/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 489
от 05.11.2007, 15:05

Вопрос № 107.421

Доброго времени суток ув.эксперты.Огромная просьба помочь решить следующие задачи: 1)Lim(x->+oo) ((x^3-3x^2)^1/3 - (x^2-2x)^1/3) 2)Lim(x->+oo) [(x^1/2 +3(x^1/4)+1) / (x^1/2 +3)]^-x^1/4 3)Определить порядок бескон малой функции относительно х при х->0 e^ Pi*x -1 4)Определить порядок бескон малой ф-ии относительно х-a при x->a 1-tg^3 x ,a=Pi/4 5) Lim(x->0) (e^x - e^-x)/sin x Простите за корявое написание..

Отправлен: 30.10.2007, 20:19 Вопрос задал: Tazzdingo (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович !!! Здравствуйте, Tazzdingo! 1)Lim(x->+oo) ((x^3-3x^2)^1/3 - (x^2-2x)^1/3) x((1-3/x)^1/3 - (1/x - 2/x^2)^1/3) ~ x*1 -> +oo 2)Lim(x->+oo) [(x^1/2 +3(x^1/4)+1) / (x^1/2 +3)]^-x^1/4 [(x^(1/2) +3*x^(1/4)+1) / (x^(1/2) + 3)]^-x^1/4 -> e^0 = 1 -x^1/4*ln[(1 +3*x^(-1/4)+1*x^(-1/2)) / (1 + 3*x^(-1/2))] ~ -x^(1/4)*ln[1 + 3*x^(-1/4) + x^(-1/2)*(-2 - 9x^(-1/4))(1 + 3*x^(-1/2))] ~ -x^(1/4)*3*x^(-1/4) = 3 !!! Ответ неправильный. Правильное решение см. в следующем ответе 3)Определить порядок бескон малой функции относительно х при х->0 e^ Pi*x -1 f(0) = e^(Pi*x) - 1 = 0 f'(0) = Pi*e^(Pi*x) = Pi != 0, т.е. f ~ Pi*x 4)Определить порядок бескон малой ф-ии относительно х-a при x->a 1-tg^3 x ,a=Pi/4 f(a) = 0 f'(Pi/4) = -3tg^2(x)/cos^2(x) = -3*1/(1/2) = -6 != 0 f(x) ~ -6*(x - Pi/4) 5) Lim(x->0) (e^x - e^-x)/sin x e^x - e^-x ~ 2x s in(x) ~ x При x->0 Lim -> 2 ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 31.10.2007, 17:51

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 09:58 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо огромное ,выручил))

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Tazzdingo! В предыдущем ответе неправильно вычислен второй предел. Приведу правильное решение. Сделаем замену: t = x1/4 → ∞. Получим limt→∞((t²+3t+1)/(t²+3))-t = limt→∞(1 + (3t-2)/(t²+3))-t = limt→∞[(1 + (3t-2)/(t²+3))(t²+3)/(3t-2)]-t(3t-2)/(t²+3) = e-3, т.к. limt→∞(1 + (3t-2)/(t²+3))(t²+3)/(3t-2) = {q = (t²+3)(3t-2) → ∞} = limq→∞(1+q)q = e и limt→∞(-t(3t-2)/(t²+3)) = limt→∞(2t-3t²)/(t²+3) = limt→∞(2/t-3)/(1+3/t²) = -3. Ответ: e-3.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 31.10.2007, 17:49

Вопрос № 107.429

Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи: 1. Найти угол между биссектрисами углов xOy и yOz 2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a=2i+j, b=-2j+k 3. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;-2;0), В(3;-3;1), С(5;0;2). Найти его четвёртую вершину D и угол между векторами AC и BD. 4. Найти угол между векторами a=2m+4n и b=m-n, где m и n-единичные векторы, образующие угол 120 градусов. Если возможно, то с пояснениями. Заранее огромное спасибо! Swallow.

Отправлен: 30.10.2007, 21:31 Вопрос задала: Ласточка (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Ласточка! 1) Найдем направляющий вектор этих биссектрисс. Выходят они из начала координат; биссектриса ОА угла xOy проходит через точку А(1,1,0), биссектриса ОВ угла yOz проходит через точку В(0,1,1) => ОА(1,1,0), ОВ(0,1,1) Как известно, соs угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на их длины. ОА*ОВ = (1,1,0)*(0,1,1) = 1 |OA| = |OB| = sqrt(2) => cos(AOB) = 1/2 => AOB = 60°

Ответ отправила: Джелл (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 03:31 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за помощь, Джелл!

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович !!! Здравствуйте, Ласточка! 2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a=2i+j, b=-2j+k Одна диагональ - c=a+b = 2i-j+k Другая диагональ - d=a-b = 2i+3j+k !!! a - b = 2i + 3j - k. Правильное решение см. в следующем ответе (c,d) = 2*2 - 1*3 + 1*1 = 2 (c,c) = 2*2 + 1*1 + 1*1 = 6 |c| = sqrt(6) (d,d) = 2*2 + 3*3 + 1*1 = 14 |d| = sqrt(14) cos(phi) = (c,d)/(|c||d|) = 2/(sqrt(6)*sqrt(14)) = 1/sqrt(21) phi = arccos(1/sqrt(21)) 3. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;-2;0), В(3;-3;1), С(5;0;2). Найти его четвёртую вершину D и угол между векторами AC и BD. AD = BC = (5-3;0+3;2-1) = (2,3,1) D(-3+2;3-2;1+0)=(-1;1;1) (AC,BD) = (8,2,2).(-4;4;0) = -32 + 8 = -24 (AC,AC) = 8*8 + 2*2 + 2*2 = 72 |AC| = 6*sqrt(2) (BD,BD) = 4*4 + 4*4 + 0*0 = 32 |BD| = 4*sqrt(2) cos(phi) = (AC,BD)/(|AC||BD|) = - 24/(6*sqrt(2)*4*sqrt(2)) = -1/2 phi = 120 4. Найти угол между векторами a=2m+4n и b=m-n, где m и n-единичные векторы, образующие угол 120 градусов. (a.b) = (2*m + 4*n)(m - n) = 2*(m.m) + 4*(m.n) - 2(m.n) - 4(n.n) = 2 + 2(-1/2) - 4 = -3 (a.a) = (2*m + 4*n)(2*m + 4*n) = 4*(m.m) + 16(m.n) + 16(n.n) = 4 + 16(-1/2) + 16 = 12 |a| = sqrt(12) = 2*sqrt(3) (b.b) = (m - n)(m - n) = (m.m) - 2(m.n) + (n.n) = 1 - 2(-1/2) + 1 = 3 |b| = sqrt(3) cos(phi) = (a.b)/(|a||b|) = -3/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = -1/2 phi = 120 ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 31.10.2007, 18:32

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 10:14 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за решения, Воробьёв Алексей Викторович!

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Ласточка! Ответ Воробьёва Алексея Викторовича содержит ошибку во втором примере. Приведу правильное решение. Диагонали параллелограмма — это c = a+b = 2i - j + k и d = a - b = 2i + 3j - k. c*d = 2*2 + (-1)*3 + 1*(-1) = 0 ⇒ векторы c и d взаимно перпендикулярны. Ответ: 90°.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 31.10.2007, 18:30 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо,Агапов Марсель, я тоже её заметила, недавно разбиралась с решениями, не всё поняла к сожалению, но это уже другой вопрос...

Вопрос № 107.430

Здраствуйте! Особая благодарноть Агапову Марселю за ответы, пускай не всгда точные с технической точки зрения, но судя по всему, только он может реально помочь с любой задачей.... Тянитесь к нему как трава к солнцу... Ну а теперь... задачи. I. В линейном пространстве солбцов высотой 4 даны элементы: y1 = (1 1 2 1) y2 = (1 -1 0 1) y3=(0 0 -1 1) y4= (1 2 2 0) x = (1 1 1 1) (Все элоементы располагаются в столбцы, просто я их в строчку написал). а) показать что элементы у1, у2, у3, у4 образуют базис в пространстве (т.е. их линейную незвисимость) б) найти координаты элемента х в базисе у1, у2, у3, у4 (т.е. выразить) II. В линеном пространстве столбцов выстой 3 даны 2 базиса: Е1 = (0 1 1) Е2 = (1 0 1) Е3 = (1 1 0) F1 = (1 2 3) F2= (2 1 2) F3 = (0 2 1) Найти 1. Матрицу перехода Е к базису F 2. Матрицу обратного перехода 3. Координаты F1 в обоих базисах 4. Координаты E3 в обоих базисах 5. Координаты y в базисе E, имеющего в базисе f координаты (2 3 -1) III В пространстве многочеленов степени меньше либо равной 2 даны два базиса E1 = 1, E2 = x. E3 = x^2 F1 = 1, F2 = x+1, F3 = (x=1)^2 Найти матрицы перхода E->F, F->E Спасибо, что дочитали до конца. Можете присылать мне ответы на мыло (nejew@mal.ru) , а отписываться в форме ответ, чтоб я смог оценить Вашу неоценимую помощь.... Любой способ помощи приветсствуется( вплоте до плотного общения в Агенте) Спасибо!!!!!

Отправлен: 30.10.2007, 21:37 Вопрос задал: Newjew (статус: Студент) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Newjew! 1) Составим матрицу из векторов y1, y2, y3, y4 и посчитаем ее дискриминант. |1 1 2 1| |1 -1 0 1| |0 0 -1 1| |1 2 2 0| Получим дискриминант = -4 не равен 0 => эти векторы линейно независимы, и могут являться базисом. Выразим вектор х через этот базис. То есть найдем числа a,b,c,d, что x = (1 1 1 1) = a(1 1 2 1) + b(1 -1 0 1) + c(0 0 -1 1) + d(1 2 2 0) = (a+b+d,a-b+2d,2a-c+2d,a+b+c) То есть получаем систему 4 уравнений с 4 неизвестными a+b+d = 1 a-b+2d = 1 2a-c+2d = 1 a+b+c = 1 Решаем, находим а = b = 1/4, c = d= 1/2 Итак, x = 0,25*y1 +0,25*y2 + 0,5*y3 + 0,5*y4

Ответ отправила: Джелл (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 03:55 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за первое!!!!! Хотя бы начал в сути разбираться!

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Newjew! II. Матрица Е имеет вид (0 1 1) (1 0 1) (1 1 0) Матрица F имеет вид (1 2 0) (2 1 2) (3 2 1) 1. Матрица A перехода от E к F должна удовлетворять уравнению A*E = F A = F*E-1. Вычислив E-1 = (-1/2 1/2 1/2) (1/2 -1/2 1/2) (1/2 1/2 -1/2) получим, что A = (1/2 -1/2 3/2) (1/2 3/2 1/2) (0 1 2) 2. Матрица B перехода от F к E — обратная к матрице перехода от E к F. B = A-1 = (1 1 -1) (-2/5 2/5 1/5) (1/5 -1/5 2/5) 3. F1 в базисе F имеет координаты (1;0;0) (т.к. входит в этот базис). Чтобы получить координаты в базисе E, умножим матрицу B перехода от F к E на F-координаты этого вектора: (1 1 -1) (-2/5 2/5 1/5) (1/5 -1/5 2/5) умножим на вектор-столбец (1) (0) (0) и получим (1) (-2/5) (1/5). Значит, в базисе E вектор F1 имеет координаты (1;-2/5;1/5). Видим, что они совпадают с элементами первого столбца матрицы B. 4. Координаты E3 в базисе E такие: (0;0;1). Вычислим его F-координаты: (1/2 -1/2 3/2) (1/2 3/2 1/2) (0 1 2) умножим на (0) (0) (1) и получим (3/2) (1/2) (2). В базисе F вектор E3 имеет координаты (3/2;1/2;2). 5. y(2;3;-1). Умножим матрицу B перехода от F к E на этот вектор и получим его E-координаты: (6;1/5;-3/5).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 31.10.2007, 21:40 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо большое!!!!!!Последнее задание буду додумывать наверное сам... Очень четко и понятно - лучше чем наш практик нам втирает.

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Newjew! Задача 3: По аналогии с решением задачи 2: матрица E: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 матрица F: 1 0 0 1 1 0 1 2 1 матрица A перехода от E к F: A = F*E^(-1) 1 0 0 1 1 0 1 2 1 матрица B перехода от F к E: B = A^(-1) 1 0 0 -1 1 0 1 -2 1

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 01.11.2007, 10:34 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо большое.... Теперь понял две вещи: 1. Как эти матрицы решать. 2. На RusFAQ решается все. Спасибо!

Вопрос № 107.432

Help me!! Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 4 задачи: 1. Даны векторы ОА=а и ОВ=b, причём а=2, b=4, а (а^b)=60 градусов. Определить угол между медианой ОА треугольника АОВ и стороной ОА. 2. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), В(1;0;6) и С(4;5;-2). 3. Построить параллелограмм на векторах a=2j+k и b=i+2k и вычислить его площадь и высоту. 4. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2m-n и 4m-5n, где m и n – единичные векторы, образующие угол 45 градусов. Если возможно, то с пояснениями. Заранее огромное спасибо! Swallow.

Отправлен: 30.10.2007, 21:50 Вопрос задала: Ласточка (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Ласточка! 1) Пусть координаты т.О (0,0), ось х направим вдоль вектора ОА => координаты т.А (2,0), и т.к. угол между ОА и ОВ = 60° => координаты т.В (2, 2sqrt(3)) => вектор АВ имеет координаты (0, 2sqrt(3)) Тогда если середина стороны АВ = т.D => AD = (0, sqrt(3)) => по правилу сложения векторов координаты т.D = ОА + АD = (2, sqrt(3)) Итак, ОD(2, sqrt(3)), ОА(2,0), |OD| = sqrt(7) |OA| = 2 cos(AOD) = OD*OA/(|OD|*|OA|) = 4/2sqrt(7) = 2/sqrt(7)

Ответ отправила: Джелл (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 04:10 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за помощь в решении, Джелл!

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Ласточка! 2. Треугольник построен на векторах AB = (-6,-3,2) и AC = (-3,2,-6). Площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения этих векторов. Векторное произведение вычисляется как определитель матрицы |i j k| |-6 -3 2| |-3 2 -6| Он равен 14i - 42j - 21k. S = 1/2 * |[AB,AC]| = 1/2 * |14i - 42j - 21k| = 1/2 * sqrt(14² + (-42)² +(-21)²) = 7*sqrt(31)/2. Ответ: S = 7*sqrt(31)/2.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 31.10.2007, 19:45 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Огромное спасибо за решение, Агапов Марсель!

Отвечает: Vassea Здравствуйте, Ласточка! 3) Площадь параллелограмма -- модуль векторного произведения [a,b]= |i j k| |0 2 1|=4i + 1 j - 2 k |1 0 2| тогда модуль этого вектора (векторное произведение)= =sqrt(4^2 + 1^2 +(- 2)^2 )=sqrt(21) найдем длины векторов a и b |a|=sqrt(4+1)=sqrt(5) |b|=sqrt(1+4)=sqrt(5) Высоту можно опускать к двум сторонам, но так как они равны по модулю (нам параллелограмм -- ромб), то длины высот будут одинаковы Площадь параллелограмма = a*h h=sqrt(21)/sqrt(5)=sqrt(105)/5 4)Площадь параллелограмма -- половина произведения диагоналей на синус угла между ними s=1/2 * d1*d2 * sin a , а это и есть половина векторного произведения s=1/2 *mod [2m-n;4m - 5n]=1/2*( [2m;4m] + [-n;4m] + [2m;-5n] + [-n;-5n] )= =1/2 * mod(0 + 4[-n;m] + 10[m;-n] + 0)= =1/2 * mod( 6[m;-n])= 1/2 *| 6*1*1*sin(180-45) | =1/2*6*sqrt(2)/2=(3/2) * sqrt(2)

Ответ отправил: Vassea (статус: 7-ой класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 21:58 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за помощь, Vassea!

Вопрос № 107.438

Все никак не могу разобраться с этими векторами, может вы поможете: Вычислить при каких значениях m и n прямые L1: mx+8y+n=0; L2: 2x+my-1=0 1)параллельные 2)перпендикулярные 3) L1=L2 Вот такая задачка..

Отправлен: 30.10.2007, 22:08 Вопрос задал: Wider (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Wider! Изначально немного преобразуем прямые. L1: mx+8y+n=0 y = (- mx - n)/8 y = (-m/8)x - n/8. L2: 2x+my-1=0 y = (1 - 2x)/m y = 1/m - (2/m)x 1). Прямые параллельны если угловые коэффициенты равны (k1 = k2). Угловой коэффициент - коэффициент при "х". L1: k1 = (-m/8). L2: k2 = (-2/m). -m/8 = -2/m => m2 = 16 Следовательно m = -4 либо m=4. а) m = -4 получаем: 1/4 ≠ n/8 => n ≠ 2, при (n = 2) - прямые совпадают. б) m = 4 получаем: -1/4 ≠ n/8 => n ≠ -2, при (n = -2) - прямые совпадают. 2). Поскольку общие уравнения прямых можно записать в виде A1x + B1y +C1 = 0 и A2x + B2y +C2 = 0. То прямые взаимно перпендикулярны, если: A1A2 + B1B2 = 0. Для нашей задачи имеем: A< sub>1=m A2=2 B1=8 B2=m Получаем A1A2 + B1B2 = 2m + 8m = 0 10m=0 => m=0. Следовательно прямые будут перпендикулярны при m = 0 (значение n - произвольное). 3). L1=L2, когда и угловые коэффициенты равны и свободные. Для m уже рассмотрено в первом случае. Для n: - n/8 = 1/m => n = -8/m Получили два случая: а) m=-4; n=2 б) m=4; n=-2 Good Luck!!! --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 30.10.2007, 22:46

Отвечает: Pavl Здравствуйте, Wider! Это уравнения вида A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 A1=m, B1=8, C1=n, A2=2, B2=m, C2=-1 1) прямые параллельны, когда A1/A2=B1/B2: A1/A2 не равно C1/C2. То есть m/2=8/m и m/2 не равно n/-1, находим m, подставляя m находим n. 2) прямые перпендикулярны, если A1A1+B1B2=0, подставляем исходные даннные и находим m и n. 3) прямые совпадают, когда A1/A2=B1/B2=C1/C2.

Ответ отправил: Pavl (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 00:03

Вопрос № 107.440

Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 3 задачи: 1. Построить векторы a=3k-2j, b=3i-2j и c=a*b. Вычислить модуль векторы с и площадь треугольника, построенного на векторах a и b. 2. Построить треугольник с вершинами А(1;-2;8), В(0;0;4), С(6;2;0). Вычислить его площадь и высоту ВD. 3. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах a=k-j и b=i++j+k. Если возможно, то с пояснениями. Заранее огромное спасибо! Swallow.

Отправлен: 30.10.2007, 22:34 Вопрос задала: Ласточка (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Ласточка! 2) AC(5;4;-8) => |AC| = sqrt(105) т.D лежит на АС, и в то же время АС перпендикулярна BD, то есть скалярное произведение АС*BD = 0 . Если координаты т.D (x,y,z) => AD (x-1,y+2,z-8) => ( и т.к. BD лежит на АС) (x-1)/5 = (y+2)/4 = (z-8)/-8 => y = (4x-14)/5, z = (-8x+48)/5 BD(x,y,z-4) => BD (x, (4x-14)/5, (-8x+28)/5) AC*BD = 5x + 4(4x-14)/5 - 8(-8x+28)/5 = 21x - 56 =0 => x = 8/3 => D(8/3, -2/3, 16/3) BD(8/3, -2/3, 4/3) => |BD| = 2sqrt(21)/3 Площадь треугольника = 1/2 высоты*основание = 1/2 * 2sqrt(21)/3 * sqrt(105) = 7sqrt(5)

Ответ отправила: Джелл (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 04:46 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за решение, Джелл!

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Ласточка! 1. Построить векторы a=3k-2j, b=3i-2j и c=a*b. Вычислить модуль векторы с и площадь треугольника, построенного на векторах a и b. [a x b] равно детерминанту матрицы i j k 0 -2 3 3 -2 0 т.е. [a x b] = 6i + 9j + 6k 2. Построить треугольник с вершинами А(1;-2;8), В(0;0;4), С(6;2;0). Вычислить его площадь и высоту ВD. S = 1/2*| [AB x AC] | AB = (-1;2;-4) AC = (5;4;-8) [AB x AC] - детерминант i j k -1 2 -4 5 4 -8 [AB x AC] = -28j - 14k |[AB x AC]| = sqrt(28^2 + 14^2) = 14*sqrt(5) S = 7*sqrt(5) S = 1/2*|AC||BD| |AC| = sqrt(5^2 + 4^2 + 8^2) = sqrt(105) |BD| = 2*S/|AC| = 14*sqrt(5)/sqrt(105) = 14/sqrt(21) = 2*sqrt(7/3) 3. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах a=k-j и b=i++j+k. d1 = a+b = i+2k d2 = b-a = i+2j S = |a x b| i j k 0 -1 1 1 1 1 S = |-2i + j + k| = sqrt(2^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(6)

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 10:34 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за решения!

Вопрос № 107.441

Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 3 задачи: 1. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах ОА, ОВ, ОС, если векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2. 2. Построить векторы a=i+j+4k, b=i-2j и с=3i-3j+4k, показать, что они компланарны, и найти линейную зависимость между ними. 3. Вычислить объём параллелепипеда ОАВСО1А1В1С1, в котором даны три вершины нижнего основания О(0;0;0), А(2;-3;0) и С(3;2;0) и вершина верхнего основания В1(3;0;4), лежащая на боковом ребре ВВ1, противоположном ребру ОО1. Если возможно, то с пояснениями. Заранее огромное спасибо! Swallow.

Отправлен: 30.10.2007, 22:40 Вопрос задала: Ласточка (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Ласточка! 2) i(1,0,0), j(0,1,0), k(0,0,1) => a=i+j+4k = (1,0,0) + (0,1,0) +4(0,0,1) = (1,1,4) b=i-2j = (1,0,0) - 2(0,1,0) = (1,-2,0) с=3i-3j+4k = 3(1,0,0) - 3(0,1,0) + 4(0,0,1) = (3,-3,4) Их смешанное произведение = |1,1,4| |1,-2,0| |3,-3,4| Оно равно 0 => вектора компланарны. Найдем линейную зависимость => числа x,y, что c = xa + yb (3,-3,4) = x(1,1,4) + y(1,-2,0) = (x+y, x-2y, 4x) x+y = 3 x-2y = -3 4x = 4 x = 1, y = 2 Итак, c = a + 2b

Ответ отправила: Джелл (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 05:06 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за решение, Джелл!

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Ласточка! 1. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах ОА, ОВ, ОС, если векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2. Объём тетраэдра равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на его рёбрах. Объём параллелепипеда считается как модуль смешанного произведение веторов, которое равно детерминанту матрицы из координат этих векторов. OA = (sqrt(2), sqrt(2), 0) OB = (sqrt(2), 0, sqrt(2)) OC = (0, sqrt(2), sqrt(2)) Детерминант sqrt(2) sqrt(2) 0 sqrt(2) 0 sqrt(2) 0 sqrt(2) sqrt(2) равен -4*sqrt(2) V = 1/6*|-4*sqrt(2)| = 2*sqrt(2)/3 3. Вычислить объём параллелепипеда ОАВСО1А1В1С1, в котором даны три вершины нижнего основания О(0;0;0), А(2;-3;0) и С(3;2;0) и вершина верхнего основания В1(3;0;4), лежащая на боковом ребре ВВ1, противоположном ребру ОО1. OB = OA + OC = (5, -1, 0) OO1 = BB1 = OB1 - OB = (-2, 1, 4) Объём параллелепипеда - модуль смешанного произведения OO1, OA и OC, которое равно детерминанту матрицы из координат этих векторов. 2 -3 0 3 2 0 -2 1 4 равный 52. На самом деле, если можно заметить, что OB1 = OB+BB1 и OB1.[OAxOC] = (OB+BB1).[OAxOC] = OB.[OAxOC]+BB1.[OAxOC] = BB1.[OAxOC] поскольку OB лежит в плоскости OAC и перпендикулярен векторному произведению [OAxOC]. Таким образом, для нахождения объёма параллелограмма мы могли просто посчитать смешанное произведение OA, OB1, OC.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 01.11.2007, 10:13 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое вам спасибо за решени, Воробьёв Алексей Викторович!

Вопрос № 107.497

Доброе утро, уважаемые эксперты! Помогите решить 4 задачи. Задача1 Наити линии уровня поля, проходящие через т. М0(1;1) u(x;y)=4x62+9y^2+18y-8x-21 Задача2 Найти поверхность уровня u(x;y;z)=(x*x+y*y)/z

Отправлен: 31.10.2007, 12:16 Вопрос задал: Serega1988 (статус: 9-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Piit Здравствуйте, Serega1988! Задача1 Наити линии уровня поля, проходящие через т. М0(1;1) u(x;y)=4x62+9y^2+18y-8x-21 Решение. u(x;y)=C=>4x62+9y^2+18y-8x-21=C (*) В (*) подставляем координаты т.М0 4*1^2+9*1^2+18*1-8*1-21=C=>4+9+18-8-21=C, C=2 4x^2+9y^2+18y-8x-21=2 - линией уровня является эллипс Аналогично со вторым заданием (x*x+y*y)/z=С=>x^2+y^2=Cz - поверхность уровня - параболоид вращения --------- От алгоритмов к суждениям + самообучение

Ответ отправил: Piit (статус: Студент) Ответ отправлен: 31.10.2007, 17:07 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо, но я уже сам справился

Вопрос № 107.498

Доброе утро, уважамые эксперты! Помогите решить 4 задачи. Задача3 Найти градиент скалярного поля u(x;y;z;)=x^2*y*z-x*y^2*z+x*y*z^2 в т.М0(1;1;1). Вычислить величину и направление Задача4 Вычислить производную по направлению u(x;y;z)=ln(3-x^2)+x*y^2*z в т.М0(0;5;0)

Отправлен: 31.10.2007, 12:17 Вопрос задал: Serega1988 (статус: 9-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Serega1988! Задача3 Найти градиент скалярного поля u(x;y;z;)=x^2*y*z-x*y^2*z+x*y*z^2 в т.М0(1;1;1). Вычислить величину и направление (Надо писать частные дифференциалы) (du/dx, du/dy, du/dz) = (2*x*y*z-y^2*z+y*z^2,x^2*z-2*x*y*z+x*z^2, x^2*y-x*y^2+2*x*y) = (2,0,2) Задача4 Вычислить производную по направлению u(x;y;z)=ln(3-x^2)+x*y^2*z в т.М0(0;5;0) Градиент (du/dx, du/dy, du/dz) = (-2x/(3-x^2) + y^2*z, 2*x*z, x*y^2) = (0, 0, 0) Производная по направлению равна скаларному произведению градиента на единичный вектор в указанном направлении, т.е. будет 0.

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 17:49 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо

Вопрос № 107.508

Добрый день!! Очень прошу о помощи в построении функций! Плохо понимаю эту тему... 1. y= 2x^2 - 4x + 1 2. y= |x-4| 3. y= ||x+2| - 3| 4/ y= |x^3| / x^2 Если будет несложно, нарисуйте хотя бы приблизительно... Спасибо!Буду очень благодарна за помощь!

Отправлен: 31.10.2007, 13:30 Вопрос задала: Visova Vika K (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Serega1988 Здравствуйте, Visova Vika K! 1)Преобразуем как 2(x-1)^2-1 - парабола, помещенная в т.(1,1) и сжатая относительно оси x=1 в 2 раза 2)уголок с изломом в т.(4.0), направленный вверх 3)Буква W? с изомами в точках (-5,0) ; (-2,3) ; (1;0) 4)обычный |x| с выколотой точкой (0;0) |x| - уголок с изломом в точке (0;0) --------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время

Ответ отправил: Serega1988 (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 14:14

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Visova Vika K! 2) y= |x-4| Сначала рассмотрим все точки х, при которых x-4 >= 0 => раз оно положительное, то модуль раскрывается так: |x-4| = x-4, и наша функция на этой половине графика будет выглядеть как y = x-4. Это прямая. Для того, чтобы ее начертить, достаточно поставить две точки, принадлежащие прямой, и через них провести по линейке прямую (только пока не заезжаем на левую половину графика, где х < 4, на той половине мы функцию еще не рассматривали). если х = 4, то y = 0, и значит, точка (4,0) принадлежит прямой если х = 6, то y = 2, и значит, точка (6,2) принадлежит прямой. См рисунок 1 - http://i042.radikal.ru/0711/51/41f402acae63.jpg Далее, рассмотрим теперь левую половину графика, где х < 4. Тогда x-4 < 0 => модуль раскрывается так: |x-4| = 4-x, и наша функция на этой половине графика будет выглядеть как y = -x+4. Это опять же прямая, только другая. х = 4 => y = 0 x = 2 => y = 2 Достраиваем наш график до конца. см рис 2 - http://i015.radikal.ru/0711/a2/fccd601ed05d.jpg Вот такой вот ломаный график ) 3) Задача очень похожая, только приходится рассматривать сначала все точки х, которые больше -2 = чтобы раскрыть модуль |x+2|, а потом еще и раскрывать внешний модуль ) Но по порядку. Итак, рассмотрим все точки x >= -2 => |x+2| = x+2, и наша функция на этой полуплоскости y = |x+2 - 3| = |x - 1|. Раскрываем и этот модуль. Получаем для всех точек x > 1 функция принимает вид y = x - 1, а для отрезка [-2, 1] y = 1 - x И рисунок - http://i041.radikal.ru/0711/44/025f2298c4e6.jpg Далее, рассмотрим вторую полуплоскость, x < -2 => |x+2| = -x-2, y = y= |-x - 2 - 3| = |-x - 5| = |x + 5| То есть для всех x < -5 => y = -x - 5, для -5 <= x < -2 => y = x+5 Дорисовываем график http://i030.radikal.ru/0711/7f/a8f2486009a6.jpg 3) Здесь только одна точка перелома: если х >=0 => |x^3| = x^3 => y= x^3/ x^2 = x если x < 0 => |x^3| = -x^3 => y= -x^3/ x^2 = -x График http://i037.radikal.ru/0711/b1/c32d287d885f.jpg

Ответ отправила: Джелл (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 04.11.2007, 11:17

Вопрос № 107.510

lim x->0 ((1+x+x^2)/(x+x^2+x^3)) 2.определенный интеграл от 0 до5/2 ∫(dx/(25-4x^2)^0.5)

Отправлен: 31.10.2007, 13:58 Вопрос задал: Vic_ (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Serega1988 !!! Здравствуйте, Vic_! 1)сокращаем числитель и знаменатель на 1+x+x^2, получаем lim x->0 1/x=бескон 2)делаем замену x=5/2sin(t), получаем определенный интеграл от 0 до 5/2 π/2 ∫d(5/2sinx cos(t)dt)/5cosx t= =определенный интеграл от 0 до 5/2 π/2 ∫0.5dx dt=1.25 π/4 ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 31.10.2007, 16:41 --------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время

Ответ отправил: Serega1988 (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 14:06

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Vic_! Предыдущий ответ содержит ошибку в вычислении интеграла. Приведу правильное решение. integral{от 0 до 2.5}dx/sqrt(25-4x²) = замена: x = 2.5sin(t) ⇒ dx = 2.5cos(t)dt, 25-4x² = 25-25sin²t = 25cos²t; x1 = 0 ⇒ 2.5sin(t1) = 0 ⇒ t1 = 0, x2 = 2.5 ⇒ 2.5sin(t2) = 2.5 ⇒ t2 = π/2 = integral{от 0 до π/2}5/2*cos(t)dt/sqrt(25cos²t) = integral{от 0 до π/2}dt/2 = 0.5t|{от 0 до π/2} = π/4.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 31.10.2007, 16:36

Вопрос № 107.511

пожалуйста, поогите, мне нужно взять интеграл от arctan8x чему он будет равен. если уменя 8 х, для арктангенсч формулу я нашла... xarctanx-LN(корня 1+x^2) Заранее благоадрна, жду ответа

Отправлен: 31.10.2007, 14:02 Вопрос задала: Дроздова Елена Владимировна (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: lyalya !!! Здравствуйте, Дроздова Елена Владимировна! решается по частям где u=arctg(8x), du=(8/(1+x^2))dx, dv=dx, v=x integral (arctg(8x))dx=x*arctg(8x)-x*integral(8/(1+x^2))dx=x*arctg(8x)-x*8*arctg(8x)+c=-7*x*arctg(8x)+c. !!! Решение с ошибкой. См. следующий ответ вроде так ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 31.10.2007, 20:38

Ответ отправила: lyalya (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 14:24

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Дроздова Елена Владимировна! Делаете замену переменной t=8x, тогда dt=8*dx, или dx=dt/8 Получаем интеграл arctan(t)*dt/8 = 1/8*Integral(arctan(t)dt) = 1/8[t*arctan(t)-ln(sqrt(1+t^2)] = x*arctan(8x) - 1/8*ln(sqrt(1 + 64x^2)) В предыдущем ответе ошибка: integral (arctg(8x))dx=x*arctg(8x)-integral(8x/(1+x^2))dx, а не integral (arctg(8x))dx=x*arctg(8x)-x*integral(8/(1+x^2))dx

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 18:08 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Огромное спасибо!! Ваш ответ правильный, я уточнила у преподавателя по инету!!!

Вопрос № 107.516

Еще вопрос, а если у меня никак не дорешается предел, при х стрем к бесконечности sin3x/(xctg4x) я сделала замену t=3x, получила дробь а что дальше делать не знаю...решала другими сопсобами тоже неверно заранее признательна за помозь

Отправлен: 31.10.2007, 14:36 Вопрос задала: Дроздова Елена Владимировна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович Здравствуйте, Дроздова Елена Владимировна! У этого выражения нет предела. Оно стремится к бесконечности в окрестности всех 4x=Pi/2+2*Pi*n и 3x!=Pi/2+2*Pi*k, например при x = pi/8 + 2*Pi*n. При этом оно превращается в 0 при 3x=Pi/2+2*Pi*k и 4x!=Pi/2+2*Pi*n, например, при x = Pi/6 + 2*Pi*k Примечание: != означает "не равно"

Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 31.10.2007, 18:23

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.61.1 от 16.10.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru