/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 560
от 18.01.2008, 18:35

Вопрос № 118.200

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Возможно, у меня несколько нестандартный вопрос, но все же.... Не могли бы Вы объяснить (или хотя бы натолкнуть на путь истинный) что такое дифференциал. Сразу понимаю Ваше желание отправить на Вики и т.п. Но не в недостатке информации дело. Просто в разных источниках написана совершенно разная информация, однако большая часть все же придерживается плоского мнения "дифференциал - линейная часть приращения функции". Но где-то это функция, где-то просто некая величина. А в приложении часть текста книги Р. КУРАНТ Г. РОББИНС "Что такое математика?", которая окончательно переворачивает с ног на голову. Т.е. основной вопрос все таки что такое дифференциал и что является "основным понятием", на чем базируется другое - дифф. или производная? Благодарю за внимание! Приложение: § 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» .... Несмотря на все сказанное выше, в дальнейшем употребление обо- значений Лейбница: dy/dx для производной и S f(x)dx для интеграла, не только сохранилось, но и оказалось чрезвычайно полезным. Против та- кого употребления нечего возразить, если не упускается из виду, что символ d есть только символ перехода к пределу. Преимущество обо- значений Лейбница состоит в том, что с пределами отношений или сумм можно в какой-то мере оперировать так, «как если бы» они были в самом деле отношениями или суммами. Подсказывающая сила этой символики всегда вводила в соблазн приписывать этим символам некоторый совер- шенно нематематический смысл. Если не поддаваться этому соблазну, то обозначения Лейбница являются по меньшей мере превосходным сокра- щением более громоздких явных выражений, содержащих предельный переход; по существу же они совершенно необходимы в более развитых частях теории.

Отправлен: 13.01.2008, 00:31 Вопрос задал: mix_mix (статус: 8-ой класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Casper2005 Здравствуйте, mix_mix! Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f '(x)*дельта(x) или dy = f '(x)dx.

Ответ отправила: Casper2005 (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 13.01.2008, 10:25 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: Ну книжки я тоже читаю, поэтому в курсе как там написано. Просто математику не надо знать, её надо _понимать_. Вот поэтому я и задал такой вопрос. Но, однако, спасибо за то, что уделили время моему вопросу!

Вопрос № 118.230

Умоляю помогите!Эти задачи за 9-ый класс,в русском и прочих я отличница,но математика и геометрия мне, как ни старайся,в голову не лезят... Вот ссылка http://i026.radikal.ru/0801/bd/8c7b9df883ea.jpg И еще вот: 1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Оx, если А(–1; 3). 2.Решите треугольник АВС, если В = 30º, С = 105º, ВС = 3 см. 3.Найдите косинус угла М треугольника KLM, если К (1; 7), L(– 2; 4), М(2; 0). Заранее огромное спасибо!

Отправлен: 13.01.2008, 10:36 Вопрос задала: Жукова Анастасия Николаевна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Casper2005 !!! Здравствуйте, Жукова Анастасия Николаевна! По ссылке: 1) Решите уравнение x^3 - 81x = 0 x*(x^2-81) =0 x1 = 0 x^2 - 81 = 0 x^2 = 81 x2 = -9 x3 = 9 2) x^4 - 19*x^2 + 48 = 0 замена x^2 = t t^2 - 19*t + 48 = 0 D = 19^2 - 4*1*48 = 169 t1 = (19-13)/2 = 3 t2 = (19+13)/2 = 16 Тогда x^2 = 3, x1 = - корень из 3, х2 = корень из 3 x^2 = 16, x3 = -4, x4 = 4 2. При каких значениях t уравнение 3x^2 + t*x + 3 = 0 имеет два корня Находим дискриминант D = t^2 - 4*3*3 = t^2 - 36 Для того чтобы уравнение имело два корня необходимо, чтобы D > 0 Тогда t^2 - 36 >0, t^2 > 36, t > 6 и t > -6 или t < −6 4. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 42 см². Найдите стороны прямоугольника Обозначим стороны прямоугольника через a и b Периметр прямоуголник а вычисляется по формуле P = 2*(a+b) а площадь S = a*b Получим систему 2*(a+b) = 26 a*b=42 или a+b = 13 a=42/b Получим (42/b) + b = 13 b^2 -13*b + 42 = 0 По теореме Виетта Виета b1+b2 = 13 b1 * b2 = 42 откуда b1 = 6, b2 = 7 Тогда а1= 7, а2 = 6 Следовательно 1) a = 7, b = 6 2) a = 6, b = 7 5. Координаты точек пересечения окружности и прямой найдем решив систему кравнений x^2 + y^2 = 17 5x - 3y = 17 выразим x=(17 + 3y) / 5 Подставим в первое уравнение [(17+3y)/5]^2 + y^2 = 17 17^2 + 2*17*3y + 9y^2 +25*y^2 = 25 *17 34 * y^2 +102*y - 136 = 0 y^2 + 3y - 4 = 0 По теореме Виетта Виета y1 + y2 = -3 y1 * y2 = -4 Тогда y1 = -4, y2 = 1 и х1 = (17-12)/5 = 1, х2 = (17+3)/5=4 Окончательно 1) х1 = 1, у1 = -4 2) х2 = 4, у2 = 1 ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Профессор) ∙ Дата редактирования: 14.01.2008, 20:50

Ответ отправила: Casper2005 (статус: 4-ый класс) Ответ отправлен: 13.01.2008, 11:17 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Огромное спасибо за вашу помощь!

Вопрос № 118.236

Здравствуйте уважаемые эксперты и все кто получит этот вопрос. Помогите пожалуйста исследовать сходимость числового ряда E|n=1| (n/n+1)^n Спасибо.

Отправлен: 13.01.2008, 11:05 Вопрос задал: Трефилов Юрий Сергеевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Vassea Здравствуйте, Трефилов Юрий Сергеевич! Найдем предел общего члена при n->беск lim(n->беск)(n/(n+1))^n=lim(n->беск)(1/[(n+1)/n])^n= =lim(n->беск)1^n/[(n+1)/n]^n= =lim(n->беск)1/[1+1/n]^n=1/e Предел общего члена ряда не равен 0 => ряд расходится

Ответ отправил: Vassea (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.01.2008, 11:38 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 118.239

Доброго времени суток, поздравляю всех с прошедшими праздниками!!! Помогите пожалуйста вычислить интеграл с точностью до 0,001, разложив подыинтегральную ф-цию в степенной ряд и затем проинтегрировать его по членно int|от 0 до 1| e^(-x^2)/3 dx Заранее благодарен...

Отправлен: 13.01.2008, 11:12 Вопрос задал: Трефилов Юрий Сергеевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: heap11 Здравствуйте, Трефилов Юрий Сергеевич! e^(-u) = 1 - u + u² / 2! - u³ / 3! + u⁴ / 4! - ... e^(-⅓ x²) = 1 - x²/3 + x⁴ / (2! * 3²) - x⁶ / ( 3! * 3³ ) + x⁸ / ( 4! * 3⁴ ) - .. S =∫₀¹ e^(-⅓ x²) dx = 1 - 1/3*3 + 1/(2! * 3² *5) - 1 /( 3! * 3³ * 7) + 1 / ( 4! * 3⁴ * 9) - ... = 1 - 1/9 + 1/90 - 1/1134 + 1/17496 - ... S₃ = 1 - 1/9 + 1/90 = 0.9 S₄ = S₃ - 1/1134 ≈ 0.89912 S₅ = S₄ + 1/17496 ≈ 0.89918 Т.к. ряд знакопеременный, то с точностью до 0.001 S = 0.899

Ответ отправил: heap11 (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 13.01.2008, 18:56 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 118.252

Помогите, пожалуйста, исследовать функции и построить график: 1) y=(x^2-4)^3 2) y=(x^3)/(2(x-1)^2)

Отправлен: 13.01.2008, 12:57 Вопрос задал: Londarion (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Vassea Здравствуйте, Londarion! I) f(x)=(x^2-4)^3 1) область определения -- все множество действительных чисел. 2) Нули функции (x^2-4)^3=0 x^2-4=0 x^2=4 x=+-2 3) Четность, нечетность а) область определения сииметрична относительно 0 -- да б) f(-x)=((-x)^2-4)^3=(x^2-4)^3=f(x)=> функция четная 4) Интервалы знакопостоянства f(x)<0 x:=(-2;2) f(x)>0 x:=(-беск;-2)U(2;+беск) 5) Асимптоты а) горизонтальные lim(x->беск)f(x)=беск => нет горизонтальной асимптоты б) вертикальные -- нет, так как область определения непрерывна в) наклонные lim(x->беск)f(x)/x=беск => нет наклонных асимптот 6) первая производная f'(x)=3*(x^2-4)^2*2*x=6x*(x^2-4)^2 f'(x)=0 x=0; x=+-2 (два раза) (x^2-4)^2 -- число неотрицательное => f'(x)<0 <=> x<0 f'(x)>0 <=> x>0 x=0 -- точка экстремума (минимума), так как проходя через эту точку производная меняет свой знак f(0)=4^3=64 -- экстркемум функции f(x) убывает на (-беск;0] f(x) возрастает на [0;+беск) 7) вторая производная f''(x)=6*(x^2-4)^2 + 6x*2*(x^2-4) * 2*x= =6*(x^2-4)*(x^2-4+4x^2)=6*(x^2-4)*(5x^2-4) f''(x)=0 x=-2; x=+2; x=+-2/sqrt(5) f''(x)>0 на (-беск;-2), (-2/sqrt(5);=2sqrt(5)), (+2;+беск) на этих интервалах функция вогнута вниз f''(x)<0 на (-2;-2/sqrt(5)) , (2sqrt(5);+2) на этих интервалах функция вырукла вверх.

Ответ отправил: Vassea (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.01.2008, 18:04

Вопрос № 118.260

помогите упростить выражение {[3x/2-(2^1/2)*x]^1/2 + [3x/2+(2^1/2)*x]^1/2} * * { [ 6x (5+2*(6^1/2)) ]^1/4 } * * { [3*((2x)^1/2)*2* ((3x)^1/2) ]^1/2 } * [(6)^1/2] заранее спасибо Исправлены опечатки в выражении (см. мини-форум). ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Профессор) ∙ Дата редактирования: 13.01.2008, 20:05

Отправлен: 13.01.2008, 14:07 Вопрос задала: Катюня (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 10)

Отвечает: Vassea Здравствуйте, Катюня! {[3x/2-(2^1/2)*x]^1/2 + [3x/2+(2^1/2)*x]^1/2} * * { [ 6x (5+2*(6^1/2)) ]^1/4 } * * { [3*((2x)^1/2)*2* ((3x)^1/2) ]^1/2 } * [(6)^1/2] Выражение [3x/2-(2^1/2)*x] находится под знаком квадратного корня Преобразуем его 3x/2-(2^1/2)*x=x*[3/2- 2^1/2] Корень квадратный из двух меньше, чем 3/2, => [3/2- 2^1/2] >0 => x>=0 3/2- 2^1/2 = [3 - 2* sqrt(2)]/2 , sqrt -- квадратный корень [3 - 2* sqrt(2)]/2=[(sqrt(2))^2 - 2 * 1 * sqrt(2) + 1^2] /2= = [sqrt(2) - 1]^2 / 2 => [3x/2-(2^1/2)*x]=x * [sqrt(2) - 1]^2 / 2 [3x/2-(2^1/2)*x]^1/2 = [sqrt(2)-1] * sqrt(x/2) Преобразуя [3x/2+(2^1/2)*x]^1/2 таким же образом, получим [3x/2+(2^1/2)*x]^1/2=[sqrt(2) + 1] * sqrt(x/2) Перепишем первоначальное выражение {sqrt(x/2)*[sqrt(2)-1 +sqrt(2)+1]} * * { [ 6x (5+2*(6^1/2)) ]^1/4 } * * { [3*((2x)^1/2)*2* ((3x)^1/2) ]^1/2 } * [(6)^1/2]= =sqrt(x/2)*2 *sqrt(2) * * { [ 6x (5+2*(6^1 /2)) ]^1/4 } * * { [3*((2x)^1/2)*2* ((3x)^1/2) ]^1/2 } * [(6)^1/2] Преобразуем [ 6x (5+2*(6^1/2)) ]^1/4 5+2*(6^1/2)=sqrt(2)^2 + 2 * sqrt(2) * sqrt(3) + sqrt(3)^2= =(sqrt(2)+sqrt(3))^2 [ 6x (5+2*(6^1/2)) ]^1/4 = (6x)^1/4 * [sqrt(2) + sqrt(3)]^1/2 Преобразуем [3*((2x)^1/2)*2* ((3x)^1/2) ]^1/2= =[6 * (2x*3x)^1/2]^1/2= =[6 * sqrt(6) * sqrt(x^2)]^1/2, так как х число неотрицательное, то sqrt(x^2)=x =[6 * sqrt(6) * x]^1/2= sqrt(6) * (6^1/4) * sqrt(x) Запишем первоначальное выражение sqrt(x/2)*2 *sqrt(2) * * (6x)^1/4 * {[sqrt(2) + sqrt(3)]^1/2} * * sqrt(6) * (6^1/4) * sqrt(x) * sqrt(6)= =sqrt(x) / sqrt(2) * 2 * sqrt(2) * * (6^1/4) * (x^1/4) * {[sqrt(2) + sqrt(3)]^1/2} * * sqrt(6) * (6^1/4) * sqrt(x) * sqrt(6)= = sqrt(x) * 2 * * sqrt(6) * (x^1/4) * [sqrt(2) + sqrt(3)] * * sqrt(6) * sqrt(x) * sqrt(6)= =2 * x * 6 * sqrt(6) * (x^1/4) * {[sqrt(2) + sqrt(3)]^1/2} = =12 * sqrt(6) * {[sqrt(2) + sqrt(3)]^1/2} * x * (x^1/4) Исправлено по просьбе эксперта. ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Профессор) ∙ Дата редактирования: 14.01.2008, 13:42

Ответ отправил: Vassea (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.01.2008, 19:37

Вопрос № 118.264

помогите упростить выражение [(x*((-1-x)^1/2)+((-x^3)+(x^2))^1/2)/(x*((-1-x)^1/2)-((-x^3)+(x^2))^1/2)]-x заранее спасибо

Отправлен: 13.01.2008, 14:24 Вопрос задала: Катюня (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 14)

Отвечает: Vassea Здравствуйте, Катюня! [x*((-1-x)^1/2) + ((-x^3)+(x^2))^1/2] / [x*((-1-x)^1/2) - ((-x^3)+(x^2))^1/2] - x В выражении присутствует корень квадратный из (-1-x) => -1-x>=0 x<=-1 => x -- не может принимать положительные значения Преобразуем это выражение ((-x^3)+(x^2))^1/2=[x^2*(-x)+x^2]^1/2=[x^2*(1-x)]^1/2 Корень квадратные из х в квадрате =|x|, а так как x<0, то |x|=-x [x^2*(1-x)]^1/2=-x*(1-x)^1/2 [x*((-1-x)^1/2) - x*(1-x)^1/2 ] / [x*((-1-x)^1/2) + x*(1-x)^1/2] - x= ={x* [(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2] } / {x*[(-1-x)^1/2 + (1-x)^1/2]} - x= x<=-1=> x<>0 сократим дробь на х = [(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2] / [(-1-x)^1/2 + (1-x)^1/2] - x Домножем числитель и значенатель на [(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2] ={[(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2]^2}/{[(-1-x)^1/2 + (1-x)^1/2]*[(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2]} - x {[(-1-x)^1/2 + (1-x)^1/2]*[(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2]} -- разность квадратов [(-1-x)^1/2 + (1-x)^1/2]*[(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2]= =[(-1-x)^1/2]^2 - [(1- x)^1/2]^2= =|-1-x|-|1-x| x<=-1 => |-1-x|=-1-x |1-x|=1-x [(-1-x)^1/2 + (1-x)^1/2]*[(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2]=-1-x-(1-x)=-2 {[(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2]^2}/{[(-1-x)^1/2 + (1-x)^1/2]*[(-1-x)^1/2 - (1-x)^1/2]} - x= ={[(-1-x)^1/2]^2 + [(1-x)^1/2]^2 -2*[(-1-x)*(1-x)]^1/2}/ (-2) - x= ={-1-x+1-x - 2*(x^2-1)^1/2}/(-2) -x = ={-2x -2*(x^2-1)^1/2}/(-2)-x= =х+(x^2-1)^1/2-х= =(x^2-1)^1/2 Исправлено по просьбе эксперта. ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Профессор) ∙ Дата редактирования: 14.01.2008, 13:56

Ответ отправил: Vassea (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.01.2008, 16:21 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: спасибо

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.70 от 17.01.2008
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru