Вопрос № 145949: В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и угол DAB=60...Вопрос № 145950: Из вершины тупого угла ромба опущены перпендикуляры на его стороны. Длина каждого перпендикуляра равна A, расстояние между их основаниями равно B, Найти площадь ромба....Вопрос № 145951:
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. На его боковой стороне, как на диаметре, построена полуокружность, которая основанием треугольника разделилась на две части. Найдите эти части....Вопрос № 145952: Около круга радиуса r описана прямоугольная трапеция, меньшая из сторон которой равна 3r/2 . Вычислить площадь этой трапеции....Вопрос № 145953: В окружн
ость вписан правильный треугольник, площадь которого равна Q, а в треугольник вписана окружность. Найти площадь получившегося кольца....Вопрос № 145955: Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 24, 28 и 56 см. Найти боковые стороны....
Вопрос № 145.949
В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и угол DAB=60
Отправлен: 04.10.2008, 12:52
Вопрос задал: Mihotka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Mihotka!
Решение.
По известному свойству трапеции треугольники BCE и ADE равновелики. Поэтому найдем площадь треугольника ADE.
Поскольку углы DAB и ADC являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых AB и DC, то их сумма равна 180º, поэтому ∠ADC = 180º - ∠DAB = 180º - 60º = 120º. По теореме косинусов AC^2 = 3^2 + (24)^2 - 2*3*24*cos 120º = 9 + 576 + 72 = 657 (кв. см), AC = √657 = 3√73 (см).
Нетрудно
заметить, что треугольники ABE и CDE подобны, поскольку углы AEB и CED равны как вертикальные, а углы EAB и ECD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. Поэтому соответственные стороны AE и EC этих треугольников относятся друг к другу как основания AB и CD, то есть AE/EC = AB/CD = 30/24 = 5/4. Поскольку AE + EC = AC, то точка E делит отрезок AC в указанном выше отношении, то есть AE = (5/(4 + 5))*AC = (5/9)*AC.
Наход
им площадь треугольника ADC. Воспользуемся для этого формулой Герона, полагая a = DC = 24 см, b = AC = 3√73 см, c = AD = 3 см, тогда полупериметр треугольника p = (a + b + c)/2 = 13,5 + 1,5*√73 (см), а его площадь S(ADC) = √(p*(p - a)*(p - b)*(p -c)) = √((13,5 + 1,5*√73)*(1,5*√73 - 10,5)*(13,5 - 1,5*√73)*(10,5 + 1,5*√73)) (кв. см).
Поскольку треугольники ADC и ADE имеют одинаковую высоту, а основание треугольника ADE (отрезок AE) составляет 5/9
основания треугольника ADC (отрезка AC), то площадь треугольника ADE S(ADE) = (5/9)*S(ADC) = (5/9)*√((13,5 + 1,5*√73)*(1,5*√73 - 10,5)*(13,5 - 1,5*√73)*(10,5 + 1,5*√73)), что приблизительно равно 0,5556*√(26,316*2,316*0,684*23,316) = 17,3 (кв. см).
Следовательно, и площадь треугольника BCE приблизительно равна 17,3 кв. см.
Ответ: приблизительно 17,3 кв. см.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 04.10.2008, 20:56
Вопрос № 145.950
Из вершины тупого угла ромба опущены перпендикуляры на его стороны. Длина каждого перпендикуляра равна A, расстояние между их основаниями равно B, Найти площадь ромба.
Отправлен: 04.10.2008, 12:53
Вопрос задал: Mihotka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Mihotka!
Пусть дан ромб PQRS, в котором из вершины P тупого угла проведены перепендикуляры PU и PT к сторонам RS и RQ соответственно. Пусть PU = PT = a, UT = b. Обозначим через O точку пересечения отрезков PR и SQ, которые взаимо перпендикулярны как диагонали ромба, а через O1 - точку пересечения отрезков UT и PR, которые также взаимно перпендикулярны в силу того, что диагональ ромба является его осью симметрии.
Поскольку треугольники PUO1 и SOR подобны, то подобны и треугольники PUT и SRP, причем коэффициент подобия k = PR/UT = [sqrt (a^2 - (b^2)/4) + (b^2)/sqrt (a^2 - (b^2)/4)]/b.
Площадь треугольни
ка PUT S(PUT) = PO1*UT/2 = sqrt (a^2 - (b^2)/4)*b/2, следовательно, площадь треугольника SRP S(SRP) = (k^2)*S(PUT) = ({[sqrt (a^2 - (b^2)/4) + (b^2)/sqrt (a^2 - (b^2)/4)]/b}^2)*sqrt (a^2 - (b^2)/4)*b/2 = = (a^2 + (3/4)*b^2)/(2*b), а искомая площадь ромба S(PQRS) = 2*S(SRP) = (a^2 + (3/4)*b^2)/b (кв. ед.).
Ответ: S = (a^2 + (3/4)*b^2)/b кв. ед.
Вам остается только проверить выкладки.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 06.10.2008, 22:37
Вопрос № 145.951
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. На его боковой стороне, как на диаметре, построена полуокружность, которая основанием треугольника разделилась на две части. Найдите эти части.
Отправлен: 04.10.2008, 12:53
Вопрос задал: Mihotka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Mihotka!
Решение.
Поскольку заданный треугольник - рявобедренный, то углы при его основании равны. Если на боковой стороне как на диаметре построена полуокружность, то расстояния от центра полуокружности до вершины при основании заданного треугольника и второй вершины, полученной при пересечении полуокружности с основанием этого треугольника равны, то есть получается равнобедренный треугольник с меньшим основанием.
У заданного треугольника и у полученного углы при основании
будут равны, следовательно, треугольники подобны. Их боковые стороны параллельны. Поскольку вершина меньшего треугольника расположена в середине боковой стороны большего треугольника, то по теореме Фалеса боковая сторона меньшего треугольника пересечет основание большего треугольника в его середине. Следовательно, полуокружность делит основание заданного большего треугольника на две равные части, то есть пополам.
Ответ: две равные части.
Заметьте, что резуль
тат задачи не зависит от величины угла при вершине заданного равнобедренного треугольника. Значит, задача содержит избыточное условие. По моему мнению, это некорректно со стороны преподавателя, дающего такое задание, поскольку не способствует усвоению геометрии. Но может быть, я и не прав...
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 07.10.2008, 08:23
Вопрос № 145.952
Около круга радиуса r описана прямоугольная трапеция, меньшая из сторон которой равна 3r/2 . Вычислить площадь этой трапеции.
Отправлен: 04.10.2008, 12:55
Вопрос задал: Mihotka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Mihotka!
Решение.
Поскольку трапеция прямоугольная, то одна из боковых сторон ее равна 2*r. Обозначим противоположную ей боковую сторону трапеции через a, а большее основание трапеции - через b.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны. Следовательно, 2*r + a = b + 3*r/2, откуда b - a = 2*r - 3*r/2 = r/2.
Поскольку стороны с длинами 2*r и 3*r/2 образуют прямой угол, то по теореме
Пифагора длина диагонали трапеции, соединяющей концы этих сторон, равна sqrt ((2*r)^2 + (3*r/2)^2) = sqrt (4*r^2 + (9/4)*r^2) = sqrt ((25/4)*r^2) = (5/2)*r. Угол треугольника, образованного катетами 2*r и 3*r/2, прилежащий к катету длиной 2*r, равен arctg (3*r/2)/(2*r) = arctg (3/4).
Следовательно, b = 3*r, и искомая площадь, равная произведению средней линии трапеции на высоту, равна S = ((3*r + 3*r/2)/2)*(2*r) = (9/2)*r^2
(кв. ед.).
Ответ: (9/2)*r^2 кв. ед.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 07.10.2008, 23:09
Вопрос № 145.953
В окружность вписан правильный треугольник, площадь которого равна Q, а в треугольник вписана окружность. Найти площадь получившегося кольца.
Отправлен: 04.10.2008, 12:55
Вопрос задал: Mihotka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Mihotka!
Вашу задачу можно решить, воспользовавшись, например, формулами для нахождения площади треугольника по известным сторонам a, b, c и радиусам R описанной и r впмсанной окружностей: Q = a*b*c/(4*R), Q = (a + b + c)*r/2.
Поскольку в правильном треугольнике стороны равны, то указанные формулы можно записать так: Q = (a^3)/(4*R), (*) Q = 3*a*r/2. (**)
Но площадь правильного треугольника можно найти и как половину произведения его основания на высоту, то есть Q
= a*a*sin (п/3)/2 = (a^2)*(sqrt 3)/4, откуда a^2 = 4*Q/sqrt 3, a = sqrt (4*Q/sqrt 3). (***)
Подставляя значение a из выражения (***) в формулы (*) и (**), после простых преобразований получаем R = sqrt (4*Q/(3*sqrt 3)), r = sqrt (Q/(3*sqrt 3)).
Следовательно, искомая площадь кольца S = п*(R^2 - r^2) = п*(4*Q/(3*sqrt 3) - Q/(3*sqrt 3)) = п*Q/sqrt 3 (кв. ед.).
Ответ: S = п*Q/sqrt 3 кв. ед.
На всякий случай напомню, что sqrt
3 - корень квадратный числа 3.
С уважением.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 08.10.2008, 08:14
Вопрос № 145.955
Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 24, 28 и 56 см. Найти боковые стороны.
Отправлен: 04.10.2008, 12:56
Вопрос задал: Mihotka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Mihotka!
Решение.
Пусть в треугольнике ABC a + b = 56 см, c = 28 см, высота, опущенная на сторону c, h = 24 см. Тогда, с одной стороны, площадь треугольника ABC S(ABC) = c*h/2 = 28*24/2 = 336 (кв. см), (*) а с другой стороны, по формуле Герона, S(ABC) = sqrt (p*(p - a)*(p - b)*(p - c)), где полупериметр p = (a + b + c)/2 = (56 + 28)/2 = 42 (см), p - a = 42 - a, p - b = 42 - b, p - c = 42 - 28 = 14 (см). Следовательно, S(ABC) = sqrt (42*(42 - a)*(42 - b)*14) = sqrt (588*(1764
- 42*a - 42*b + a*b)) = sqrt (588*(1764 - 42*(a + b) + a*b)) = sqrt (588*(1764 - 42*56 + a*b)) = = sqrt (588*(a*b - 588)) (кв. см). (**)
Для нахождения сторон a и b имеем два уравнения: a + b = 56 см, a*b = 780 (кв. см). Применив теорему Виета, составляем квадратное уравнение и решаем его: a + b = -p = 56
, a*b = q = 780, x^2 - 56*x + 780 = 0, D = (-56)^2 - 4*1*780 = 3136 - 3120 = 16, x1 = (56 - sqrt 16)/2 = 26 (см), x2 = (56 + sqrt 16)/2 = 30 (см).
Полученный результат означает, что либо a = x1 = 26 см, b = x2 = 30 см, либо a = x2 = 30 см, b = x1 = 26 см. В обоих случаях, по существу, определяется один и тот же треугольник, боковые стороны которого равны 26 см и 30 см.
Ответ: 26 см, 30 см.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 05.10.2008, 22:53
