + z'^2) ∙ dt , следовательно
s' = ds/dt = √(x'^2 + y'^2 + z'^2) = √(4 + 1 / (sin(t))^4) .
Уравнение прямой в пространстве в векторной форме выглядит так:
r(h) = r0 + a ∙ h ,
где r(h) - радиус-вектор точки, лежащей на данной прямой и соответствующей какому-то значению h; r0 - радиус-вектор какой-то конкретной точки, через которую проходит прямая, эта точка на прямой соответствует h = 0; a - т.н. направляющий вектор прямой {им может быть любой вектор, параллельный данной прямой}; h - вещественный параметр, принимающий значения от [- inf] до [+ inf] {т.е. каждому значению h соответствует одна точка на данной прямой, положение которой задаётся вектором r при этом значении h}.
Вектор r0 у нас есть. Им может служить вектор r(t) при t = pi/4 :
r(pi/4) = j - k .
Надо найти направляющий вектор a. Это можно сделать так:
a = i cos(alpha) + j cos(beta) + k cos(gamma) ,
где alpha, beta и gamma - углы, которые составляет касательная в данной точке с осями OX, OY и OZ соответственно. Вполне очевидны такие равенства:
cos(alpha) = dx/ds = x' / s' ;
cos(beta) = y' / s' ;
cos(gamma) = z' / s' .
Воспользовавшись полученными ранее выражениями для производных и подставив t = pi/4, будем иметь
cos(alpha) = - 1 / √2 ;
cos(beta) = 0 ;
cos(gamma) = 1 / √2 .
Вот и уравнение касательной
r = j - k + (- i / √2 + k / √2)h , или, что то же,
r = j - k - (i - k) ∙ h .
Уравнение плоскости в пространстве (скалярное):
a(x - x0) + b(y - y0) + с(z - z0) = 0 ,
где a, b и c - составляющие вектора нормали к данной плоскости; x0, y0, z0 - координаты какой-либо точки этой плоскости (например, рассмотренной ранее точки кривой при t = pi/4, радиус-вектор которой равен j - k).
Найденный чуть ранее направляющий вектор касательной является, очевидно, нормальным к нормальной плоскости. Т.е. для написания уравнения у нас всё уже есть: a = - 1, b = 0 , c = 1; x0 = 0, y0 = 1, z0 = -1. Уравнение плоскости:
- x + z + 1 = 0 .
Для кривизны есть такая формула:
K = √(сумма квадратов вторых производных x, y, z по s).
Вторая производная x по s [d^2(x)]/[ds^2] = (x'' ∙ s' - x' ∙ s'') / (s')^3 .
Двумя штрихами обозначены вторые производные по t.
Но кривизну я, извините, не буду считать.
Возможно, для кривизны есть более подходящая к этой задаче формула. Но мне она не известна, а учебника по диф. геометрии под рукой нет. Остальное я, скорее всего, правильно посчитал. Хотя мог чего-нибудь напутать (ведь и учебника нет). Проверяйте всё, в общем, внимательно.
А зачем Вам, BusLnka, если не секрет, столько задач (не самых простых)?
Ответ отправил: spaar (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 27.03.2007, 16:19
Вопрос № 79.889
Добрый день! Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 8 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
интеграл от 3 до 11 корень [(x^3 + 3)]dx.
Отправлен: 27.03.2007, 03:44
Вопрос задал: BusLnka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Яна
Здравствуйте, BusLnka!
Нужно разбить отрезок на 8 частей. Посчитать значение функции на концах отрезка и в точках разбиения. А потом оценить площадь под отрезками, образованными знаниями функции по формуле Симпсона.(я думаю она есть в конспекте или в методичке). Ответом будет сумма этих площадей.
Ответ отправила: Яна (статус: Студент)
Ответ отправлен: 27.03.2007, 13:08
Вопрос № 79.890
Здравствуйте! Задание: вычислить длину дуги кривой p=sin^3(ph/3), при ph изменяющимся от 0 до п/2.
Отправлен: 27.03.2007, 03:44
Вопрос задал: BusLnka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, BusLnka!
В каких координатах, вообще-то надо писать. Как напишите, будет вам численный ответ.
В Декартовых:
ds = √[dx2 + dy2] = √[(y')2 + 1]dx
В полярных:
ds = √[dρ2 + (ρdφ)2] = √[(ρ')2 + ρ2]dφ
--------- Не узнаешь - не попробуешь.
Ответ отправил: Piit (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 27.03.2007, 07:19
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, BusLnka! Это уравнение Бернулли . Делайте замену у=u*v . Дaлее
dy/dx=v*(du/dx)+u*(dv/dx). Отсюдова следует V*(du/dx)+U*((dv/dx)+2*v)=-x^2 .
Пусть (dv/dx)+2*v=0 => dv/v=-2*dx => Проинтегрировав данное соотношение получаем
lnV=-2x => V=exp(-2x) - (V равно е в степени -2х).Итак , далее имеем
V*(du/dx)=-x^2 => du/dx=-x^2*exp(2x) => du=-x^2*exp(2x)*dx
Применяя 2 раза метод интегрирования по частям получаем такое
U=C-(1/4)*(2*x^2-2*x+1)*exp(2x) . Вспоминая что У=U*V пишем
У=C*exp(-2x)-(1/4)*(2*x^2-2*x+1) . Для нахождения частного решения находим
С - const ,то есть подставим в полученое уравнение начальные условия .
Y(0)=1/4=C*exp0-(1/4)*(0-0+1) => C=0 ; exp0=1 .
ОТВЕТ : У = -(x^2/2)+(x/2)-(1/4) .
С уважением Айболит .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 27.03.2007, 10:21
