/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 508
от 25.11.2007, 00:35

Вопрос № 110.168

здравствуйте! у меня даны координаты точек А(х1:у1) В(х2:у2) С(х3:у3) Д(х4:у4) с помощью них я могу составить трапецию, а как мне доказать, что она является равнобокой. Пожалуйста пришлите мне только формулы и устное пояснение к ним, но мне обязательно нужны формулы! Приложение: нужны формулы

Отправлен: 19.11.2007, 15:45 Вопрос задал: Князь Владимир (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Pavl Здравствуйте, Князь Владимир! Сначала надо доказать, что это будет трапеция. Трапеция - это выпуклый четырёхугольник, у которого 2 стороны параллельны, а две другие нет. У равнобокой трапеции боковые стороны равны. Если боковые стороны AB и CD, то длина AB равна корень((x2-x1)^2+(y2-y1)^2); CD=корень((x4-x3)^2+(y4-y3)^2). Аналогично, если боковыми сторонами будут BC и AD.

Ответ отправил: Pavl (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 19.11.2007, 16:44 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: хороший ответ подходит для решния моей задачи!

Вопрос № 110.176

Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи: 1. Написать уравнение касательных к окружности x[в квадрате] +y[в квадрате] -8x-4y+16=0, проведённых из начала координат 2. Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки пересечения прямой x+y+a=0 с окружностью x[в квадрате] +y[в квадрате]= а[в квадрате] 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(-1;3), В(0;2) и С(1;-1) 4. Написать уравнение траектории точки М(x;y), которая при своём движении остаётся вдвое ближе к точке А(0;-1), чем к точке В(0;4). Построить траектории движения. Заранее огромное спасибо! Swallow.

Отправлен: 19.11.2007, 16:06 Вопрос задала: Ласточка (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Ласточка! Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи: 1. Написать уравнение касательных к окружности x2 + y2 - 8x - 4y + 16 = 0, проведённых из начала координат x2 + y2 - 8x - 4y + 16 = x2 - 8x + 16 + y2 - 4y + 4 - 4 = (x - 4)2 + (y - 2)2 - 4 = 0 (x - 4)2 + (y - 2)2 = 22 Вектор к точке касания (x, y) должен быть перпендикулярен радиусу от точки касания к центру окружности (4, 2), т.е. ветору (x - 4, y - 2). Вектора перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно 0: x(x - 4) + y(y - 2) = 0. Имеем систему уравнений: x2 + y2 - 8x - 4y + 16 = 0 x2 - 4x + y2 - 2y = 0 Вычитаем из второго первое: 4x + 2y = 16 => y = 8 - 2x Подставляем во второе: x2 + (8 - 2x)2 = 4x + 2y = 16 5x2 - 32x + 48 = 0 x = (16 ± 4)/5 = {12/5, 4} y = 8 - 2x = {16/5, 0} Уравнения касательных y/(16/5) = x/(12/5) => y = (4/3)x и y = 0. 2. Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки пересечения прямой x + y + a = 0 с окружностью x2 + y2 = а2 Точки пересечения находим решением системы: x + y + a = 0 x2 + y2 = а2 Подставим y = -(x + a) во второе: 2x2 + 2ax + a2 = а2 => 2x(a + x) = 0 => x = {0,-a} и y = -(x + a) = {-a, 0} Получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого центр описанной окружности находится на середине гипотенузы: (-a/2, -a/2) и радиус равен раастоянию от начала координат до этой точки a/√2. Тогда уравнение окружности (x + a/2)2 + (y + a/2)2 = a2/2. 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(-1;3), В(0;2) и С(1;-1) Центр окружности равноудалён от всех точек: (x + 1)2 + (y - 3)2 = x2 + (y - 2)2 = (x - 1)2 + (y + 1)2 2x - 6y + 10 = -4y + 4 = -2x + 2y + 2 2x - 2y + 6 = 0 = -2x + 6y - 2 Сложив крайние выражения 4y + 4 = 0 => y = -1, x = y - 3 = -4. Центр окружности располагается в (-4, -1). До точки С вектор (5, 0) длины 5 - нашли радиус окружности. Уравнение окружности с центром в (-4, -1) и радиуса 5: (x + 4)2 + (y + 1)2 = 52 4. Написать уравнение траектории точки М(x;y), которая при своём движении остаётся вдвое ближе к точке А(0;-1), чем к точке В(0;4). Построить траектории движения. 4(x2 + (y + 1)2) = x2 + (y - 4)2 3x2 + 3y2 + 16y - 12 = 0 x2 + y2 + (16/3)y - 4 = 0 x2 + (y + 8/3)2 = (8/3)2 + 4 = (10/3)2. Это уравнение окружности с центром в (0, -8/3) и радиуса 10/3 Заранее огромное спасибо! Swallow.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Студент) Ответ отправлен: 20.11.2007, 09:13 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за решени, Алексей Викторович!

Вопрос № 110.183

Уважаемые эксперты помогите пожалуйста решить всю задачку или хотябы тестично. Буду очень благодарен. задача см. приложение Приложение: От точки М (координаты задаёшь какие хочешь) отложено три некомпланарных вектора: a,b,c (всё задавать в пространстве, т.е. тремя координатами) А(0,2,4) =МА b( , , ) =MB (координаты задаёшь какие хочешь) c( , , ) =MC (координаты задаёшь какие хочешь) Эти вектора отложены от точки М, с одной стороны определяют параллелепипед, с другой стороны определяют треугольную пирамиду. Найти: 1) объём параллелепипеда 2) объём пирамиды 3) площадь основания (ABC) пирамиды 4) Записать параметрическое уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины М. 5) точку пересечения высоты пирамиды с основанием(координаты). 6) Двугранный угол между гранями МАС и основанием пирамиды. 7) Координаты центра и радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. 8) Координаты центра радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Всё подробно объяснять.

Отправлен: 19.11.2007, 19:39 Вопрос задал: sergesus (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, sergesus! Пусть координаты т. М(0,0,0), А(0,2,4), B(-1,1,0), C(-2,0,1) => вектора MA = a(0,2,4), MB = b(-1,1,0), MC = c(-2,0,1). 1) объём параллелепипеда Если параллелепипед построен на приведенных к общему началу векторах a,b,c, то объем параллелепипеда определяется смешанным произведением этих векторов. | x1 y1 z1 | | x2 y2 z2 | | x3 y3 z3 | = | 0 2 4 | | -1 1 0 | | -2 0 1 | = 10 2) объём пирамиды = 1/6 от смешанного произведения векторов = 5/3 3) площадь основания (ABC) пирамиды = ½ произведения длин двух векторов, образующих основание, на синус угла между ними. Cosφ = скалярному произведению векторов, деленному на их длины. Вектора, образующие основание пирамиды: AB(-1,-1,-4), AC(-2,-2,-3) => cosφ = 16/(3√2*√17) => sinφ = √50/(3√2*√17) Площадь основания = ½3√2*√17*√50/(3√2*√17) = √50/2 4) Записать параметрическое уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины М. Плоскость основания, проходящая через точки A,B,C, определяется приравниванием к нулю определителя | x y z 1 | | x0 y0 z0 1 | | x1 y1 z1 1 | | x2 y2 z2 1 | = | x y z 1 | | 0 2 4 1 | | -1 1 0 1 | | -2 0 1 1 | = x - y + 2 = 0 Уравнения прямой, проходящей через точку М(0,0,0), перпендикулярно к плоскости x - y + 2 = 0, в координатах выражаются x = x0 + At, y = y0 + Bt, z = z0 + Ct. x = t, y = -t, z = 0. 5) точку пересечения высоты пирамиды с основанием(координаты) - определяется пересечением прямой, найденной в пункте 4, с плоскостью основания x - y + 2 = 0 = t + t + 2 = 2t+2 => t = -1 => координаты точки (-1,1,0) 6) Двугранный угол между гранями МАС и основанием пирамиды. Он равен углу между нормалями к этим граням. Плоскость, проходящая через точки М, А, С, определяется детерминантом | x y z 1 | | 0 0 0 1 | | 0 2 4 1 | | -2 0 1 1 | = x - 4y + 2z = 0, нормаль к этой плоскости (1,-4,2), нормаль к основанию (1,-1,0) => Cosψ = 5/(√21*√2) = 5/√42 7) Координаты центра и радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Центр лежит на пересечении нормалей к серединам сторон. А(0,2,4), B(-1,1,0), C(-2,0,1), AB(-1,-1,-4), AC(-2,-2,-3), BC(-1,-1,1), пусть т. D - середина стороны AB, тогда MD = MA+½AB = (0-1/2,2-1/2,4-2) = (-1/2,3/2,2). Т.к. М(0,0,0)=>координаты D(-1/2,3/2,2) пусть т.K - середина стороны AC => координаты К(0-1,2-1,4-3/2) = (-1,1,5/2) пусть т. L - середина стороны BC => координаты L(-1-1/2,1-1/2,0+1/2) = (-3/2,1/2,1/2) Если координаты центра О(x,y,z) => OK(-1-x,1-y,5/2-z), OK перпендикулярен АС => (-1-x)(-2)+(1-y)(-2)+(5/2-z)(-3) = 2x+2y+3z-15/2 = 0 OL(-3/2-x,1/2-y,1/2-z) перпендикулярен к ВС => (-3/2-x)(-1)+(1/2-y)(-1)+1/2-z = x+y-z+3/2 = 0 OD (-1/2-x,3/2-y,2-z) перпендикулярен к AВ => (-1/2-x)(-1)+(3/2-y)(-1)+(2-z)(-4) = x+y+4z-9 = 0 => z=21/10, x+y=3/5 Далее, т.О лежит в плоскости АВС => x - y + 2 = 0 => x=-7/10, y=13/10 Итак, координаты т.О (-7/10, 13/10, 21/10) Один из способов нахождения радиуса r вписанной в треугольник окружности: r= S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр. S = √50/2, |AB| = √18, |AC| = √17, |BC| = √3 => p=(√18+√17+√3)/2 => r=√50/=(√18+√17+√3) 8) Координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника АВС. А(0,2,4), B(-1,1,0), C(-2,0,1), AB(-1,-1,-4), AC(-2,-2,-3), BC(-1,-1,1). Центр лежит в плоскости АВС на пересечении биссектрисс треугольника АВС. Если координаты т. Q(x,y,z) => x - y + 2 = 0. QA(-x,2-y,4-z), QB(-1-x,1-y,-z), QC(-2-x,-y,1-z) биссекрисы делят углы пополам => косинусы этих углов равны => QA*AB/|AB| = QA*AC/|AC| => [(-x)(-1)+(2-y)(-1)+(4-z)(-4)]/√18 = [(-x)(-2)+(2-y)(-2)+(4-z)(-3)]/√17 =>(x+y+4z-18)/√18 = (2x+2y+3z-16)/√17 Рассмотрим угол В и составим для него то же соотношение QB*BA/|AB| = QB*BC/|BC| => [-1-x + 1-y - 4z]/√18 = [(-1-x)(-1)+(1-y)(-1)+(-z)]/√3 => [-x-y-4z]/√6 = [x+y-z] Из этих уравнений находим, что y=(3-2√6)x/5, z=(-2-2√6)x/5 x = [8√18 - 9√17]/(√18 - √108 + √102) R - радиус описанной окружности = |a|*|b|*|c|/4S = (2√18*√17*√3)/√50 = 6√51/√5

Ответ отправила: Джелл (статус: Студент) Ответ отправлен: 21.11.2007, 05:53 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Огромное вам спасибо, вы очень мне помогли. Оценка 5.

Вопрос № 110.185

Доброго времени суток. Помогите студенту заочнику справиться с некоторыми заданиями. 1) Найти угол между плоскостью 2х+3у-6z+1=0 и плоскостью проходящей через точки М1 (1; 1; 4) ,М2 (2; -1; 0), М3 (3; 2; 1). 2) Найти работу, произведённую силой F, если точка её приложения перемещается из точки М1 в точку М2 F (5; 2; -1), M1 (1; 3; 2), M2 (3; -1; -1). 3) Точка А твердого тела закреплена, к точке B приложена сила F. Найти момент силы F относительно точки А А (-3; 1; -4), B (1; -2; -3), F=2i+j-4k. Спасибо.

Отправлен: 19.11.2007, 19:45 Вопрос задал: Сёмуха Виктор Сергеевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Сёмуха Виктор Сергеевич! 1) Уравнение плоскости по трем точкам М1 М2М3 определяется приравниванием к нулю определителя | x y z 1 | | x1 y1 z1 1 | | x2 y2 z2 1 | | x3 y3 z3 1 | = | x y z 1 | | 1 1 4 1 | | 2 -1 0 1 | | 3 2 1 1 | = 2x-y+z-5=0 Угол между плоскостями = углу между их нормалями. Нормаль к плоскости 2х+3у-6z+1=0 - это вектор а(2;3;-6). Нормаль к плоскости 2x-y+z-5=0 - это вектор b(2;-1;1). Косинус угла между векторами = скалярному произведению этих векторов, деленному на их длины => Cosφ = -5/7√6 в данном случае можно взять и дополнение этого угла Cosφ = 5/7√6

Ответ отправила: Джелл (статус: Студент) Ответ отправлен: 20.11.2007, 05:06 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо, только не очень понятно что брать в ответ. косинус с отрицательным значением или дополнение угла.

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Сёмуха Виктор Сергеевич! 2) Найти работу, произведённую силой F, если точка её приложения перемещается из точки М1 в точку М2 F (5; 2; -1), M1 (1; 3; 2), M2 (3; -1; -1). Работа равна скаларному произведению силы на перемещение F.M1M2 = (5;2-1).(2,-4,-2) = 10-8+2 = 4 3) Точка А твердого тела закреплена, к точке B приложена сила F. Найти момент силы F относительно точки А А (-3; 1; -4), B (1; -2; -3), F=2i+j-4k. Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу, т.е. детерминанту матрицы |i j k| |4 -3 1| = 11i + 18j + 10k |2 1 -4|

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Студент) Ответ отправлен: 21.11.2007, 17:30 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Благодарствую, вот бы ещё окончательный ответ, а то вдруг в вычислении детерминанта ошибусь :)

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.64 от 24.11.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru