Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay
  Все выпуски  

RusFAQ.ru: Математика


Новое направление Портала RusFAQ.ru:
MosHoster.ru - Профессиональный хостинг

Народное голосование ПРЕМИИ РУНЕТА-2007!
Голосуем за RusFAQ.ru >>

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 500
от 16.11.2007, 20:35

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 130, Экспертов: 40
В номере:Вопросов: 9, Ответов: 17


Вопрос № 108854: Здравтсвуйте.Помогите,пожалуйста,со следующими задачами.Буду премного благодарен. 1. Найти предел: lim(корень(1+3x)-корень(2x+6))/x^2-5x x стремится к 5 P.S.Я решал,у меня получилось предел не определен...кажется,что неправильно,если так,...
Вопрос № 108889: Столкнулась стеорией вероятности. Нет справочника. Помогите! Задача. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7; для второго - 0,8; для третьего - 0,9. Найдите вероятность того, что только один и...
Вопрос № 108892: Здравствуйте,уважаемые!У меня к Вам просьба!Уже ничего не соображаю,устала делать контрольную работу,осталось совсем немного!Помогите: Дано центр сферы(2,1,3) и радиус корень из 20(хотя радиус мне кажется тут ни к чему) 1)Составить ур-ие плоскост...
Вопрос № 108899: Здравствуйте, уважаемые эксперты. У меня два примера по «Алгебре и геометрии». Найти общее решение систем линейных уравнений. Для однородной системы найти фундаментальную систему решений. Для неоднородной системы найти базисную. 1) {3х1 + х2 ...
Вопрос № 108926: Найти производную. y=x*sqrt(9-х^2) +9*arcsin(x/3) ...
Вопрос № 108927: Найти производную. y=x*arccos(x/3)-sqrt(9-x^2)....
Вопрос № 108951: Уважаемые эксперты, помогите справиться со следующими заданиями: 1. Геометрия (аксиомы стереометрии, параллельность прямых и плоскостей) а) Дока;те, что две различные плоскости параллельны, если любая прямая, пересекающая одну з них...
Вопрос № 108960: Здравствуйте! Помогите пожалуйста Исследовать на непрерывностьи разрывы. |sinx/x|, f(0)=1 Существует ли какой-либо алгоритм для решения такого рода заданий? Что значит f(0)=1 - это доопределение функции? Спасибо. ..
Вопрос № 108968: Кто-нибудь в курсе, как решается обобщенная задача Бюффона? Стол разграфлен перпендикулярно-пересекающемися линиями, которые образуют бесконечное множество прямоугольников с длинами сторон a и b, на стол случайным образом бросается игла длиной 2L...

Вопрос № 108.854
Здравтсвуйте.Помогите,пожалуйста,со следующими задачами.Буду премного благодарен.
1. Найти предел:
lim(корень(1+3x)-корень(2x+6))/x^2-5x x стремится к 5
P.S.Я решал,у меня получилось предел не определен...кажется,что неправильно,если так,перерешайте,пожалуйста

2.Найти производную функции;
y=корень(2x^4+e^7x)*(ln^3(2x+1)-2)

3.Представить число 10 в виде суммы двух слагаемых так,чтобы произведение этих слагаемых было наибольшим.

4.Составить уравнения касательных к линиям y=корень(x) и yx^2=32 вточках их пересечения.

Заранее,большое спасибо.
Отправлен: 10.11.2007, 20:39
Вопрос задал: Димонов Андрей Викторович (статус: Посетитель)
Всего ответов: 4
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: piit
Здравствуйте, Димонов Андрей Викторович!
2.Найти производную функции;
y=корень(2x^4+e^7x)*(ln^3(2x+1)-2)
y'=(8x^3+7e^7x)/(2корень(2x^4+e^7x))*(ln^3(2x+1)-2)+корень(2x^4+e^7x)*
*3ln^2(2x+1)*2/(2x+1)
---------
От алгоритмов к суждениям + самообучение
Ответ отправил: piit (статус: Студент)
Ответ отправлен: 10.11.2007, 21:06
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Спасибо,проверил со своим...все сошлось...

Отвечает: Джелл
Здравствуйте, Димонов Андрей Викторович!
3) 10 = x + y
Произведение П = x*y = x(10-x)
Поскольку П должно быть наибольшим => ищем локальный максимум => производная по х = 0
П' = 10 - 2x = 0 => x = 5
Ответ: 10 = 5 + 5

4) y = sqrt(x)
и y = 32*x^(-2)
точка их пересечения y = sqrt(x) = 32*x^(-2) => x^(5/2) = 32 => x = 4
=> y = 2.
Производные в этой точке
y' = (sqrt(x))' = 0,5/sqrt(x) => y'(4) = 0,25
y' = (32*x^(-2))' = -64*x^(-3) => y'(4) = -1
Ответ отправила: Джелл (статус: Студент)
Ответ отправлен: 10.11.2007, 21:08
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Большое спасибо...про касательные не мог додумать...

Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Димонов Андрей Викторович!

Поскольку осталось решить только предел, то им и займемся ;)

limx->5 (√(1+3x) - √(2x+6))/(x2 - 5x) = {разобьем на два предела} = limx->5 √(1+3x)/(x2 - 5x) - limx->5√(2x+6)/(x2 - 5x) =
= {каждый из пределов будем решать с использованием правила Лопиталя} = L1 - L2.

L1 = limx->5 √(1+3x)/(x2 - 5x) = limx->5 (√(1+3x))'/(x2 - 5x)' = limx->5 3/(2√(1+3x)*(2x - 5)) = 3/(2√16 * 5) = 3/40

L2 = limx->5 √(2x+6)/(x2 - 5x) = limx->5 (√(2x+6))'/(x2 - 5x)' = limx->5 2/(2√(2x+6)*(2x - 5)) = 2/(2√16 * 5) = 2/40

limx->5 (√(1+3x) - √(2x+6))/(x2 - 5x) = L1 - L2 = 3/40 - 2/40 = 1/40.

Good Luck!!!
---------
Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор)
Украина, Славянск
Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры)
ICQ: 289363162
----
Ответ отправлен: 10.11.2007, 22:30
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Огромное спасибо...сам что-то не допонял...

Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Димонов Андрей Викторович!
1. Вычисление предела без использования правила Лопиталя.
limx→5(sqrt(1+3x)-sqrt(2x+6))/(x²-5x) =
limx→5(sqrt(1+3x)-sqrt(2x+6))(sqrt(1+3x)+sqrt(2x+6))/(x(x-5)(sqrt(1+3x)+sqrt(2x+6))) =
limx→5((1+3x)-(2x+6))/(x(x-5)(sqrt(1+3x)+sqrt(2x+6))) =
limx→5(x-5)/(x(x-5)(sqrt(1+3x)+sqrt(2x+6))) =
limx→51/(x(sqrt(1+3x)+sqrt(2x+6))) =
1/(5(4+4)) = 1/40.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 10.11.2007, 22:35
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Спасибо...всегда помогаете решать...


Вопрос № 108.889
Столкнулась стеорией вероятности. Нет справочника. Помогите!
Задача.
Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7; для второго - 0,8; для третьего - 0,9. Найдите вероятность того, что только один из стрелков поразит цель.
Отправлен: 11.11.2007, 03:58
Вопрос задала: Татьянка (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Татьянка!

Столкнулась стеорией вероятности. Нет справочника. Помогите!
Задача.
Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7; для второго - 0,8; для третьего - 0,9. Найдите вероятность того, что только один из стрелков поразит цель.

Вероятность, что только первый поразит, а два других промахнуться 0,7*(1 - 0,8)*(1 - 0,9) = 0,014.
Аналогично, вероятность, что попадёт только второй 0,8*(1 - 0,7)*(1 - 0,9) = 0,024, а только третий 0,9*(1 - 0,7)*(1 - 0,8) = 0,054.
Полная вероятность, что попадёт только кто-то один - сумма этих вероятностей: 0,092
Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Студент)
Ответ отправлен: 11.11.2007, 04:31
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Спасибо. А как бы узнать научную базу данного решения. Какие формулы и почему они здесь применимы?

Отвечает: Агеева Вера Николаевна
Здравствуйте, Татьянка!

Задача основана на применении теорем сложения и умножения вероятностей независимых событий.

Вероятность того, что первый стрелок попадет в цель, а два остальных промахнутся: 0,7*(1-0,8)*(1-0,9) = 0,014.

Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а два остальных промахнутся: (1-0,7)*0,8*(1-0,9) = 0,024.

Вероятность того, что третий стрелок попадет в цель, а два остальных промахнутся: (1-0,7)*(1-0,8)*0,9 = 0,054.

Вероятность того, что только один стрелок поразит цель (или первый, или второй, или третий): 0,014+0,024+0,054 = 0,092.
Ответ отправила: Агеева Вера Николаевна (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 11.11.2007, 11:20
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Спасибо! это я и хотела услышать!


Вопрос № 108.892
Здравствуйте,уважаемые!У меня к Вам просьба!Уже ничего не соображаю,устала делать контрольную работу,осталось совсем немного!Помогите: Дано центр сферы(2,1,3) и радиус корень из 20(хотя радиус мне кажется тут ни к чему)
1)Составить ур-ие плоскости,проходящей через центр сферы и ось Oz
2)Составить уравнения прямой,проходящей через центр сферы и начало координат.
Заранее спасибо!
Отправлен: 11.11.2007, 05:43
Вопрос задала: Ксю (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: Джелл
Здравствуйте, Ксю!
1) Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0
Так как она проходит через ось Z, то есть во-первых, через начало координат (подставляем в общее уравнение плоскости вместо x,y,z значения 0,0,0) => D = 0, во-вторых, плоскость проходит через (0,0,1) (подставляем в общее уравнение плоскости вместо x,y,z значения 0,0,1) => C = 0
Остается Ax + By = 0
Далее, подставляем координаты центра сферы
2A + B = 0 => B = -2A => Ax - 2Ay = 0 => x - 2y = 0
Ответ: требуемая плоскость задается уравнением x - 2y = 0

2) Уравнение прямой по двум точкам задается:
(x-x0)/(x1-x0) = (y-y0)/(y1-y0) = (z-z0)/(z1-z0)
Подставляем вместо (x0,y0,z0) начало координат, а вместо (x1,y1,z1) координаты центра сферы и получаем
x/2 = y/1 = z/3
Ответ: требуемая прямая задается уравнением x/2 = y/1 = z/3
Ответ отправила: Джелл (статус: Студент)
Ответ отправлен: 11.11.2007, 06:18
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Спасибо огромное!Вы очень помогли!


Вопрос № 108.899
Здравствуйте, уважаемые эксперты. У меня два примера по «Алгебре и геометрии».
Найти общее решение систем линейных уравнений. Для однородной системы найти фундаментальную систему решений. Для неоднородной системы найти базисную.
1) {3х1 + х2 – 8х3 + 2х4 + х5 = 0
{x1 + 11x2 – 12x3 – 5x5 = 0
{x1 – 5x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0

2) {x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 1
{3x1 + 7x2 – 2x3 + x5 = 4
{2x1 + 5x2 + x3 +4x4 + x5 = 3

Заранее очень большое спасибо .
Отправлен: 11.11.2007, 08:55
Вопрос задал: Аксенов Антон (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Аксенов Антон!

Здравствуйте, уважаемые эксперты. У меня два примера по «Алгебре и геометрии».
Найти общее решение систем линейных уравнений. Для однородной системы найти фундаментальную систему решений. Для неоднородной системы найти базисную.

1) {3х1 + х2 – 8х3 + 2х4 + х5 = 0
{x1 + 11x2 – 12x3 – 5x5 = 0
{x1 – 5x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0

x1 – 5x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0 третье уравнение
16x2 – 14x3 - x4 – 8x5 = 0 из второго вычли третье
16х2 – 14х3 - х4 - 8х5 = 0 из первого вычли третье, умноженное на 3

x2 = (14х3 + х4 + 8х5)/16 = (7/8)x3 + (1/16)x4 + (1/2)x5
x1 = 5x2 - 2x3 - x4 - 3x5 = (19/8)x3 - (11/16)x4 - (1/2)x5

x3, x4, x5 - свободные переменные.
В качестве фундаментальной системы выберем 3 вектора в которых одна из свободных переменных не 0, а остальные свободные переменные - 0.
Ненулевую переменную выберем так, чтобы x1 и x2 получились целочисленными (x3 = 8, x4 = 16, x5 = 2):
x1 = 19, x2 = 7, x3 = 8, x4 = 0, x5 = 0
x1 = -11, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 16, x5 = 0
x1 = -1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 2

2)
x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 1
3x1 + 7x2 – 2x3 + x5 = 4
2x1 + 5x2 + x3 + 4x4 + x5 = 3

x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 1
x2 + 7x3 + 12x4 + x5 = 1
x2 + 7x3 + 12x4 + x5 = 1

Так как два последних уравнения линейно зависимы, то независмых уравнений только 2 и своббодных переменных 5 - 2 = 3.
Базисными решениями называются решения, при которых свободные переменные равны 0.
Нужно перебрать C(5,3) = 10 различных троек свобдных переменных, присвоить их 0 и найти решение оставшейся системы.
Например, для тройки независимых переменных x3 = x4 = x5 = 0 базисное решение - решение системы
x1 + 2x2 – 3*0 – 4*0 = 1
x2 + 7*0 + 12*0 + 0 = 1
Итого, (-1, 1, 0, 0, 0).
Это же надо повторить для остальных 9 троек.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Студент)
Ответ отправлен: 12.11.2007, 10:51


Вопрос № 108.926
Найти производную.
y=x*sqrt(9-х^2) +9*arcsin(x/3)
Отправлен: 11.11.2007, 12:50
Вопрос задала: Kamelia26 (статус: Посетитель)
Всего ответов: 3
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл
Здравствуйте, Kamelia26!
Воспользуемся формулой производной суммы и производной сложной функции
y'=√(9-х²) - x²/√(9-х²) + 3/√(1-х²/9) = 9-х²/√(9-х²) - x²/√(9-х²) + 9/√(9-х²) = 2(9-х²)/√(9-х²) = 2√(9-х²)
Ответ отправила: Джелл (статус: Студент)
Ответ отправлен: 11.11.2007, 13:10

Отвечает: Gh0stik
Здравствуйте, Kamelia26!

y = x*√(9-x2) + 9*arcsin(x/3)

y' = (x*√(9-x2))' + (9*arcsin(x/3))' = √(9-x2) + x*(-x2)'/(2*√(9-x2)) + 9*(x/3)'/√(1-(x/3)2) =
= √(9-x2) - x2/√(9-x2) + 3/√(1-(x/3)2) = √(9-x2) - x2/√(9-x2) + 9/√(9-x2) = √(9-x2) + (9-x2/√(9-x2) = 2√(9-x2).

Good Luck!!!
---------
Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.
Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор)
Украина, Славянск
Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры)
ICQ: 289363162
----
Ответ отправлен: 11.11.2007, 13:16

Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Kamelia26!
y'=√(9-x^2) - (2x^2)/(2√(9-x^2)) + (9*1/3)/√(1-x^2/9)=
= √(9-x^2) - x^2/(√(9-x^2)) + 9/√(9-x^2)=
=(9-x^2-x^2+9)/(√(9-x^2))=2√(9-x^2)
Ответ отправила: Dayana (статус: Студент)
Ответ отправлен: 11.11.2007, 13:17


Вопрос № 108.927
Найти производную.
y=x*arccos(x/3)-sqrt(9-x^2).
Отправлен: 11.11.2007, 12:51
Вопрос задала: Kamelia26 (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Dayana
Здравствуйте, Kamelia26!
y'=arccos(x/3) + x*(-1/(3*√(1-(x^2/9)) + (2x)/(2√(9-x^2))=
=arccos(x/3)- x/√(9-x^2) + x/√(9-x^2)=arccos(x/3)
Ответ отправила: Dayana (статус: Студент)
Ответ отправлен: 11.11.2007, 13:09

Отвечает: Джелл
Здравствуйте, Kamelia26!
Для наглядности, продифференцируем каждое слагаемое отдельно.
[x*arccos(x/3)]' = (x)'*arccos(x/3) + x*(arccos(x/3))' = arccos(x/3) - (x/3)/√(1-(x²/9)) = arccos(x/3) - x/√(9-x²)
(√(9-x²))' = -x/√(9-x²)
=> производная всей функции y' = arccos(x/3) - x/√(9-x²) + x/√(9-x²) = arccos(x/3)
Ответ отправила: Джелл (статус: Студент)
Ответ отправлен: 11.11.2007, 13:21


Вопрос № 108.951
Уважаемые эксперты, помогите справиться со следующими заданиями:

1. Геометрия (аксиомы стереометрии, параллельность прямых и плоскостей)

а) Дока;те, что две различные плоскости параллельны, если любая прямая, пересекающая одну з них, пересекает и другую.

б) Точка О - проекция центра окружности, описанной около треугольника АВС, проекция которого дана рисунке. Постройте проекции высот треугольника.

в) Параллелограмм АВСD - проекция ромба с острым углом 60º (углы В и D - проекции тупых углов ромба). Постройте проекцию перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к стороне ромба.

2. Алгебра (тригонометрические уравнения):

а) решить уравнения:
cos x+3sin(x/2)=-1;
6sin²x+sin2x=4;
cos 6x+2cos2x=0;

б)доказать, что на промежутке [0;пи] данное уравнение имеет один корень, и найти его:
1-ctgx=cosx-cosxctgx

Приложение:

Отправлен: 11.11.2007, 16:31
Вопрос задала: Lifestyle (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)

Отвечает: Джелл
Здравствуйте, Lifestyle!
2 а) cos x+3sin(x/2)=-1
1 - 2sin²(x/2) + 3sin(x/2) = -1
2sin²(x/2) - 3sin(x/2) - 2 = 0
Квадратное уравнение относительно sin(x/2)
Diskr = 9 + 16 = 25
sin(x/2) = (3 ± 5)/4 = -1/2
(второй корень 2 отбрасываем, так как sin не может быть больше 1)
=> x1/2 = - π/6 + 2πk => x1 = - π/3 + 4πk
x2/2 = 7π/6 + 2πk => x2 = 7π/3 + 4πk

********
6sin²x+sin2x=4
6sin²x + 2sinx*cosx = 4(sin²x + cos²x)
6sin²x/cos²x + 2sinx*cosx/cos²x = 4sin²x/cos²x + 4cos²x/cos²x
6tg²x + 2tgx = 4tg²x + 4
tg²x + tgx - 2 = 0
Diskr = 9
tgx = (-1 ± 3)/2 = 1; -2
x1 = п/4 + пk
x2 = arcsin(-2) + пk

*******
cos 6x+2cos2x=0
4cos³2x - 3cos2x + 2cos2x = 4cos³2x - cos2x = 0
=> либо cos2x = 0, либо 4cos²2x = 1
В первом случае 2x1 = п/2 + пk => x1 = п/4 + пk/2
Во втором случае cos²2x = 1/4 => cos2x = ±1/2 => 2x2 = п/3 + пk и 2x3 = -п/3 + пk =>
x2 = п/6 + пk/2
x3 = -п/6 + пk/2
Ответ отправила: Джелл (статус: Студент)
Ответ отправлен: 11.11.2007, 17:17
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Я Вам очень благодарна за решение тригонометрических уравнений. Вы мне очень помогли. Надеюсь, поможете мне справиться и остальными заданиями. Спасибо!!!

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Lifestyle!

1. Геометрия (аксиомы стереометрии, параллельность прямых и плоскостей)

а) Дока;те, что две различные плоскости параллельны, если любая прямая, пересекающая одну з них, пересекает и другую.

От противного. Предположим, что плоскости альфа и бета пересекаются. Тогда альфа пересекается с гамма, которая параллельна бета.
Любая прямая, проведённая в гамма и пересекающая альфа не будет пересекать бета (из параллельности плоскостей), т.е. нарушается условие, что ЛЮБАЯ прямая пересекающая альфа пересекает бета.
Противоречие, т.о. плоскости параллельны.

б) Точка О - проекция центра окружности, описанной около треугольника АВС, проекция которого дана рисунке.
Постройте проекции высот треугольника.

Проекция сохраняет параллельность прямых и отношение длин отрезков на параллелльных прямых.
В ABC тока O лежала на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам.
Из второго из упомянутых свойств проекции следует, что прямые, соединябющие середины сторон с точкой O, являются проекциями серединных перпендикуляров.
Из первого из упомянутых свойств следует, что проекции высот треугольника параллельны построенным серединным перепендикулярам.
в) Параллелограмм АВСD - проекция ромба с острым углом 60º (углы В и D - проекции тупых углов ромба).
Постройте проекцию перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к стороне ромба.

Проекция точки пересечения диагоналей будет лежать на пересечении проекций диагоналей, т.е. на пересечении диагоналей параллелограмма.
Ромб с углом 60º состоит из двух равносторонних треугольников.
Перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к стороне ромба является перпендикуляром опущенным из середины общей стороны треугольников к основанию.
Легко видеть, что он делит сторону в отношении 1:3.
Как и в задаче b отношение отрезков на параллельных прямых сохраняется, т.е. нам надо провести отрезок из точки пересечения диагоналей параллелограмма к точке, которая находится на расстоянии 1/4 длины стороны от углов B или D.
Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Студент)
Ответ отправлен: 14.11.2007, 10:28
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Воробьёв Алексей Викторович, большое Вам спасибо за подробный разбор решений задач!!! Оценка - пять!!!


Вопрос № 108.960
Здравствуйте!
Помогите пожалуйста Исследовать на непрерывностьи разрывы.

|sinx/x|, f(0)=1

Существует ли какой-либо алгоритм для решения такого рода заданий?
Что значит f(0)=1 - это доопределение функции?
Спасибо.
Отправлен: 11.11.2007, 19:03
Вопрос задал: Машков Константин (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Машков Константин!

Так как наша функция - отношение непрерывных функций |sin(x)| и |x|, то она непрерывна за исключением особых точек, где знаменатель превращается в 0.
Это можно рассмотреть детально с точки зрения определения непрерывности. Дайте знать, если Вам нужен этол аргумент.
В нашем случае особая точка x = 0. В окрестности этой точки наша функция совпадает с sin(x)/x -> 1 при x->+0 и при x->-0 по правило Лопиталя.
Функция sin(x)/x в точке x = 0 не определена, но наша функция отличается от sin(x)/x тем, что для неё явно задано значение в x = 0.
Так как это значение равно пределам при x->+0 и при x->-0, то функция непрерывна на всех х.
Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Студент)
Ответ отправлен: 12.11.2007, 11:29


Вопрос № 108.968
Кто-нибудь в курсе, как решается обобщенная задача Бюффона?
Стол разграфлен перпендикулярно-пересекающемися линиями, которые образуют бесконечное множество прямоугольников с длинами сторон a и b, на стол случайным образом бросается игла длиной 2L, L < a,b. Какова вероятность того, что игла пересечет какую-то линию ?
Отправлен: 11.11.2007, 20:22
Вопрос задала: Агеева Вера Николаевна (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Агеева Вера Николаевна!

Кто-нибудь в курсе, как решается обобщенная задача Бюффона?
Стол разграфлен перпендикулярно-пересекающемися линиями, которые образуют бесконечное множество прямоугольников с длинами сторон a и b, на стол случайным образом бросается игла длиной 2L, L < a,b. Какова вероятность того, что игла пересечет какую-то линию ?

Посмотрите http://kvant.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm как решается классическая задача Бюффона.
Обобщение следует из этой статьи.
После падения иглы рассмотрим прямоугольник, в котором находится середина иглы.
Построим систему координат с центром в середине прямоугольника и с осями параллельными разметке так, чтобы середина иглы была в 1-м квадранте.
Пусть координаты сердины иглы (x, y) и игла повёрнута на угол ф от оси x.
Тогда её дальний конец по горизонтали имеет координату x + L/2*cos(ф), а по вертикали y + L/2*|sin(ф)|.
Заметьте, что это могут быть разные концы. Игла НЕ пересекает линий, если x + L/2*cos(ф) < a/2 и y + L/2*|sin(ф)| < b/2.
При фиксированном угле ф этому соответствует прямоугольник размерами (a/2 - L/2*cos(Ф))(b/2 - L/2*|sin(ф)|).
Плотность вероятности попадения в такой прямоугольник равна (a/2 - L/2*cos(Ф))(b/2 - L/2*|sin(ф)|)/(a/2*b/2) = (a - L*cos(ф))(b - L*|sin(Ф)|)/(a*b)
Чтобы найти вероятность, что игла не пересечёт при произвольном угле от -Pi/2 до Pi/2 нам нужно проинтегрировать эту по всем углам ф и разелить на диапазон интегрирования.
В силу чётности функции мы можем интегрировать только от 0 до Pi/2 и делить на Pi/2.
В этом диапазоне мы можем заменить |sin(ф)| = sin(ф).
Integral(0, Pi/2, (a - L*cos(ф))(b - L*sin(Ф))/(a*b)) = Integral(0, Pi/2, 1 - (L/b)sin(Ф) - (L/a)*cos(ф) + L^2/(a*b)*sin(Ф)*cos(ф)) =
= ф + (L/b)cos(ф) - (L/a)sin(ф) - L^2/(4*a*b)cos(2ф) | (0, Pi/2) = Pi/2 - (L/b) - (L/a) + L^2/(2*a*b)
Итого, вероятность, что игла не попадёт на линию равна 1 - 2*[L/b + L/a - L^2/(2*a*b)]/Pi, а вероятность, что попадёт 2*[L/b + L/a - L^2/(2*a*b)]/Pi.
Условие L < a,b нам было нужно, чтобы мы могли выбирать любые углы и ставить соответствующие пределы.
Если устремить одну из величин (b) к бесконечности, то получим вероятность (2*L)/(a*Pi) как в стандартной задаче.
Если взять a = b = L, то получим вероятность попадания 3/Pi.
Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: Студент)
Ответ отправлен: 12.11.2007, 12:20
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Большое спасибо! Решение развернутое и понятное.


Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!

Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.


© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31
Хостинг: "Московский хостер"
Поддержка: "Московский дизайнер"
Авторские права | Реклама на портале
Версия системы: 4.62.1 от 14.11.2007
Яндекс Rambler's Top100
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru
Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru

В избранное