/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 652
от 22.04.2008, 03:05

Вопрос № 132.350

Дорогие эксперты! Прошу Вас, уважаемые, о помощи в решении задания Коши: y^3 y’’+ 49 = 0, y(3) = -7, y’(3) = -1 Заранее Вам благодарна!

Отправлен: 16.04.2008, 10:08 Вопрос задала: Маргарита Левса (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Маргарита Левса! y^3 y’’+ 49 = 0 дифференциальное уравнение 2го порядка, допускающее снижение порядка, для чего введем замену y'=p (р зависит от у) y''=pp' y^3*p*p'+49=0 pp'=-49/y^3 pdp=-49dy/y^3 Int[pdp]=Int[-49dy/y^3] p^2 /2=49/(2*y^2) +C1 p^2=49/y^2 +C1 p=sqrt(49/y^2 +C1) Возвращаемся к замене: y'=p y'=sqrt(49/y^2 +C1) dy/dx=sqrt(49+C1*y^2) /y ydy/(sqrt(49+C1*y^2))=dx Int[ydy/(sqrt(49+C1*y^2))]=Int[dx] 1/(2C1)* Int[d(C1*y^2+49)/(sqrt(49+C1*y^2))]=Int[dx] 1/C1 *sqrt(C1*y^2+49)=x+C2 (1) Выразив из (1) y, получим y=sqrt(1/C1*((C1*x+C1*C2)^2 - 49)) (2) y'=sqrtC1*(C1*x+C1*C2)/sqrt((C1*x+C1*C2)^2 -49) Теперь подставьте в первом уравнении вместо у - -7, вместо х - 3, а во втором вместо y' - -1, а вместо х - 3 Получите систему из двух уравнений с переменными С1 и С2, к-рые нужно найти и подставить в решение (2)

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.04.2008, 16:33 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 132.352

Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста с поиском общего решения диференциального уравнения y’’ – 4y’ = 8e^(4x) + 8 e^(-4x) Заранее благодарна вам за помощь и уделённое внимание!!! СПАСИБО!

Отправлен: 16.04.2008, 10:13 Вопрос задала: Маргарита Левса (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Маргарита Левса! y’’ – 4y’ = 8e^(4x) + 8 e^(-4x) линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2го порядка с постоянными коэффициентами Решим сперва соответствующее однородное уравнение: y''-4y'=0 Используем подстановку y=e^(tx) y'=te^(tx) y''=t^2*e^(tx) t^2*e^(tx) -4te^(tx)=0 Разделим обе части уравнения на e^(tx) не равное 0: t^2-4t=0 t(t-4)=0 t1=0, t2=4 y1=e^(0*x)=1 y2=e^(4x) y=C1*y1+C2*y2 y=C1+C2*e^(4x) Метод вариации неопределенных коэффициентов: C1'(x)+C2'(x)*e^(4x)=0 C1'(x)*0+4*C2'(x)*e^(4x)=8e^(4x) + 8 e^(-4x) 4*C2'(x)*e^(4x)=8e^(4x) + 8 e^(-4x) C2'(x)=2*(1+e^(-8x)) C2(x)=Int[2*(1+e^(-8x)) dx]=2x-1/4*e^(-8x)+C2 C1'(x)=-C2'(x)*e^(4x)=-2*(1+e^(-8x))*e^(4x)=-2(e^(4x)+e^(-4x)) C1(x)=-2Int[(e^(4x)+e^(-4x)) dx]=-1/2*e^(4x) + 1/2*e^(-4x)+C1 y=C1(x)+C2(x)*e^(4x) y=-1/2*e^(4x) + 1/2*e^(-4x)+C1+e^(4x)*(2x-1/4*e^(-8x)+C2)

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.04.2008, 17:33

Вопрос № 132.362

Здравствуйте! Неоднократно уже задавал вопрос по рядам и никто не помогает! Может быть, у кого то есть свободная минутка и желание. Найти область определения функционального ряду: ∑ n=1 и до беск. 2^n tg x/3^x Помогите пожалуйста, учусь заочно и если можно с обьяснениями! Кстати у меня сегодня День Рождения, помогите! Заранее спасибо!

Отправлен: 16.04.2008, 10:33 Вопрос задал: SkyNET// (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Ulitka71 Здравствуйте, Пономаренко Николай Николаевич! Треба шукать область определения функционального ряду чи область його сходимости? Ще мабуть в формуле опечатка 2^n tg x/3^n, иначе ряд неограниченно возрастает при почти любом х ? Область определения совпадает с таковой у тангенса - U [k э Z] (-Pi/2+Pi*k; Pi/2+Pi*k) Теперь сходимость. Т.к. все члены ряда ∑ [1;infinity] (2^n tg x)/(3^n) при любом х имеют один знак, то достаточно исследовать на абсолютную сходимость (условная не нужна). Воспользуемся признаком Даламбера: lim[n->infinity] |F{n+1}(x)/F{n}(x)| = (2/3)=L(x) для сходимости L(x)<1, расходимости L(x)>1 Значит, при любом х из области определения этот ряд - абсолютно сходящийся. З днем нарождення. До побачення.

Ответ отправил: Ulitka71 (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 11:24 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! С пасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо! Спасибо

Вопрос № 132.451

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса - корень из двух. Его вершины делят окружность на три части в отношении 1:2:3. Найдите сторону правильного треугольника, площадь которого равна площади треугольника ABC.

Отправлен: 16.04.2008, 17:44 Вопрос задал: Москвин Глеб Юрьевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Andrekk Здравствуйте, Москвин Глеб Юрьевич! Пусть х-градусная мера, дуги, на которую опирается угол В, 2х-на которую опирается угол А, 3х-на которую опирается угол С. Общая градусная мера окружности равна 360. Тогда х+2х+3х=360 6х=360 х=60 Вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно угол А равен 30, угол В 60, а угол С 90. Значит треугольник АВС-прямоугольный и угол С как прямой опирается на диаметр, равный 2*sqr(2), то есть АВ=2*sqr(2). Сторона, лежащая против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, т.е. АС=sqr(2). Теперь мы можем вычислить площадь треугольника АВС через формулу S=1/2*absinC, беря стороны АВ и АС и угол в 60 градусов между ними. S=1/2*2*sqr(2)*sqr(2)*sqr(3)/2=sqr(3). Площадь правильного треугольнике через ту же формулу равна а^2*sqr(3)/4 Получаем уравнение а^2*sqr(3)/4=sqr(3) откуда получаем, что а равно 2. Ответ: 2.

Ответ отправил: Andrekk (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 19:30 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Dayana Здравствуйте, Москвин Глеб Юрьевич! Окружность разделена на 3 части. Дуги соответственно равны 60, 120 и 180 градусов. Так как вписанный угол, опирающийся на дугу 180 градусов - прямой, то треугольник прямоугольный. В прямоугольном треугольнике гипотенуза в 2 раза больше радиуса описанной окружности, то есть равна 2√2. Кроме того, так как один из центральных углов 60 градусов, то катет равен радиусу, то есть √2. Тогда второй катет по теореме Пифагора √(8-2) = √6. Площадь треугольника 0,5*√2*√6 = 0,5*√12 тогда сторона равного по площади равностороннего треугольника: a^2*√3/4 = 0.5*√12 a^2 = 4 a = 2

Ответ отправила: Dayana (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.04.2008, 19:39 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 132.452

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали смежных боковых граней AB1 и CB1 составляют с АС углы альфа и бэтта. Сколько градусов составляет угол между плоскостью АВ1С и плоскостью основания, если тангенс альфа = 1, тангенс бэтта = 4?

Отправлен: 16.04.2008, 17:49 Вопрос задал: Москвин Глеб Юрьевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Andrekk Здравствуйте, Москвин Глеб Юрьевич! Проведем в треугольнике высоту В1Н. Пусть В1Н=с, АН=а, СН=в. В треугольнике АВ1Н tgВ1АН=1=с/а, т.е. а=с. В треугольнике В1НС tgВ1СН=4= с/в, т.е. с=4в. Из двух выше установленных равенств получается, что а=4в. ВВ1-перпендикуляр к плоскости основания, В1Н-наклонная, следовательно по теореме о трех перпендикулярах ВН перпендикулярно АС. Значит в прямоугольном треугольнике АВС ВН-высота, проведенная из вершины прямого угла. Следовательно, ВН есть среднее геометрическое отрезков, на которые высота делит гипотенузу-отрезки в и 4в. ВН=sqr(4в*в)=2в. В прямоугольном треугольнике В1НВ гипотенуза В1Н=4в, катет ВН=2в, следовательно угол против катета, вдвое меньшего гипотенузы, равен 30-угол ВВ1Н=30, угол ВНВ1=60. Очевидно,угол В1НВ-двухгранный угол между плоскостью АВ1С и плоскостью основания (В1Н перпендикулярно АС, ВН перпендикулярно АС). Ответ: 60 градусов.

Ответ отправил: Andrekk (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 21:19 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 132.481

Уважаемые эксперты, помогите справиться с заданием: Решите неравенство: f´(x)>=f´´(x), если f(x)=(2х-1)^6 Нужно как можно быстрее...заранее огромное спасибо...

Отправлен: 16.04.2008, 19:27 Вопрос задала: Attalea (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: Andrekk Здравствуйте, Attalea! Найдем первую и вторую производные этой функции по правилу производной степенной функции. f'(x)=6(2x-1)^5 f''(x)=30(2x-1)^4 Приходим к неравенству 6(2х-1)^5>=30(2х-1)^4 или равносильное (2х-1)^5>=5(2х-1)^4 При х=1/2 0>=0 - неравенство выполняется. Для х не равных 1/2 поделим обе части неравенства на (2х-1)^4. Четвертая степень любого числа-число положительное, поэтому знак неравенства не изменится. 2х-1>=5 х>=3. Ответ: х€{1/2}U[3; +беск.).

Ответ отправил: Andrekk (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 19:49

Вопрос № 132.488

Доброго времени суток! Уважаемые эксперты помогите в решении примера. Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка с постоянным коэффициентами, удовлетворяющего заданным начальным условиям; б) общее решение линейного уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами. а) y"-4y'+4y=0, y(0)=1,y'(0)=3; б) y+2y-3y=-2e^3x

Отправлен: 16.04.2008, 20:09 Вопрос задал: NoKsa1981 (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, NoKsa1981! a) y"-4y'+4y=0, y(0)=1,y'(0)=3 Замена: y=e^(tx), y'=t*e^(tx), y''=t^2*e^(tx) t^2*e^(tx)-4*t*e^(tx)+4*e^(tx)=0 Разделим обе части уравнения на e^(tx) не равное 0 t^2-4t+4=0 (t-2)^2=0 t1=t2=2 y1=e^(2x), y2=x*e^(2x) y=C1*y1+C2*y2 y=C1*e^(2x)+C2*x*e^(2x) y'=2C1*e^(2x)+C2*e^(2x)+2C2*x*e^(2x) Применим условия Коши y(0)=1,y'(0)=3 1=С1+0 3=2С1+С2+0 С1=1 С2=1 y=e^(2x)+x*e^(2x) б) y''+2y'-3y=-2e^3x Сначала решим соответствующее однородное уравнение y''+2y'-3y=0 Замена: y=e^(tx), y'=t*e^(tx), y''=t^2*e^(tx) t^2*e^(tx)+2*t*e^(tx)-3*e^(tx)=0 Разделим обе части уравнения на e^(tx) не равное 0 t^2+2t-3=0 t1=-3, t2=1 y1=e^(-3x), y2=e^x y=C1*e^(-3x) + C2*e^x Метод вариации неопределенных коэффициентов: С1'(x)*e^(-3x)+C2'(x)*e^x=0 -3*С1'(x)*e^(-3x)+C2'(x)*e^x=-2e^(3x) С2'(x)*e^x=-C1'(x)*e^(-3x) С1'(x)*e^(-3x)-C1'(x)*e^(-3x)*e^x=-2e^(3x) С2'(x)*e^x=-C1'(x)*e^(-3x) С1'(x)=1/2*e^(6x), проинтегрировав, получим, что C1(x)=1/12*e^(6x)+C1 C2'(x)=-1/2*e^(2x) C2(x)=-1/4*e^(2x)+C2 y=C1*e^(-3x) + C2*e^x y=(1/12*e^(6x)+C1)*e^(-3x) + (-1/4*e^(2x)+C2)*e^x

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 17.04.2008, 09:38 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 132.490

Здравствуйте! Помогите пожалуйста с заданием и если можно с обьяснениями! Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равняется 0,2. Найти математическое ожидание числа деталей, которые отказали, если испытанию подлежат 10 деталей! И еще: напишыте пожалуйста кратко что такое мат. ожидание и формулу. СПАСИБО БОЛЬШОЕ!

Отправлен: 16.04.2008, 20:14 Вопрос задал: SkyNET// (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Tribak Здравствуйте, SkyNET//! введем события: A-отказ детали p=p(A)=0.2 B-не отказ детали q=p(B)=1-p(A)=0.8 будем пользоваться формулой Бернулли: P(X)=C(X,10)*p^X *q^(n-X) где n-общее кол-во интересующих нас испытаний, оно равно по одному испытанию на деталь итого 10 P(0)=C(0,10)*0.2^0 *0.8^10=0.107 P(1)=0.268 P(2)=0.302 P(3)=0.201 P(4)=0.088 P(5)=0.026 P(6)=0.0055 P(7)=0.000786 P(8)=7.373*10^5 P(9)=4.096*10^-6 P(10)=1.024*10^-7 формула математического ожидания такова, что надо все умножить каждое возможное значение этой случайное величины на вероятность появления именно этого значения то есть: m=0*P(0)+1*(P1)+2*(P2)+3*(P3)+....+10*P(10)=2 расчет довольнатаки кропотливый, советую считать в какой-нить математическом пакете

Ответ отправил: Tribak (статус: Студент) Ответ отправлен: 17.04.2008, 00:20 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо, но в подальшем может возникнуть некие вопросы

Вопрос № 132.498

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить! И если можно с обьяснениями! Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний p = 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события уклонится от его вероятности за абсолютной величиной не более чем на 0,001.

Отправлен: 16.04.2008, 20:29 Вопрос задал: SkyNET// (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Долгих Людмила Здравствуйте, SkyNET//! Воспользуемся следующей формулой P(|m/n - р|<=e)=2Ф(e*sqrt(n/(p*q))), где р - вероятность появления события р=0.75 m - количество испытыний в которых событие появилось n - общее количество испытаний n=10000 т.е. m/n - относительная частота появления события e=0.001 Ф - функция Лапласа q - вероятность непоявления события q=1-p=0.25 sqrt - корень квадратный Подставляем данные P(|m/10000 - 0.75|<=0.001) = 2Ф(0.001*sqrt(10000/(0.75*0.25))) =2Ф(0.23)= 0.182

Ответ отправила: Долгих Людмила (статус: 3-ий класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 21:11 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо большое! А как наз. формула, которую мы используем? Еще раз спасибо!

Вопрос № 132.505

Уважаемые эксперты, помогите справиться с заданием: Прямая проходит через точки А(4;6) и В(0;1). Определите, в какой точке она касается до графика функции: g(x)=(x^2-1)/x Нужно как можно быстрее...заранее огромное спасибо...

Отправлен: 16.04.2008, 20:56 Вопрос задала: Attalea (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Andrekk Здравствуйте, Attalea! В координатной плоскости любая прямая имеет уравнение всех своих точек - уравнение вида у=kx+m. Подставляя вместо х и у значения абцисс и ординат точек А и В, приходим к системе из двух уравнений: 6=4k+m 1=0k+m Из второго уравнения системы ясно, что m=1. Подставляя это значение вместо в первое уравнение системы, получим 6=4k+1 k=5/4 Тогда уравнение точек данной прямой у=5/4*х+1 Очевидно, это и есть уравнение касательной к графику функции у=(х^2-1)/х. Найдем производную этой функции, она равна 1+1/х^2. Ясно, что 5/4 - производная функции в точке касания. Тогда 1+1/х^2=5/4 х^2=4 х=+-2. Это и есть предполагаемые абциссы точки касания. Используя алгоритм вывода уравнения касательной, проверим будет ли у=5/4*х+1 уравнением касательной в точки с абциссами -2 и 2. Для точки с абциссой 2, получим уравнение касательной у=5/4*х-1, которое нам не подходит. А для точки с абциссой -2 уравнение касательной именно у=5/4*х+1. Следовательно, она и будет точкой касания заданной прямой с графиком функции у=(х^2-1)/х. Ординату этой точки мы можем найти без труда, подставляя ее абциссу заместо х или в уравнение прямой, или в уравнение функции. И там и там ордината -3/2. Ответ: (-2; -3/2).

Ответ отправил: Andrekk (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 23:14

© 2001-2008, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале ∙ Версия системы: 4.91 pre 5.0 RC1 от 13.04.2008
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru