Вопрос № 145148: здравствуйте,помогите пожалуйста преобразовать в произведение ctgß-tgß-2tg2ß-4tg4ß...Вопрос № 145161: Здравствуйте уважаемые коллеги . Подскажте пожалуйста как решить и как вообще решаются подобные примеры . Заранее благодарен . 1) Решить интеграл INT[dx/(1+(x^(2n)))] . 2) Исследовать и построить график функции заданой параметрически : x=t/(1-(...Вопрос № 145192:
Здравствуйте!!! Добрый день! Помогите пожайлуста! Найти общее решение диф. ура-я, допускающего понижения порядка 1. xy”=y’+x^2 (отв.y=x^3/3+C1x^2/2+C2 Заранее большое спасибо!!! ...
Вопрос № 145.148
здравствуйте,помогите пожалуйста преобразовать в произведение ctgß-tgß-2tg2ß-4tg4ß
Отправлен: 26.09.2008, 22:05
Вопрос задал: G-buck (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 28.09.2008, 19:36
Вопрос № 145.161
Здравствуйте уважаемые коллеги . Подскажте пожалуйста как решить и как вообще решаются подобные примеры . Заранее благодарен . 1) Решить интеграл INT[dx/(1+(x^(2n)))] . 2) Исследовать и построить график функции заданой параметрически : x=t/(1-(t^2)) ; y=t*(1-4*(t^2))/(1-(t^2)) .
Отправлен: 27.09.2008, 04:01
Вопрос задал: Айболит (статус: Студент)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Lang21
Здравствуйте, Айболит!
1. Результат есть в "Таблицах интегралов и рядов" Градштейна и Рыжика, п. 2.142. Книгу можно скачать в сети. Формула достаточно сложная, поэтому не привожу её здесь. Способ вычисления, который применялся для её получения, судя по структуре выражения, основан на разложении на простые дроби выражения 1/(1+x^k) в комплексной области. Интеграл вычисляется как при чётном k=2n (Ваш случай), так и при нечётном k.
2. Прежде всего интервал изменения t необходимо разбить
на подинтервалы (-oo, -1), (-1,1), (1..oo), так как имеются особенности при t = -1 и t = 1. Каждому из этих подинтервалов соответствует отдельная ветвь графика. Можно также заметить, что график функции симметричен относительно начала координат, так как при замене t->-t одновременно меняют знак x и y.
Далее исследуем только ветвь, соответствующую интервалу (-1,1) изменения t. Две другие ветви исследуются аналогично.
Заметим, что функция x(t) = t/(1-t^2)
монотонно возрастает на интервале (-1,1), причём x изменяется от -oo до +oo. Поэтому по значению х можно однозначно определить t, принадлежащее интервалу (-1,1). То есть, фактически мы имеем дело с функцией, которую можно записать как y(x) (хотя получать явное выражение для y(x) нет большого смысла).
Найдем асимптоты. Заметим, что при t -> 1 x->oo и y->-oo, при t->-1 x->-oo, y->oo. При этом отношение y/x = 1-4*t^2 стремится к -3, оставаясь по абсолютной величине меньше этого значения.
Это значит, что график имеет асимптоту y = -3*x, приближаясь к ней снизу при отрицательных значениях x, и сверху - при положительных.
Найдем точки пересечения графика с осями. Эти точки определяются из условий x=0 (пересечение с осью y) и y = 0 (пересечение с осью х). Ось y пересекается только в одной точке при t=0, при этом x=0 и y = 0. Точек пересечения графика с осью x три: при t = -1/2, t= 0 и t = 1/2, в этих точках значение x равно соответстве
нно -2/3, 0 и 2/3.
Найдем производную dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt). После упрощения получим: dy/dx = (1 - 11*t^2 + 4*t^4)/(1 + t^2). Нули производной находятся из решения биквадратного уравнения, так как знаменатель всегда >= 1. Из четырёх корней только два попадают в интервал (-1, 1). Соответствующие значения равны приблизительно: t1 = - 0.3068, x1 = -0.3387, y1 = -0.2112 и t2 = 0.3068, x2 = 0.3387, y2 = 0.2112. Можно также заметить, что в интервале (-oo, x1) производная dy/dx отрицательна, в
интервале (x1, x2) - положительна, и в интервале (x2, oo) - снова отрицательна.
Этого достаточно для построения графика. Можно также найти несколько дополнительных точек.
Ответ отправил: Lang21 (статус: Студент)
Ответ отправлен: 27.09.2008, 11:50 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Cпасибо огромное , Вы уже второй раз мне помогли .
Вопрос № 145.192
Здравствуйте!!! Добрый день! Помогите пожайлуста!
Найти общее решение диф. ура-я, допускающего понижения порядка 1. xy”=y’+x^2 (отв.y=x^3/3+C1x^2/2+C2
Заранее большое спасибо!!!
Отправлен: 27.09.2008, 14:21
Вопрос задал: Dragonlio (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Dragonlio! xy”=y’+x^2 y"-(y'/x)=x Далее стоит сделать замену и решить как обычное однородное уравнене . y'=x*P(x)=>y"=x*P'(x)+P(x) x*P'+P-P=x => dP/dx=1 => dP=dx => P=INTdx=x+C1=y'/x y'=(x^2)+C1*x => Y(x)=INT[((x^2)+C1*x)*dx]=(1/3)*(x^3)+(C1/2)*(x^2)+C2 .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: Студент)
Ответ отправлен: 28.09.2008, 12:21 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: спасибо!
