Вопрос № 83020: Даны точки А(8,0,0), В(0,4,0), С(0,0,4). На сфере х*х +у*у+z*z=4.Найти точку S так, чтобы объем пирамиды SABC был наименьшим....Вопрос № 83098: Здравстуйте Уважаемые зксперты!
Помогите найти предел, пользуясь правилом Лопиталя
(xcosx-sinx)/x^3...Вопрос № 83105: Здравствуйте, помогите пожалуйста решить следующие задачи по теории вероятности:
1. Из урны, содержащей 9 пронумерованных шаров на удачу извлекают все шары. Найти вероятности того, что все номера будут по порядку, последний шар будет с чётным ном...Вопрос № 83139: Здраствуйте уважаемые эксперты.
Задание: Исследуйте сходимость ряда с помощью интегрального признака
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + ....
Зарание благодарен
...
Вопрос № 83.020
Даны точки А(8,0,0), В(0,4,0), С(0,0,4). На сфере х*х +у*у+z*z=4.Найти точку S так, чтобы объем пирамиды SABC был наименьшим.
Отправлен: 17.04.2007, 21:04
Вопрос задал: Екатерина (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Toper
Здравствуйте, Екатерина!
Первым делом находим уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С. Для этого нужно решить уравнение
Не буду подробно расписывать решение. В итоге получим уравнение плоскости:
x+2y+2z-8=0.
Так как основание пирамиды SABC неизменно, то задача сводится к нахождению минимального расстояния от точки S до найденной нами плоскости.
Расстояние находится по формуле
R= abs(1x+2y+2z-8)/(sqrt(1^2+2^2+2^2)) (исходя из коэффициентов уравнения плоскости)
Задача свелась к нахождению минимума функции f=x+2y+2z
Выразим из уравнения сферы x:
x=±sqrt(4-y^2-z^2) и подставим его в f:
f=±sqrt(4-y^2-z^2)+2y+2z
Найдем частные производные f по y и по z :
∂f/∂y = 2+2y/(±sqrt(4-y^2-z^2))
∂f/∂z = 2+2z/(±sqrt(4-y^2-z^2))
для существования экстремума необходимо:
∂f/∂y=0
∂f/∂z=0
Из этих условий получим систему:
2y^2+z^2=4
y^2+2z^2=4
Отсюда
y^2=4/3
z^2=4/3 и x^2=4/3
Очевидно, что минимум f будет достигаться при:
x=y=z=2/sqrt(3)
Ответ: S(2/sqrt(3), 2/sqrt(3), 2/sqrt(3))
Ответ отправил: Toper (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 18.04.2007, 08:48
Вопрос № 83.098
Здравстуйте Уважаемые зксперты!
Помогите найти предел, пользуясь правилом Лопиталя
(xcosx-sinx)/x^3
Отправлен: 18.04.2007, 12:26
Вопрос задал: Lrad (статус: 2-ой класс)
Всего ответов: 4 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Кучумов Евгений Владимирович
Здравствуйте, Lrad!
Дифференцируем числитель и знаменатель:
(xcosx-sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx, (x^3)'=3*x^2. Итого получаем -sinx/(3*x)=-1/3, так как sinx/x=1 при x->0 (первый замечательный предел). И всё...
--------- Sapienti set
Ответ отправил: Кучумов Евгений Владимирович (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 18.04.2007, 12:52 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Lrad!
Из вопроса следует, что предел нужно найти при x->0.
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессионал) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 18.04.2007, 12:56 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за быстрый и подробный ответ
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Lrad!
lim[x->0]((xcosx-sinx)/x^3)=
=lim[x->0]((cosx-cosx-xsinx)/3*X^2)=
=-(1/3)*lim[x->0](sinx/x)=-1/3=-0,(3).
С уважением Айболит .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 18.04.2007, 19:07
Отвечает: SFResid
Здравствуйте, Lrad!
Пользуясь правилом Лопиталя, надо производную числителя делить на производную знаменателя.
Вначале берём производную от x*cos(x) (именно так надо записывать - при однострочной записи знак умножения * опускать нельзя, а аргумент функции обязательно заключать в скобки); по правилу взятия производной от произведения функций:
(x*cos(x))' = x*(cos(x))' + x'*cos(x) = -x*sin(x) + cos(x).
Производная от sin(x) равна: sin(x)' = cos(x). Итак, в числителе производной:
-x*sin(x) + cos(x) - cos(x) = -x*sin(x).
В знаменателе производной (x^3)' = 3*x^2; итого результат первого дифференцирования: -x*sin(x)/(3*x^2).
Снова получилась неопределённость вида 0/0; снова применяем правило Лопиталя.
Производная от -x*sin(x) равна -x*cos(x) - sin(x), а от 3*x^2 равна 6*x; в результате получается (-x*cos(x) - sin(x))/(6*x).
Теперь просто делим числитель и знаменатель на x; получается:
(-cos(x) - sin(x)/x)/6. Второе слагаемое числителя - это "первый замечательный предел", который при x = 0 равен 1; ну а cos(x) при x = 0 просто равен 1; итак, окончательно: (-1 - 1)/6 = -1/3.
Ответ отправил: SFResid (статус: Студент)
Ответ отправлен: 19.04.2007, 10:54 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Очень хороший, подробный ответ
Вопрос № 83.105
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить следующие задачи по теории вероятности:
1. Из урны, содержащей 9 пронумерованных шаров на удачу извлекают все шары. Найти вероятности того, что все номера будут по порядку, последний шар будет с чётным номером, последний шар будет с нечётным номером.
2. В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания равны соответственно 0.5, 0.45, 0.6, 0.4, 0.65. Стрелок берет одно ружье и поражает мишень. Найти вероятность того, что он стрелял из второго ружья.
3. Среднее число судов, заходящих в порт в течение часа равно 5. Найти вероятность того, что за 2 часа в порт зайдут:
а) 4 корабля
б) менее 4-х кораблей
в) не менее 4-х кораблей
4. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий высшего качества заключено между 300 и 400, если вероятность того, что одно издели высшего качества равно 0.62. Найти достоверные границы числа нестандартных изделий в партии из 100 изделий.
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Макаркина Елена Николаевна!
1. Общее число исходов: 9!
Число благоприятных исходов: 1, 4*8!, 5*8!
Впрочем, вы не сказали, как пронумерованы шары, поэтому предполагаем, что от 1 до 9.
Вероятность = Число благоприятных исходов / Общее число исходов
3. Не указано распределение, поэтому вероятност посчитать невозможно. Есть подозрение, что Пуассоновское, но я жду уточнений.
--------- Не узнаешь - не попробуешь.
Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 18.04.2007, 16:04 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо
Вопрос № 83.139
Здраствуйте уважаемые эксперты.
Задание: Исследуйте сходимость ряда с помощью интегрального признака
1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + ....
Зарание благодарен
Применим интегральный признак Коши. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда an = f(n) = номер n непрерывной переменной x. Полученная функция f(x) непрерывна в промежутке 1 ≤ x < ∞. Вычислим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним пределом.
Несобственный интеграл сходится. Следовательно, согласно интегральному признаку, и данный ряд сходится.
Good Luck!!!
--------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессионал) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 18.04.2007, 16:41 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Masha
Здравствуйте, Student-sgu!
Здесь f(n)=1/(n^2). Соответствующий несобственный интеграл
∫{от 1 до ∞}dn/(n^2) = lim {при x→∞}[ ∫{от 1 до x}dn/(n^2) ] = lim {при x→∞}(-1/n) |{от 1 до х} =
= lim {при x→∞}(-1/x + 1) = 1 сходится, следовательно сходится и ряд.
Ответ отправила: Masha (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 18.04.2007, 17:03 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Student-sgu!Мы видим ряд с
общим членом U(n)=1/n^2 . Далее найдём
интеграл от 1 до плюс-бесконечности
?[dx/x^2] , верхний предел заменяем b .
?[dx/x^2]=-lim[b->бесконечностьї(1/x)=
(теперь подставляем в х b , а потом 1 и
находим предел)
=-lim[(1/b)-(1/1)]=1-0=1 .
Итак , по интегральному признаку Коши
заданый ряд сходится .
С уважением Айболит.
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 18.04.2007, 19:02
