/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 495
от 11.11.2007, 18:05

Вопрос № 108.145

Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 3 задачи: 1. Дан вектор В (4;-4;5) в базисе e1, e2, e3. Выразить этот же вектор в базисе А1=(1;1;0); а2=(1;-1;1); а3=(-3;5;-6) 2. Даны векторы а=е1+е2+е3, b=2e2+3e3, c=e2+5e3, где e1,e2,e3-базис линейного пространства. Доказать, что векторы а, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d=2e1-e2+e3 в базисе a,b,c. 3. Найти матрицу перехода от базиса e1, e2, e3 к базису e2, e3, e1 Заранее огромное спасибо! Swallow.

Отправлен: 05.11.2007, 19:29 Вопрос задала: Ласточка (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Ласточка! 1. Как я понял, координаты векторов a1, a2, a3 тоже даны в базисе e1, e2, e3. xa1 + ya2 + za3 = b. Получаем систему уравнений: x + y – 3z = 4, x – y + 5z = -4, y – 6z = 5. Решим её. Выразим y из третьего уравнения и подставим в первое и второе: x + 3z = -1, x – z = 1, y = 5 + 6z; выразим x из второго уравнения и подставим в первое: 4z = -2, x = z + 1, y = 6z + 5. Получаем решение: x = 0.5, y = 2, z = -0.5. Ответ: b = 0.5a1 + 2a2 - 0.5a3.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 05.11.2007, 21:24 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за решение, Агапов Марсель! Вы мне очень помогли.

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Ласточка! 2. Даны векторы а=е1+е2+е3, b=2e2+3e3, c=e2+5e3, где e1,e2,e3-базис линейного пространства. Доказать, что векторы а, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d=2e1-e2+e3 в базисе a,b,c. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, т.е. детерминант матрицы, составленной из компонент векторов не равен 0. Наша матрица 1 1 1 0 2 3 0 1 5 Её детерминант равен 2*5 - 1*3 = 7 - не ноль, т.е. вектора образуют базис. Поиск координат d в базисе a,b,c можно решать как в первой задаче, но я распишу в матричной форме. Может быть, для конкретной задачи это будет дольше, но это поможет понять принцип построения матриц перехода. x*a + y*b + z*c = d (1 0 0)(x) (da) (1 2 1)(y)=(db) (1 3 5)(z) (dc) Решением будет: (x) (1 0 0)^-1(da) (y)=(1 2 1) (db) (z) (1 3 5) (dc) Таким образом, чтобы получить матрицу перехода от одной системы к другой, надо построить матрицу с колонками из векторов нового базиса и найти обратную к ней матрицу. В нашем случае это матрица (1 0 0) (-4/7 5/7 -1/7) (1/7 -3/7 2/7) Умножив её справа на вектор (2) (-1) (1) Получим вектор (2) (-2) (1) Т.е. d = 2*a - 2*b + c 3. Найти матрицу перехода от базиса e1, e2, e3 к базису e2, e3, e1 Используя то, что мы обнаружили во второй задаче, матрица перехода обратна матрице (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) И равна (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) Хотя данная конкретная задача и допускала более прямолинейное решение: Обозначим наши вектора во втором базисе a1, a2, a3. Тогда вектора в первом запишутся как a3, a1, a2, т.е. матрица перехода (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) Где по столбцам прописаны координаты первоначальных базисных векторов. Удалены теги ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 06.11.2007, 13:22

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 06.11.2007, 11:22 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за решения, Алексей Викторович!

Вопрос № 108.148

Здравствуйте уважаемые условно бесплатные эксперты. Благодарю если поможите в решении вот этой задачки. В теории я вероятности не силен и ломаю голову над ней уже второй вечер. Пожалуйста с решением. ---- Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадает одной и той же стороной. Найти вероятносит следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний.

Отправлен: 05.11.2007, 19:41 Вопрос задал: Green (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Serega1988 !!! Здравствуйте, Green! Существует формула для данного случая, конечно если ни в чем не ошибаюсь, Р(вероятность)=2^(n-1)/(n-1), n - число попыток В Вашем случае а)n=6, P=32/5=6.4; б)n=2k, P=2^(2k-1)/(2k-1) Ответ неверный. Оставлено для экзаменаторов. Вероятность события 6.4 > 1 это новое слово в науке! ----- ∙ Отредактировал: Alexandre V. Tchamaev (*Мастер-Эксперт) ∙ Дата редактирования: 11.11.2007, 04:37 --------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время

Ответ отправил: Serega1988 (статус: Студент) Ответ отправлен: 06.11.2007, 01:59 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за ответ, но 1) разве вероятность может быть больше единицы? :-) 2)в книге с задачей есть ответы. Я не могу догнать решения. Ответы а)15/16 и б)2/3

Отвечает: Зелик Колабухин Здравствуйте, Green! Кажется я въехал в эту задачу. Обозначим выпадение одной стороны через 1, второй - 0. Тогда всевозможные наши последовательности имеют виде: 101010...101011 или 1010...10100 (либо все тоже но начинается с нуля). Выпадение всякой такой последовательности возможно с вероятностью 2^(-n), где n - длина последовательности. Т.к. одинаковой длины у нас ровно 2 последовательности (одна начинается с нуля, вторая - с единицы), то вероятность того, что мы закончим через n бросания равна 2*2^(-n) = 2^(-n+1). Сразу отметим, что n обязательно больше 1, т.е. 2, 3, 4 и т.д. Ну а теперь все становиться совершенно простым. 1) "опыт окончится до шестого бросания" означает, что он окончится на 2-ом, 3-м, 4-м или 5-м шаге. Т.к. события эти независимы (монеты не помнят предыдущих последовательностей), то складываем вероятности: 1/2+1/4+1/8+1/16=15/16 2) четно число - очевидно: 1/2+1/8+1/32+...=1/2*(1/(1-1/4))=2/3 Думаю, если второй вечер голову ломаешь, то все будет понятно.

Ответ отправил: Зелик Колабухин (статус: 3-ий класс) Ответ отправлен: 06.11.2007, 10:16 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо. С первого прочтения не дошло, но раз ответы сошлись, то это уже хорошо :-) Сейчас разберусь.

Вопрос № 108.201

Здравствуйте! Помогите с примером решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом Ньютона (“стрельбы”). Третий день кроплю над учебниками, а понять не могу. Приложение: Дифференциальное уравнение: y''-3y'+2y=cos(2x) Отрезок [a; b]: [0; 0,5]. Краевые условия: y(a)=1,95; y(b)=4,21.

Отправлен: 06.11.2007, 02:04 Вопрос задал: Cimus (статус: Студент) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Cimus! А почему Вы решили обратиться к математикам? Это же численные методы. Идея метода следующая: 1 Вы берёте левый край x = 0. 2 Произвольно выбираете y'(0) = A. 3 Решаете Ваш дифур численными методами. Находите F(A) = y(0,5) - значение, которое Ваши вычисления показывают для x = 0,5. 4 Теперь перед Вами стоит задача поиска такого A, чтобы y(0,5) = b 5 Я так понял, что Вам рекоммендуют искать A методом Ньютона. 6 Для этого, Вам надо найти производную F'(A). 7 Для этого берёте небольшое приращение dA 8 Решаете дифур численными методами для y'(0) = A + dA. Находите значение в точке 0,5: F(A + dA) = y(0,5) 9 Считаете производную F'(A) = (F(A + dA) - F(A))/dA. 10 Теперь используем метод Ньютона: (b - F(A)) = F'(A)(B - A) => B = A + (b - F(A))/F'(A) = A + (b - F(A))/(F(A + dA) - F(A)) *dA. На самом деле это уже метод секущих. 11 Наше новое приближение для y'(0) = B. 12 Повторяем шаги 3 - 11 до тех пор пока не получим удовлетворительное соответствие y(0,5) = b Если Вы заметили, что Ваши результаты раходятся, т.е. F(B) дальше от b, чем F(A), значит Вам лучше взять в качестве начального другой конец отрезка: не x = 0, а x = 0,5.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 07.11.2007, 07:46 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо

Вопрос № 108.207

Помогите пожалуйста решить задачи по математическому анализу. Нужно найти указанные производные: 1) y=1/(1+cos4x)^5; y'=? 2) y=lnx^2/1-x^2; y'=? 3) y=sqrt(x)*e^sqrt(x); y'=? 4) y= arcctg x - 1/x; y''=? 5) y= 1+e^2x/1-e^2x; y'(1)=? 6) система вверху x=2t-1 внизу y=1-4t^2 d^2y/dx^2=?

Отправлен: 06.11.2007, 05:40 Вопрос задал: Курилов Олег Олегович (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Piit Здравствуйте, Курилов Олег Олегович! 1) y=1/(1+cos4x)^5; y'=? y=(1+cos4x)-5, y'=-5(1+cos4x)-6*(1+cos4x)'= =-5(1+cos4x)-6*(-4sin4x). Воспользовались свойством 1/an=a-n --------- От алгоритмов к суждениям + самообучение

Ответ отправил: Piit (статус: Студент) Ответ отправлен: 06.11.2007, 06:51

Отвечает: Serega1988 Здравствуйте, Курилов Олег Олегович! 2)y'=(2x*(1-x^2)/x^2+2x*lnx^2)/(1-x^2)^2=(2*(1-x^2)+2x^2*lnx^2)/[x*(1-x^2)^2] 3)y'=1/[2sqrt(x)]*e^sqrt(x)+sqrt(x)*e^sqrt(x)/[2*sqrt(x)]=e^sqrt(x)/2*[1/sqrt(x)+1] 5)y'=[2e^2x*(1-e^2x)+2e^2x*(1+e^2x)]/[1-e^2x]^2=4e^2x/[1-e^2x]^2 y'(1)=4e^2/[1-e^2]^2 --------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время

Ответ отправил: Serega1988 (статус: Студент) Ответ отправлен: 06.11.2007, 12:12

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Курилов Олег Олегович! 4) y' = -1/(x²+1) + 1/x² = -(x²+1)-1 + x-2, y'' = -(-1)(x²+1)-2(x²+1)' + (-2)x-3 = 2x(x²+1)-2 - 2x-3. 6) y't = -8t, y''t = -8, x't = 2; y'x = y't/x't = -4t, y''x = y''t/(x't)² = -8/2² = -2.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 06.11.2007, 15:47

Вопрос № 108.215

Помогите решить задачу по высшей математике. Для ДУ методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М. (dy/dx) = xy M(0,-1) у=к/x, гипербола Начертил гиперболы (к=1,2,3) Соединяю в точке М. Дальше не знаю, Какой вид имеет интег. кривая вроде на шестиугольник похож.

Отправлен: 06.11.2007, 08:20 Вопрос задал: Amrant (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Amrant! Посмотрите на картинку, которую я выложил по адресу http://i24.tinypic.com/25fnll1.jpg Как видите слева все штрихи направлены слева снизу вправо вверх потому что производная полодительна. Причём, чем дальше отходим по x или y от осей координат, тем круче производная, т.е. наклон увеличивается. Справа от OY производная отрицательная и симметрична той, что слева, т.е. тоже чем далше от осей, тем круче. Теперь идём по штрихам от M(0,-1) и чем дальше отходим от оси OYб тем сильнее загибаем вниз. Получается что-то типа параболы рожками вниз.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 07.11.2007, 08:20 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Оказывается так просто, Спасибо Вам, за пояснение задачи.

Вопрос № 108.231

Добрый день, Пожалуйста, проверьте решение задания на исследование ф-ии, заранее благодарна. Исследовать ф-ю и построить ее график Y=(x^3+16)/x Исследование: 1. Область определения от +бескон, до 0 и от 0 до +бескон 2. Имеет разрыв в точке х=0. при остальных значениях аргумента непрерывна. 3. Вертикальная асимптота имеет х=0. Находим наклонные асимтоты. Ур-ие к-ых y=kx+b K=Lim[+-00]f(x)/x, b= Lim[+-00][f(x) – kx] K=Lim[+-00](x^3+16)/x=x+16/x^2=16 B=x^2+15/x=15 Y=16x+15 4. Lim[+-00] (x^3+16)/x=+-00 5. Функция ни четная ни нечетная, непериодическая. 6. График пересекает оси в точках х=0 и у=0 7. найдем интервалы монотонности и точки экстремумов производная равна (2x^3-16)/x^2 . Определим критические точки. Производная превращается в 0 при х1=2, х2=0. Интервалы возрастания ф-ии (-2:0) и (0:+00) Интервалы убывания (-00;-2) 6. Определим интервалы выпуклости/вогнутости: Вторая производная равна (2x^4+32x)/x^4. Определим крит. точки. Это х1=0 и х2=16^1/3

Отправлен: 06.11.2007, 11:30 Вопрос задала: Дроздова Елена Владимировна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Дроздова Елена Владимировна! 6. График пересекает ось х в точке y=0 => x = - (16)^(1/3) ось y не пересекает, ибо х не может быть равно 0 7. y' = {(3x^2)x - (x^3+16)}/(x^2) = (2x^3 - 16)/(x^2) => y' = 0 при х=2 Интервалы возрастания ф-ии (2;00) Интервалы убывания (-00;2) 8. y'' = {(6x^2)(x^2) - (2x^3 - 16)(2x)}/(x^4) = (6x^4 - 2x^4 + 32x)/(x^4) = (2x^3 + 32)/(x^3) y''(2) = 6 x = 2 - точка минимума функции

Ответ отправила: Джелл (статус: Студент) Ответ отправлен: 06.11.2007, 17:58 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за ответ.Джелл!Сначала увидела ответ с ошибкой. а потом Ваш :)))

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.62.0 от 08.11.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru