Вопрос № 106595: 1.f(x) = f(2x)
Найти все f(x): f e C[R]
2. Найти все диффер. ф-ии, удовлетворяющие след. ур-ию:
f(x+y) = ( f(x) + f(y) )/(1-f(x)f(y) )
3.Ф-ия f удовлетворяет тождеству:
f(xy) = ( f(x)+f(y) )/(x+y), x,y e R, x+y <&g...Вопрос № 106630: Решить систему (составить основную и расширенную матрицу системы, путём элементарных преобразований строк (только!) привести расширенную матрицу к трапецевидной форме и т.д.):
/ x1 - x2 + x3 - x4 = 3
|
| 2x1 + 2x2 + x3 + x5 = 0<b...Вопрос № 106655: Доброго времени суток уважаемые эксперты! Вопросы:
как решить вот это:
Составить канонические, параметрические или общие ур-ния прямой Р, проходящей через точку N, используя данные о расположении Р относительно других объектов.
N(2,3,2), ...
Вопрос № 106.595
1.f(x) = f(2x)
Найти все f(x): f e C[R]
2. Найти все диффер. ф-ии, удовлетворяющие след. ур-ию:
f(x+y) = ( f(x) + f(y) )/(1-f(x)f(y) )
3.Ф-ия f удовлетворяет тождеству:
f(xy) = ( f(x)+f(y) )/(x+y), x,y e R, x+y <>0
Существует ли такое Х из К, т. что f(x) <> 0
4. Найти все f, удовл. тождеству :
xf(y)+yf(x) = (x+y)f(x)f(y)f(x+y) , x,y e R
5.Найти решения фу-го ур-ия
f(f(f(x)))= x , x e R
6. Нати все диффер. ф-ии, удовл. тождествку
f`( (x+y)/2 )= ( f(y)+f(x))/(y-x), x,y e R, x<>y
7. Найти все ф-ии f, которая определяется след. образом
f(x)= max( x(xy-f(y)), для любого x e R
y e R
Отправлен: 24.10.2007, 10:12
Вопрос задал: Aleha (статус: Посетитель)
Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Aleha!
1.f(x) = f(2x)
Найти все f(x): f e C[R]
Я так понимаю, что C[R] - множество всех непрерывных на R функций.
Тогда f(x) = a, где a - какая-нибудь дейстивтельная константа.
Доказательство от противного.
Пусть функция принимает >= 2 различных значений. f(x) = a и f(y) = b.
Выстраивая цепочку a = f(x) = f(x/2) = f(x/2^2) = ... = f(x/2^n) мы можем найти такое n, чтобы |x/2^n| < beta/2
Аналогично для a = f(y) = f(y/2) = f(y/2^2) = ... = f(y/2^m) мы можем найти такое m, чтобы |y/2^n| < beta/2.
Тогда для сколь угодно малого бета найдутся Y = y/2^m и X = x/2^n, такие, что f(X) - f(Y) = a - b - конечна, что является нарушением непрерывности.
Противоречие. f(x) = a.
Ответ отправил: Воробьёв Алексей Викторович (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 24.10.2007, 10:46 Оценка за ответ: 4
Отвечает: Джелл
Здравствуйте, Aleha!
3) f(xy) = ( f(x)+f(y) )/(x+y) (*)
если взять x = 1, y = 0 => f(0) = f(1) + f(0) => f(1) = 0 (**)
Далее, если y = 1, и учитывая (**) => f(x) = f(x)/(x+1) => f(x) = 0 для любых х, кроме х = -1
Но если в (*) подставить y = 0, x = -1 => f(0) = f(-1)/-1 = 0
=> f(-1) = 0
То есть при данных условиях нетождественных нулю функций не существует
4. xf(y)+yf(x) = (x+y)f(x)f(y)f(x+y)
Если y = 0 => xf(0) = xf(x)f(0)f(x)
то есть либо f(0) = 0, либо 1 = (f(x))^2 => f(x) = 1 и f(x) = -1, как и f(x) = 0 условиям задачи удовлетворяют.
Посмотрим, существуют ли другие подходящие функции.
Пусть y = x => 2xf(x) = 2xf(x)f(x)f(2x)
1 = f(x)f(2x) => f(2x) = 1/f(x)
пусть y = 2x => xf(2x) + 2xf(x) = 3xf(x)f(2x)f(3x) => (на х сразу сокращаем)
1/f(x) + 2f(x) = 3f(3x)
f(3x) = (1 + 2(f(x))^2)/3f(x)
Пусть y = 3x => xf(3x) + 3xf(x) = 4xf(x)f(3x)f(4x)
Подставляем значение для f(3x) получаем
f(4x) = (1 + 11(f(x))^2)/(4f(x)(1 + (f(x))^2))
С другой стороны, f(4x) = f(2*2x) = 1/f(2x) = f(x)
то есть (1 + 11(f(x))^2)/(4f(x)(1 + (f(x))^2)) = f(x)
=> (f(x))^2 = 1 Получаем те же самые тождественно равные плюс-минус единице функции.
То есть кроме тождественно равных плюс-минус единице или нулю, удовл. условиям функций не существует.
Ответ отправила: Джелл (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 25.10.2007, 03:30 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Aleha!
Решение второго уравнения f(x) = tg(x).
Смотрите статью Рубинштейна А.И. «О функциональных уравнениях» из Соросовского образовательного журнала, том 7, №4, 2001. Там есть подробное решение этого уравнения.
Прикреплённый файл: Загрузить >> Срок хранения файла на сервере RusFAQ.ru составляет 30 суток с момента отправки ответа.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 25.10.2007, 19:57 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 106.630
Решить систему (составить основную и расширенную матрицу системы, путём элементарных преобразований строк (только!) привести расширенную матрицу к трапецевидной форме и т.д.):
умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй, потом умножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей, на (-1) и – к четвёртой, на (-2) и – к пятой:
(1 -1 1 -1 0 3)
(0 4 -1 2 1 -6)
(0 1 -2 2 1 -5)
(0 -3 -1 0 0 1)
(0 -3 -1 0 0 1)
четвёртая и пятая строки одинаковые, поэтому одну из них уберём:
(1 -1 1 -1 0 3)
(0 4 -1 2 1 -6)
(0 1 -2 2 1 -5)
(0 -3 -1 0 0 1)
умножим вторую строку на (-4) и прибавим к третьей, потом на 3 и – к четвёртой:
(1 -1 1 -1 0 3)
(0 1 -2 2 1 -5)
(0 0 7 -6 -3 14)
(0 0 -7 6 3 -14)
две последние строки отличаются только множителем, поэтому одну из них убираем:
(1 -1 1 -1 0 3)
(0 1 -2 2 1 -5)
(0 0 7 -6 -3 14)
умножим третью строку на 1/3 и прибавим ко второй:
(1 -1 1 -1 0 3)
(0 1 1/3 0 0 -1/3)
(0 0 7 -6 -3 14)
прибавим вторую строку к первой, а третью умножим на (-1/3):
(1 0 4/3 -1 0 5/3)
(0 1 1/3 0 0 -1/3)
(0 0 -7/3 2 1 -14/3).
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 24.10.2007, 21:17 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: В меру подробный и понятный ответ! Спасибо
Вопрос № 106.655
Доброго времени суток уважаемые эксперты! Вопросы:
как решить вот это:
Составить канонические, параметрические или общие ур-ния прямой Р, проходящей через точку N, используя данные о расположении Р относительно других объектов.
N(2,3,2), Р (такой знак U, только перевернут на право, извиняюсь забыл) альфа:3х-2у+z-2=0, Р перпендикуляр. вектору а={2,0,1}
вот это:
альфа || Р: х-1/0=у/2=z+1/3, q: х=3t-1, y=2t, z=-t+1, q (такой знак U, только перевернут на право) альфа, N(2,2,3).
вот это :
найти угол между прямой Р из 1-ой задачи и плоскостью альфа из второй задачи.
вот это:
Определить параметры, входящии в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении.
альфа: Ах+2у-4z+d=0, Р:х-3/4=у-1/-4=z+3/1, Р (такой знак U, только перевернут на право) альфа.
Пожалуйста помогите, не сочтите за наглость, но если можно напишите поподробней. Заранее спасибо!
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Vitek Koval!
Определить параметры, входящие в уравнения прямой и плоскости, используя данные об их взаимном расположении.
α: Ах+2у-4z+d=0, Р: (х-3)/4 = (у-1)/(-4) = (z+3)/1, Р ⊂ α.
Из уравнения плоскости α видим, что координаты её нормального вектора такие: n(A;2;-4). Из уравнения прямой находим координаты направляющего вектора: l(4;-4;1). Т.к. Р ⊂ α, то n ⊥ l. Значит, n*l = 0. n*l = A*4 + 2*(-4) + (-4)*1 = 4A – 12 = 0,
A = 3.
Точка A(3;1;-3) лежит на прямой P (это видно из уравнения), значит, A также лежит и в плоскости α. Подставим координаты этой точки в уравнение плоскости:
3*3 + 2*1 – 4*(-3) + d = 0,
23 + d = 0,
d = -23.
Ответ: α: 3х + 2у – 4z - 23 = 0.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 24.10.2007, 23:39
Отвечает: Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Vitek Koval!
Решение Вашей первой задачи:
Этот знак означает принадлежит, или является подмножеством.
Ваша прямая описывается параметрическим уравнением x = 2 + At, y = 3 + Bt, z = 2 + Ct поскольку проходит через точку (2, 3, 2).
Для неё также верно 3х-2у+z-2=0, т.е. z = 2 - 3x + 2y = 2 - 6 - 3At + 6 + 2Bt = 2 - 3At + 2Bt. Т.е. C = 2B - 3A.
Наконец, вектор (A, B, C) перпендикулярен (2, 0, 1), т.е. их скалярное произведение 2A + 0B + C равно 0, т.е. 2A + C = 0.
-2A = C = 2B - 3A
A = 2B
C = 2B - 3A = A - 3A = -2A = -4B
Итого x = 2 + 2Bt, y = 3 + Bt, C = 2 - 4Bt или вводя u = Bt получим x = 2 + 2u, y = 3 + u, C = 2 - 4u.
В каноническом виде u = (x - 2)/2 = (y -3) = (z - 2)/-4
