/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 651
от 20.04.2008, 20:05

Вопрос № 132.235

Здраствуйте помогите решить уравнение 2x^3 - 3x-14=0

Отправлен: 15.04.2008, 03:24 Вопрос задал: Понамарёв Александр Викторович (статус: 2-ой класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Andrekk Здравствуйте, Понамарёв Александр Викторович! Докажем сначала, что если корень есть, то он единственный. Вычислим производную функции у=2х^3-3х-14, производная равна 6х^2-3. Несложно установить по промежуткам монотонности, что при х€(-беск.;-1/sqr(2)U(1/sqr(2) функция возрастает, на остальном интервале-убывает. Нетрудно установить, что при х=-1/sqr(2) значение функции отрицательное, следовательно на промежутке (-беск.; -1/sqr(2)) значение функции отрицательное. На промежутке (-1/sqr(2); 1/sqr(2)) функция убывает и отдаляется от нуля, а на промежутке (1/sqr(2);+беск.) функция возрастает до бесконечности,следовательно, именно на этом промежутке следует искать корни. Кроме того, корень один-на этом промежутке функция монотонно возрастает и лишь в одной точке пересекает ось абцисс. Преобразуем исходное уравнение разделив его обе части на 2. Получим уравнение х^3-1,5х-7=0 Это приведенное кубическое уравнение с нулевым коэффициентом у х^2. Следовательно, чтобы отыскать единственный корень, мы можем применить формулу Кардано: х=(-q/2+sqr((q/2)^2+(p/3)^3))^(1/3)+(-q/2-sqr((q/2)^2+(p/3)^3))^(1/3) =(3,5+sqr(97/8))^(1/3)+(3,5-sqr(97/8))^(1/3). Ответ: (3,5+sqr(97/8))^(1/3)+(3,5-sqr(97/8))^(1/3).

Ответ отправил: Andrekk (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 09:03 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за ответ. Формулы Кардано я не знал.

Вопрос № 132.240

Помогите вычислить sin(1/2 arcsin(-3/5))

Отправлен: 15.04.2008, 05:16 Вопрос задал: Понамарёв Александр Викторович (статус: 2-ой класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Andrekk Здравствуйте, Понамарёв Александр Викторович! Очевидно точка arcsin(-3/5) (обозначим ее за С) будет находиться в четвертой четверти окружности. Точка же 1/2 arcsin(-3/5) (обозначим В) будет делить дугу АС (А-точка с координатами (1; 0) пополам. Следовательно, угол СОВ равен углу АОВ (как центральные углы, опирающиеся на равные дуги), обозначим каждый из них за @ ("альфа"). Тогда угол АОС равен 2@. Из прямоугольного треугольника ОСК (СК-высота, проведенная из точки С на АО и 3/5). ОК^2=1-(3/5)^2 ОК=4/5 cos2@=4/5 Теперь, используя формулу sin^2(@)=(1-cos2@)/2, мы найдем ВН (высота проведенная из точки В на ОА и по совместительству искомый sin(1/2 arcsin(-3/5))). ВН^2= sin^2(@)=(1-4/5)/2=1/10 Четверть четвертая, поэтому sin отрицательный.Итак, sin(1/2 arcsin(-3/5))=-1/sqr(10). Ответ: -1/sqr(10).

Ответ отправил: Andrekk (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 15:58

Отвечает: Lang21 Здравствуйте, Понамарёв Александр Викторович! Еще одно решение. sin((1/2)*arcsin(-3/5)) = - sin((1/2)*arcsin(3/5)), так как обе функции, sin и arcsin - нечетные. Далее, рассматривая прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5, заключаем, что cos (arcsin(3/5)) = 4/5. Подставляя a = (1/2)*arcsin(3/5) в формулу для косинуса двойного угла cos(2a) = 1 - 2*sin(a)^2, находим sin(a)^2 = (1-4/5)/2 = 1/10. Учитывая, что 2a= arcsin(3/5) лежит в первом квадранте, и, следовательно, a - тоже, получаем: sin(a) = 1/sqrt(10), и sin((1/2)*arcsin(-3/5)) = -1/sqrt(10).

Ответ отправил: Lang21 (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 17.04.2008, 21:16

Вопрос № 132.254

Здравствуйте, уважаемые знатоки математики. Задачки довольно легкие, думаю их решение не составит для вас труда. 1. Из сосуда, доверху наполненного 88%-м раствором кислоты, отлили 2,5 литра жидкости и долили 2,5 литра 60%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 80%-й раствор кислоты. Найти вместимость сосуда в литрах. 2. Найти наименьшее целое значение функции y=25^x - 5^x+1 + 4,25. Заранее спасибо. Буду благодарен за каждый правильный ответ. Но чем быстрее, тем лучше, так как нужно очень срочно. Жду ответов.

Отправлен: 15.04.2008, 08:24 Вопрос задал: Infinity shadow (статус: 2-ой класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)

Отвечает: Sosedov A.I. Здравствуйте, Infinity shadow! 1. Пусть сосуд имеет емкость х литров. Вначале сосуд содержал 0.88*х литров неразбавленной кислоты (НК) в растворе. Из него отлили 2.5*0.88 литров НК. Потом долили 2.5*0.6 литра НК. В итоге количество НК в сосуде стало равным 0.8*х. Уравнение 0.88*х - 2.5*0.88 + 2.5*0.6 = 0.8*х имеет решение х = 8.75 литра.

Ответ отправил: Sosedov A.I. (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 15.04.2008, 14:52 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за решение задачи, ответ правильный, как, собственно, и само решение. Также благодарю за оперативность ответа.

Отвечает: Andrekk Здравствуйте, Infinity shadow! 2) Преобразуем исходное выражение: 25^х-5^(х+1)+4,25=5^(2х)-5*5^х+4,25=(5^х)^2-5*5^х+4,25 Введем новую переменную а=5^х а^2-5а+4,25 график этой функции парабола с ветвями направленными вверх, поэтому своего наименьшего значения функция достигает в вершине, а ее абцисса 5/2 (х0=-в/(2а)). Теперь дело техники-решить простейшее показательное уравнение 5^х=2,5 х=log5 (2,5) Подставляя это значение х в исходное выражение функции, получаем что ее наименьшее значение равно -2, и оно целое. Ответ: -2.

Ответ отправил: Andrekk (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 08:20 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за решение, и, главное, подробное объяснение.

Вопрос № 132.256

Уважаемые эксперты, помогите решить задачу! Концы отрезка АВ лежат на окружности оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r. Его высота h а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d если h 6см r 5см AB 10см. Нужно решение и ответ :)))

Отправлен: 15.04.2008, 08:54 Вопрос задал: Домшенко Максим Юрьевич (статус: 4-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Sosedov A.I. Здравствуйте, Домшенко Максим Юрьевич! В проекции на основание цилиндра отображается следующее: окружность с центром в точке О; равнобедренный треугольник с вершинами в точке О, точке А, лежащей на окружности, точке В1 (проекция точки В на основание цилиндра), также лежащей на окружности, причем |АО| = |В1О| = r; высота треугольника АВ1О, проведенная из точки О, ее длина равна d. Так как треугольник АВ1О - равнобедренный, то высота делит основание пополам, и из свойства прямоугольного треугольника d = sqrt(r^2 - (|AB1|/2)^2). (1) В объемной модели задачи: отрезок АВ, образующая цилиндра ВВ1 (ее длина равна h) и хорда основания AB1 представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно |АВ1| = sqrt(|AB|^2 - h^2). (2) Итак, подставляя (2) в (1), имеем d = sqrt(r^2 - (|AB|^2 - h^2)/4). Ответ: d = 3 (см).

Ответ отправил: Sosedov A.I. (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 16.04.2008, 07:56

Вопрос № 132.273

Помогите решить задачу. Найти dy/dx и d^2 y/dx^2 от функций ,заданных параметрически. |x=t^3+8t | |y=t-sint

Отправлен: 15.04.2008, 10:17 Вопрос задал: Kiselev (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Kiselev! Производная функции, заданной параметрически: dy/dx=dy/dt : dx/xt dy/dt=1-cost dx/dt=3t^2+8 dy/dx=(1-cost)/(3t^2+8) d^2y/dt^2=[d(dy/dx)/dt] : [dx/dt] d(dy/dx)/dt=(sint*(3t^2+8) - (1-cost)*6t)/(3t^2+8)^2 d^2y/dt^2=(sint*(3t^2+8) - (1-cost)*6t)/(3t^2+8)^3

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 18.04.2008, 16:51

Вопрос № 132.275

Помогите решить. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a,b]. f(x)= x^5 + 5/3 x^3+2; [0;2]

Отправлен: 15.04.2008, 10:21 Вопрос задал: Kiselev (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Andrekk Здравствуйте, Kiselev! Следуя алгоритму определения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на промежутке [a;b], найдем производную данной функции, она равна 5х^4+5х^2. (используем правило производной суммы и производной степенной функции (х^r)'=r*x^(r-1)). Заметим, что при любом х производная неотрицательная, поэтому нет точек минимума и максимума. Следовательно, исходная функция монотонная возрастающая, поэтому значение функции в точке с абсциссой х=0 есть наименьшее значение функции на промежутке [0;2], с абсциссой х=2 - наибольшее. Ответ: у(наим.)=2; у(наиб.)=142/3.

Ответ отправил: Andrekk (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 15.04.2008, 13:37

Вопрос № 132.276

Решите пожалуйста задачу. Найти уравнения касательных к графикам функций F (x;y)=0 и проходящих через т. M0 (x0;y0) y=2xx^2+1, M0(1;1).

Отправлен: 15.04.2008, 10:31 Вопрос задал: Kiselev (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Kiselev! Уравнение касательной к графику функции y=f(x0)+f'(x0)*(x-x0) M0(1,1), значит f(1)=1 f'(x)=(2*(x^2+1)-2x*2x)/(x^2+1)^2= =(2-2x^2)/(x^2+1)^2 f'(1)=0 Тогда уравнение касательной примет вид: y=1

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 18.04.2008, 17:01

Вопрос № 132.279

Помогите решить задачу. Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя. lim= пи-2arctgx 1x x->бесконечность

Отправлен: 15.04.2008, 10:42 Вопрос задал: Kiselev (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Kiselev! lim[x->00][пи-2arctgx 1x]=правило Лопиталя= =lim[x->00][(пи-2arctgx)'/(1/x)']= =lim[x->00][-2/(x^2+1) / (-1/x^2)]= =2*lim[x->00][x^2/(x^2+1)]=2*1=2

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 18.04.2008, 17:07

Вопрос № 132.282

Помогите решить задачу. Дана функция z= y^23x - arcsin(xy). Показать что x^2 dzdx-xy dzdy+y^2=0

Отправлен: 15.04.2008, 10:47 Вопрос задал: Kiselev (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Kiselev! z= y^23x - arcsin(xy) Найдем частные производные данной функции: dz/dx=-y^2/(3*x^2) - y/sqrt(1-x^2*y^2) dz/dy=2y/(3x) - x/sqrt(1-x^2*y^2) x^2 dzdx-xy dzdy+y^2= =x^2*(-y^2/(3*x^2) - y/sqrt(1-x^2*y^2)) - xy*(2y/(3x) - x/sqrt(1-x^2*y^2)) + y^2= =-(y^2)/3 - x^2*y/sqrt(1-x^2*y^2) -2y^2/3 +x^2*y/sqrt(1-x^2*y^2)+y^2= =-3(y^2)/3+y^2=-y^2+y^2=0

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 15.04.2008, 11:54

Вопрос № 132.284

Помогите решить задачу. Даны функция z=(x;y), точка A(x0;y0) и вектор a. Найти 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а. z=2x^2 + 3 xy +y^2; A(2;1), a=3i-4j.

Отправлен: 15.04.2008, 11:04 Вопрос задал: Kiselev (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Kiselev! 1) grad z=dz/dx*i+dz/dy*j dz/dx=4x+3y dz/dx(A)=4*2+3*1=8+3=11 dz/dy=3x+2y dz/dy(A)=3*2+2*1=6+2=8 grad z=(4x+3y)*i+(3x+2y)*j grad z(A)=11*i+8*j 2) Для нахождения производной по направлению вектора а в точке А перемножим скалярно grad z(A) и a: (a,grad z)(A)=3*11+(-4)*8=33-32=1

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 15.04.2008, 11:22

Вопрос № 132.287

Помогите решить задачу. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах результаты проверить дифференцированием. а)| xdx(x^2+4)^6 | б)| e^x ln(1+3e^x)dx | в)| 2x^2-3x+1x^3 +27 dx | г)| dxsinx + tgx | Приложение: | знак интеграла |

Отправлен: 15.04.2008, 11:31 Вопрос задал: Kiselev (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Kiselev! 1) Int[xdx/(x^2+4)^6]=1/2*Int[d(x^2+4)/(x^2+4)^6]= =1/2*(x^2+4)^(-5)/-5 +C=-1/10* 1/(x^2+4)^5 +C Проверка: (-1/10* 1/(x^2+4)^5 +C)'=-1/10* 2x*(-5)*(x^2+4)^(-6)=x/(x^2+4)^6 2) Int[e^x ln(1+3e^x)dx]=(1) замена переменной t=e^x, x=lnt, dx=dt/t (1)=Int[t*ln(1+3t)dt/t]=Int[ln(1+3t)dt]= =1/3*Int[ln(1+3t)d(1+3t)]=(2) по частям u=ln(1+3t), du=3dt/(1+3t) dv=d(1+3t), v=1+3t (2)=1/3*((1+3t)*ln(1+3t)-Int[3*(1+3t)dt/(1+3t)])= =1/3*((1+3t)*ln(1+3t)-3t+C)= !!! t=e^x !!! =1/3*(1+3e^x)*ln(1+3e^x)-e^x+C1 Проверка: (1/3*(1+3e^x)*ln(1+3e^x)-e^x+C1)'= =3*1/3*e^x*ln(1+3e^x)+1/3*3e^x*(1+3e^x)/(1+3e^x) - e^x= =e^x*ln(1+3e^x)+e^x-e^x=e^x*ln(1+3e^x)

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 15.04.2008, 14:52

Вопрос № 132.288

Уважаемые эксперты помогите решить задачу. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. -3 | xdx(x^2 +1)^2 | -бесконечность Приложение: | знак интеграла |

Отправлен: 15.04.2008, 11:36 Вопрос задал: Kiselev (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Kiselev! Int[-00,-3][xdx/(x^2+1)^2]=lim[a->-00]Int[a,-3][xdx/(x^2+1)^2]= =1/2*lim[a->-00]Int[a,-3][d(x^2+1)/(x^2+1)^2]= =-1/2*lim[a->-00][1/(x^2+1)][a,-3]=-1/2*lim[a->-00](1/10 - 1/(a^2+1))= =-1/2*lim[a->-00]((a^2+1-10)/(10a^2+10))= =-1/20*lim[a->-00](a^2-9)/(a^2+1)= =-1/20

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 15.04.2008, 12:31

Вопрос № 132.301

Помогите пожалуйста! Даны вершины треугольника - A(1,-1) B(-2,1) C(3,5) 1) написать уравнения сторон треугольника 2)уравнение высоты BD 3)медианы AM

Отправлен: 15.04.2008, 13:05 Вопрос задала: RubyR (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, RubyR! 1) Уравнение прямой через две точки: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) AB: (x-1)/(-2-1)=(y+1)/(1+1) (x-1)/-3=(y+1)/2 AB: 2x+3y+1=0 AC: (x-1)/(3-1)=(y+1)/(5+1) (x-1)/2=(y+1)/6 AC: 3x-y-4=0 BC: (x+2)/(3+2)=(y-1)/(5-1) (x+2)/5=(y-1)/4 BC: 4x-5y+13=0 2) Уравнение прямой через точку (x0,y0) и направляющий вектор (p, q): (x-x0)/p=(y-y0)/q Для искомой высоты BD направляющим вектором выступит нормальный вектор прямой АС (p,q)=(3,-1) (x+2)/3=(y-1)/(-1) BD: x+3y-1=0 3) Медиана АМ делит точкой М сторону ВС пополам. Найдем координаты точки М и воспользуемся уравнением прямой через две точки: xM=(xB+xC)/2 yM=(yB+yC)/2 xM=1/2 yM=3 (x-1/2)/(1-1/2)=(y-3)/(-1-3) (x-1/2)/1/2=(y-3)/(-4) AM: 8x+y-7=0

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 18.04.2008, 17:30

Вопрос № 132.303

Помогите решить! Производные: 1) y = 1/2x^2+3x-4x^3 2) y = (x+7)ln x 3) y = cos x/3 Предел: 1)lim (x стрем. к беск) x^4+3x-1/x^3+x^2

Отправлен: 15.04.2008, 13:13 Вопрос задала: RubyR (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, RubyR! 1) y = 1/2*x^2+3x-4x^3 y'= 1/2*2*x+3-4*3*x^2= =x+3-12x^2 2) y = (x+7)ln x Производная произведения: y'=1*lnx+(x+7)*1/x= =lnx+(x+7)/x 3) y = cos x/3 y'=1/3*(-sin x/3)=-1/3*sin x/3

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 16.04.2008, 09:58 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо большое!!!!

© 2001-2008, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале ∙ Версия системы: 4.91 pre 5.0 RC1 от 13.04.2008
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru