Вопрос № 119529: Здравствуйте Уважаемые эксперты. У меня опять просьба, что бы вы помогли мне решить следущии задания:
1) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x-3y+z-1=0 u x-y+5z+3=0
2) 15. Найти ...Вопрос № 119572: Здравствуйте!
помогите найти общее решение уравнения
y"+(1-x)y'+y=1
если известны 2 его частных решения:y1=1; y2=x;
воспользоваться теоремой о том, что если для линейного неоднородного уравнения известны два его частных решений y...Вопрос № 119610: Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста, решить предел двумя способами( правилом Лопиталя и эквивалентными преобразованиями):
lim (1-cos2x+tg^2x)/(x sin^2 3x)
x->o
Спасибо за рассмотрение....
Вопрос № 119.529
Здравствуйте Уважаемые эксперты. У меня опять просьба, что бы вы помогли мне решить следущии задания:
1) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x-3y+z-1=0 u x-y+5z+3=0
2) 15. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(2, -3, 3) параллельно плоскости 3x+y-3z=0
Заранее большое спасибо за помощь. И если возможно, то сделайте ответ более полным.
Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Рубан Алексей Михайлович!
1)Начало координат О(0,0,0).
Нормальные вектора к указанным плоскостям являются направляющими для искомой плоскости, т.е. 2x-3y+z-1=0 вектор n1(2,-3,1); x-y+5z+3=0 вектор n2(1,-1,5).
|x y z|
|2 -3 1|=0 (уравнение через точку, принадл. плоскости, и два направляющих вектора)
|1 -1 5|
Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение: -14х-9у+z=0
2) Для нахождения отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях, напишем уравнение этой плоскости, учитывающее этот параметр:
x/a+y/b+z/c+d=0 (1), где a, b, c - отрезки, отсекаемые плоскостью на соответствующих координатных осях.
Напишем уравнение искомой плоскости через принадлежащую ей точку (x0,y0,z0) и нормальный вектор (n1,n2,n3): n1*(x-x0)+n2*(y-y0)+n3*(z-z0)=0
M(2,-3,3). Поскольку искомая плоскость параллельна данной плоскости, то ее нормальный вектор будет нормальным вектором для искомой плоскости: п(3,1,-3).
Уравнение искомой плоскости: 3*(x-2)+1*(y+3)-3*(z-3)=0
3x+y-3z+6=0.
Чтобы получить уравнение вида (1), разделим обе части уравнения на 3:
x+y/3-z+2=0
Т.е. плоскость отсекает на оси Ох отрезок, равный 1, на оси Оу - равный 3, на оси Oz - равный 1.
Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 21.01.2008, 13:22 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за полный ответ!
Вопрос № 119.572
Здравствуйте!
помогите найти общее решение уравнения
y"+(1-x)y'+y=1
если известны 2 его частных решения:y1=1; y2=x;
воспользоваться теоремой о том, что если для линейного неоднородного уравнения известны два его частных решений y1 и y2, то их разность y2-y1 будет частным решением соответствующего однородного.
заранее спасибо!
Отвечает: Lang21
Здравствуйте, Нефедов Иван Николаевич!
Одно частное решение однородн. ур-я известно и равно x - 1.
Найдем другое его частное решение y(x).
Запишем опред. Вронского ф-ций y(x) и x - 1:
(1) W(x) = y'(x)*(x - 1) - y(x).
Он должен быть отличен от 0 для линейной независимости y(x) и x-1.
Определитель Вронского двух решений ур-я
y'' + (1 - x)*y' + y = 0
равен (по теореме об опред. Вронск. для решений лду):
(2) W(x) = W(0)* exp(- интеграл (1 - x)*dx) = W(0)*exp(-x + x^2/2)
Из (1), (2) получим, полагая W(0) = 1:
(3) (x - 1)*y' - y = exp(-x+x^2/2)
(Любое другое значение W(0)!=0, даст решение y(x), отличающееся пост. множителем).
Решим сначала однор. уравнение (x - 1)*y' - y = 0:
dy/y = d(x - 1)/(x - 1), d(ln(y)) = d(ln(x - 1)),
ln y = ln(x -1) + lnC,
(4) y = C*(x - 1).
Теперь решим (3) методом вариации произвольной постоянной
(подставляем (4) в (3), считая C функцией от x):
C'(x)*(1 - x)^2 = exp (-x + x^2) (после несложных преобразований),
C(x) = интеграл (exp(-x + x^2/2)/(x-1)^2)*dx + С0.
Подставляем C(x) в (4), получим y(x), искомое второе решение данного
в задаче однородного уравнения:
y = (x-1)* интеграл (exp(-x + x^2/2)/(x-1)^2)*dx.
(Взято C0 = 0, так как нам нужно только одно частное решение).
Общее решение данного в задаче неоднородного уравнения равно
сумме любых линейно независ. частных решений однородного уравнения,
умноженных на произвольные постоянные + любое частн. решение неоднородного уравнения:
C1* (x-1)*интеграл (exp(-x + x^2/2)/(x-1)^2)*dx + C2*(x-1) + 1 (Ответ)
Ответ отправил: Lang21 (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 21.01.2008, 20:03 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 119.610
Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста, решить предел двумя способами( правилом Лопиталя и эквивалентными преобразованиями):
lim (1-cos2x+tg^2x)/(x sin^2 3x)
x->o
Спасибо за рассмотрение.
