/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 713
от 06.10.2008, 00:05

Вопрос № 145.475

Здравствуйте эксперты! Помогите пожалуйста упростить два выражения: №1 1/(a^2+ab+b^2)+b/(a^3-b^3) №2 2(p+q)/(p^3-q^3)+2/(q^2-p^2) Спасибо.

Отправлен: 30.09.2008, 05:29 Вопрос задал: Qlejer (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Айболит Здравствуйте, Qlejer! 1 пример . 1/(a^2+ab+b^2)+b/(a^3-b^3) = (a-b+b)/((a-b)*(a^2 + a*b + b^2 )) = a/(a^3 - b^3) . Тут просто - домножаем 1 дробь на (а-b) , и числитль и знаменатель . 2 пример . 2(p+q)/(p^3-q^3)+2/(q^2-p^2) = (2*((p+q)^2)-2*((p^2)+p*q+(q^2)))/((p+q)*(p-q)*((p^2)+p*q+(q^2))) = = (2/(((p^3)-(q^3))*(p+q)))*((p^2)+2*p*q+(q^2)-(p^2)-(q^2)-p*q) = 2*p*q/(((p^3)-(q^3))*(p+q)) . Тут посложнее - надо привести обе дроби к общему знаменателю ((p^3)-(q^3))*(p+q) . --------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.

Ответ отправил: Айболит (статус: Студент) Ответ отправлен: 30.09.2008, 06:20 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Савчук Иван Иванович Здравствуйте, Qlejer! 1. 1/(a^2+ab+b^2)+b/(a^3-b^3)=1/(a^2+ab+b^2)+b/((a-b)(a^2+ab+b^2))=(a-b+b)/((a-b)(a^2+ab+b^2))=a/(a^3-b^3) 2. 2(p+q)/(p^3-q^3)+2/(q^2-p^2)=2(p+q)/((p-q)(p^2+pq+q^2)-2/((p-q)(p+q))=(2(p+q)^2-2(p^2+pq+q^2))/((p^3-q^3)(p+q))=2pq/((p^3-q^3)(p+q)) 2 пример у меня проще не получился...

Ответ отправил: Савчук Иван Иванович (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 30.09.2008, 06:29 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Шичко Игорь Здравствуйте, Qlejer! Используем формулы: x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) Приложение: 1. 1/(a^2+ab+b^2)+b/(a^3-b^3) = 1/(a^2+ab+b^2) + b/((a-b)( a^2+ab+b^2)) = (a-b)/((a-b)( a^2+ab+b^2)) + b/((a-b)( a^2+ab+b^2)) = (a-b+b)/((a-b)( a^2+ab+b^2)) = a/(a^3-b^3) 2. 2(p+q)/(p^3-q^3)+2/(q^2-p^2) = 2(p+q)/(p^3-q^3) -2/(p^2-q^2) = 2(p+q)/((p-q)(p^2+pq+q^2)) – 2/((p+q)(p-q)) = (2(p+q)(p+q) – 2(p^2+pq+q^2)) / ((p-q)(p^2+pq+q^2)(p+q)) = (2p^2 + 4pq + 2q^2 – 2p^2 – 2pq – 2q^2)/((p+q)(p^3-q^3)) = 2pq/((p+q)(p^3-q^3))

Ответ отправил: Шичко Игорь (статус: 6-ой класс) Ответ отправлен: 30.09.2008, 09:17 Оценка за ответ: 4

Вопрос № 145.485

Здравствуйте уважаемые эксперты. Имеется следующая задача по теории вероятности: В урне 10 белых и 5 черных шаров. Чему равна вероятность того, что, вынув на удачу с возвращением 6 шаров, получим белых не менее 3-х.

Отправлен: 30.09.2008, 10:35 Вопрос задал: Plusik (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Tribak Здравствуйте, Plusik! все очень просто, задача на повторение опытов каждый раз вероятность достать белый шар у нас p=10/(10+5)=2/3, а значит, вероятность достать черный шар q=1-p=1/3 В данной задаче проще будет посчитать обратную вероятность и воспользоваться ей чтобы найти вероятность интересующего нас события. Обратное событие заключается в вытаскивании 0, 1 или 2 шаров белого цвета Посчитаем, вероятность того что будет вытащено 0 шаров белого цвета будет q*q*q*q*q*q=q^6=1/3^6=1/729 p(0)=q^6 для подсчета вероятности вытаскивания 1ого или 2ух шаров воспользуемся формулой для повтора опытов C(m,n)*p^m*q^n-m где p-вероятность прямого события, у нас это вытащить белый шар q- вероятность обратного события, у нас это не вытащить белый шар, то есть в нашем случае вытащить черный n-общее кол-во вытаскиваний m-нужное нам кол-во вытаскиваний белого шара C(n,m)-выборка, находиться по формуле n!/( m!*(n-m)! ) p(1)=C(6,1)*p * q^5=4/243 p(2)=C(6, 2)*p^2 * q^4=80/243 итак, вероятность обратного события будет Q=p(0)+p(1)+p(2)=253/729 значит вероятность интересующего нас события P=1-Q=1-253/729=476/729=0.653 Удачи!

Ответ отправил: Tribak (статус: Студент) Ответ отправлен: 30.09.2008, 11:54

Отвечает: Шичко Игорь Здравствуйте, Plusik! Для упрощения решения: Обозначим вероятность выпадения белых больше или равно 3 через P Тогда вероятность выпадения черных шаров больше 3 обозначим P’ P=1-P’ По формуле Бернулли вероятность наступления m событий в n испытаниях равна Pn(m) = n! / (m!(n-m)!) * p^m * q^(n-m) В нашем случае (для черных шаров): p= 5/15 = 1/3 q= 10/15 = 2/3 Вероятность выпадения черных шаров больше 3 (4 или 5 или 6): P’ = P6(6) + P6(5) + P6(4) P’ = 1/729 + 12/729 + 60/729 = 73/729 Тогда P= 1 - 73/729 = 656/729 Рекомендую прочитать по этой теме: http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/2/

Ответ отправил: Шичко Игорь (статус: 6-ой класс) Ответ отправлен: 30.09.2008, 12:42

Вопрос № 145.487

Здравствуйту уважаемые эксперты. Задача по теории вероятности. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения х1 и х2, причем х1<х2. Известны вероятность р1 возможного значения х1, матетматическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины: p1=0,9 M(X)=3.1 D(X)=0.09 Заранее спасибо за ответ.

Отправлен: 30.09.2008, 10:41 Вопрос задал: Plusik (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Tribak Здравствуйте, Plusik! Для начала найдем вероятность p2 она равна p2=1-p1=0.1 теперь воспользуемся мат. ожиданием чтобы выразить x2 через x1 M=p1*x1+p2*x2 0.9*x1+0.1x2=3.1 9*x1+x2=31 x2=31-9x1 теперь воспользуемся дисперсией: D=p1*(x1-M)^2+p2*(x2-M)^2 подставляя сюда все значения и преобразовывая его, получим что у нас есть 2 возможных значения для x1 это 3.2 и 3 x1-1=3.2 x1-2=3 теперь посчитаем x2 x2-1=31-9*x1-1=2.2 x2-2=31-9*x1-2=4 получается что: x1=3.2 x2=2.2 или x1=2 x2=4 из условия известно что x2>x1, это второй случай закон распределения таков x=2 p=0.9 x=4 p=0.1 Удачи!

Ответ отправил: Tribak (статус: Студент) Ответ отправлен: 30.09.2008, 12:22

Вопрос № 145.493

Здравствуйту уважаемые эксперты. Задача по теории вероятности. Известно математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение ь (ню) нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой случайной величиныв заданный интервал (a (альфа), b (бета)). a=6 ь(ню)=3 a(альфа)=2 b(бета)=11 Заранее огромное спасибо.

Отправлен: 30.09.2008, 11:03 Вопрос задал: Plusik (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Plusik! Решение. Искомую вероятность можно найти, используя функцию Лапласа: P(2 < X < 11) = (1/2)*Ф((11 – 6)/3) – (1/2)*Ф((2 – 6)/3) = (1/2)*Ф(1,67) + (1/2)*Ф(0,33) = (1/2)*0,9051 + (1/2)*0,2585 = 0,5818. Ответ: 0,5818. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист) Ответ отправлен: 03.10.2008, 21:12

Вопрос № 145.506

Здравствуйте , уважаемые эксперты . Есть 2 вопроса в которых я сомневаюсь , надеюсь что поможете . В мелочах разберусь сам , дайте хотя бы направление . 1) Y"+4*Y'=4/sin2x , Y(Pi/4)=2 , Y'(Pi/4)=Pi - решить . 2) f(x)=(cosx)^5 - разложить в ряд Фурье . Заранее благодарен . С уважением .

Отправлен: 30.09.2008, 12:37 Вопрос задал: Айболит (статус: Студент) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 5)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Айболит! 1. Для нахождения частного решения заданного ДУ метод неопределенных коэффициентов не подходит. Поэтому для нахождения общего решения следует использовать метод вариации произвольных постоянных. Поскольку соответствующее однородное уравнение Z” + 4Z’ = 0, характеристическим уравнением которого является уравнение k^2 + 4k = 0, а решениями – k1 = 0, k2 = -4, имеет фундаментальную систему решений Z1 = 1, Z2 = e^(-4X), то общее решение заданного уравнения следует искать в виде Y = C1(X) + C2(X)*e^(-4X), где функции C1(X) и C2(X) находятся из системы дифференциальных уравнений C1’(X) + C2’*e^(-4X) = 0, -4*C2’(X)*e^(-4X) = 4/sin 2X. Решив эту систему и подставив начальные условия, можно решить задачу. Используйте определитель Вронского. 2. Поскольку (cos x)^2 = (1/2)*(cos 0 + cos 2x) = (1/2)*(1 + cos 2x) = 1/2 + (cos 2x)/2, (cos x)^4 = (1/2 + (cos 2x)/2)^2 = 1/4 + (cos 2x)/2 + (1/4)*(cos 2x)^2) = = 1/4 + (cos 2x)/2 + (1/4)*(1/2 + (cos 4x)/2)) = 1/4 + (cos 2x)/2 + 1/8 + (cos 4x)/8 = = 3/8 + (cos 2x)/2 + (cos 4x)/8, то (cos x)^5 = (cos x)*(cos x)^4 = (3/8)*cos x + (cos x)*(cos 2x)/2 + (cos x)*(cos 4x)/8 = = (3/8)*cos x + (1/2)*(cos x + cos 3x)/2 + (1/2)*(cos 3x + cos 5x)/8 = = (5/8)*cos x + (5/16)*cos 3x + (1/16)*cos 5x. Получили представление функции f(x) = (cos x)^5 в виде суммы произведений вида a(n)*cos mx. Спрашивается, чем не ряд Фурье? --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист) Ответ отправлен: 03.10.2008, 23:23 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 145.546

плз решите sin30градусов7минут

Отправлен: 30.09.2008, 18:23 Вопрос задала: Iriha (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Iriha! В практических вычислениях можно воспользоваться: 1) логарифмической линейкой (этот способ дает не более трех значащих цифр. Так, например, для данного случая находим sin 30º7' = 0,502); 2) таблицей В. М. Брадиса (пользуясь таблицей VIII, находим sin 30º4' = 0,5015 + 0,0003 = 0,5018); 3) инженерным калькулятором (для данного случая находим sin 30º7' = sin (30 + 7/60)º = sin 30,1167º = 0,50176...). Если нобходимо произвести вычисление аналитически, то можно поступить следующим образом. Поскольку 7' = (7/60)*(п/180) = 0,00203..., и для малых величин α(выраженных в радианах!) sin α = α, то sin 7' = sin 0,00203. Воспользовавшись теперь тем, что для малых углов α имеет место приближенное равенство sin (x + α) = sin x + α*cos x (эту формулу можно получить как из формулы синуса двух аргументов, так и воспользовавшись определением производной), находим sin 30º ;7' = 0,5 + 0,86603*0,00203 = 0,5018. Перечисление способов можно продолжить. С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист) Ответ отправлен: 04.10.2008, 01:27 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 145.548

здравствуйте.помогите пожалуйста по заданному значению функции найти сos ß/4,если cosß=-7/25,180градусов≤ß≤270 градусов

Отправлен: 30.09.2008, 18:51 Вопрос задал: G-buck (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Serega1988 Здравствуйте, G-buck! 1)cosß=2*cos(ß/2)^2-1 Следоват. cos(ß/2)=(+/-)(корень(cosß+1)/2)=(+/-)(3/5) Т.к. 90>(ß/2)>135, то cos(ß/2)=-3/5 2)cos(ß/2)=2*cos(ß/4)^2-1 Следоват. cos(ß/4)=(+/-)(корень(cos(ß/2)+1)/2)=(+/-)(1/корень(5)) Т.к. 45>(ß/2)>67,5, то cos(ß/4)=-1/корень(5) ОТВЕТ: cos(ß/4)=-1/корень(5) --------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время

Ответ отправил: Serega1988 (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 30.09.2008, 19:56

Отвечает: Шичко Игорь Здравствуйте, G-buck! Будем использовать формулу для половинного аргумента cosα/2 = ±√((1+cosα)/2) (знак зависит от положения угла α/2 Два раза применим формулу получим: Cosβ/4 = ±√((1+cosβ/2)/2) cosβ/2 = ±√((1+cosβ)/2) при этом имеем ввиду что cosβ < 0, cosβ/2 < 0, cosβ/4 > 0 В итоге получаем Cosβ/4 = √((1 – (√((1 – 7/25)/2)))/2) = 1/√5 ≈ 0,45 Формулы приведения половинных аргументов : http://www.pm298.ru/trigon5.shtml

Ответ отправил: Шичко Игорь (статус: 6-ой класс) Ответ отправлен: 01.10.2008, 09:08

Вопрос № 145.572

Всем Привет !! Пожалуйста, помогите решить задание по вычислительной математике: Условия: 1. Отделить корни. 2. Уточнить 1 корень методом хорд. Задана точность: ξ=10-3 Уравнение: x3-10x+2=0

Отправлен: 30.09.2008, 23:02 Вопрос задал: Владислав Викторович (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Владислав Викторович! 1. Отделение корней заданного уравнения можно произвести графически. Для этого можно: 1) построить график функции y = x^3 - 10x + 2; 2) построить графики функций y = x^3 и y = 10x - 2. Выполним отделение корней аналитически. Очевидно, что функция y = x^3 - 10x + 2 и ее производная y' = 3x^2 - 10 непрерывны на всей числовой оси. Определим интервалы монотонности функции y(x). Найдем для этого точки, в которых производная y'(x) меняет знак. Решим уравнение 3x^2 - 10 = 0 и получим x1 = -√(10/3) ≈ -1,82574, x2 = √ (10/3) ≈ 1,82574. Найдены следующие интервалы монотонности функции y(x): (-∞; -1,82574)], [-1,82574; 1,82574)], [1,8257; ∞). Определим знак функции y(x) на концах найденных интервалов: lim (x → -∞) (x^3 - 10x + 2) = -∞ < 0; y(-1,82574) = -6,0857 + 18,2574 + 2 = 14,1717 > 0; y(1,82574) = 6,0857 – 18,2574 + 2 = -10,1717 < 0;lim (x → ∞) (x^3 - 10x + 2) = ∞ > 0. Получили три интервала, на которых функция y(x) меняет знак. Следовательно, заданное уравнение имеет три действительных корня, по одному на каждом из интервалов. Для дальнейшего найдем дополнительно значения функции: y(-4) = -64 + 40 + 2 = -22; y(4) = 64 – 40 + 2 = 26. Ищем методом хорд значение корня на отрезке [-4; -1,82574]. Найдем уточненное значение корня: c = a – f(a)*(b – a)/(f(b) – f(a)) = -4 – (-22)*(-1,82574 – (-4))/(14,1717 – (-22)) = = -4 – (-22)*2,17426/7,8283 = -2,67759. Следовательно, x1 = -2,67759. Находим y(-2,11036) = 9,57896 > 0. Так как y(-4) = -22 < 0, y(-2,67759) = 9,57896 > 0, y(-1.82574) = 14,1717 > 0, то выбираем новый отрезок [-4; -2,67759] (он вложен в предыдущий, и на его концах функция y(x) принимает значения разных знаков). Снова найдем уточненное значение корня: c = -4 – (-22)*(-2,67759 – (-4))/(9,57896 – (-22)) = -3, 07872. Следовательно, x2 = -3,07872. Находим y(-3,07872) = 3,60548 > 0. Так как |x2 – x1| = |-3,07872 – (-2,67759)| = 0,40113 > ξ = 0,001, то выбираем новый отрезок [-4; -3,07852] и так далее. Процесс итераций продолжаем, пока не получим |x(i + 1) – x(i)| ≤ ξ. Результаты вычислений, выполненные в Microsoft Excel, приведены в таблице 1. Таблица 1 a b f(a) f(b) b - a f(b) - f(a) f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)) c f(c) |c(i + 1) - c(i)| -4 -1,82574 -22 14,1716 2,17426 36,1716 -1,32241 -2,67759 9,57896 -4 -2,67759 -22 9,57896 1,32241 31,5790 -0,92128 -3,07872 3,60548 0,40113 -4 -3,07872 -22 3,60548 0,92128 25,6055 -0,79155 -3,20845 1,05633 0,12972 -4 -3,20845 -22 1,05633 0,79155 23,0563 -0,75529 -3,24471 0,28632 0,03627 -4 -3,24471 -22 0,28632 0,75529 22,2863 -0,74559 -3,25441 0,07596 0,00970 -4 -3,25441 -22 0,07596 0,74559 22,0760 -0,74302 -3,25698 0,02004 0,00257 -4 -3,25698 -22 0,02004 0,74302 22,0200 -0,7423 4 -3,25766 0,00528 0,00068 Как видно из таблицы 1, полученное значение корня приблизительно равно -3,2577. Выполним аналогичные вычисления для отрезка [-1,82574; 1,82574]. Результаты сводим в таблицу 2. Таблица 2 a b f(a) f(b) b - a f(b) - f(a) f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)) c f(c) |c(i + 1) - c(i)| -1,82574 1,82574 14,1716 -10,17161 3,65148 -24,3432 -2,12574 0,30000 -0,97300 -1,82574 0,30000 14,1716 -0,97300 2,12574 -15,1446 -1,98917 0,16343 0,37009 0,13657 0,16343 0,30000 0,37009 -0,97300 0,13657 -1,3431 -0,03763 0,20106 -0,00247 0,03763 0,16343 0,20106 0,37009 -0,00247 0,03763 -0,3726 -0,03738 0,20081 -0,00001 0,00025 Как видно из таблицы 2, полученное значение корня приблизительно равно 0,2008. Выполним аналогичные вычисления для отрезка [1,82574; 4]. Результаты сводим в таблицу 3. Таблица 3 a b f(a) f(b) b - a f(b) - f(a) f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)) c f(c) |c(i + 1) - c(i)| 1,82574 4 -10,1716 26 2,17426 36,1716 -0 ,61141 2,43715 -7,89555 2,43715 4 -7,89555 26 1,56285 33,8956 -0,36405 2,80120 -4,03180 3,86375 2,80120 4 -4,03180 26 1,19880 30,0318 -0,16094 2,96214 -1,63081 2,40099 2,96214 4 -1,63081 26 1,03786 27,6308 -0,06126 3,02339 -0,59736 1,03344 3,02339 4 -0,59736 26 0,97661 26,5974 -0,02193 3,04533 -0,21084 0,38653 3,04533 4 -0,21084 26 0,95467 26,2108 -0,00768 3,05301 -0,07344 0,13740 3,05301 4 -0,07344 26 0,94699 26,0734 -0,00267 3,05567 -0,02546 0,04798 3,05567 4 -0,02546 26 0,94433 26,0255 -0,00092 3,05660 -0,00881 0,01665 3,05660 4 -0,00881 26 0,94340 26,0088 -0,00032 3,05692 -0,00305 0,00576 3,05692 4 -0,00305 26 0,94308 26,0030 -0,00011 3,05703 -0,00105 0,00199 3,05703 4 -0,00105 26 0,94297 26,0011 -0,00004 3,05707 -0,00036 0,00069 Как видно из таблицы 3, полученное значение корня приблизительно равно 3,0571. Ответ: -3,2577; 0,2008; 3,0571. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Специалист) Ответ отправлен: 04.10.2008, 11:40

© 2001-2008, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале ∙ Версия системы: 5.3 RC 2 от 09.09.2008
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru