/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 467
от 09.10.2007, 17:05

Вопрос № 104.179

Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста с рядом: sin(n*x) найти область сходимости

Отправлен: 03.10.2007, 18:37 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! Чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член имел в своем пределе число 0. Если мы возьмём какое-то действительное число x, то, вообще говоря, sin(nx) предела иметь не будет. Поэтому остался случай, когда общий член ряда не стремиться, а равен 0. Это возможно при x = 0, ±2п, ±4п, ... Поэтому областью сходимости будет множество {2п*n}, где n - целое. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 03.10.2007, 20:03 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Djec Здравствуйте, Tribak! Сходимость этого ряда очевидна при x=k*Pi (где k - целое число) --------- Никогда не сдавайся, даже если боишься проиграть

Ответ отправил: Djec (статус: 3-ий класс) Ответ отправлен: 04.10.2007, 16:31 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.183

Эллипс проходит через точку пересечения прямой 3х+2у-7=0 с параболой у^2=4x (взять точку с наименьшей абсциссой). Оси эллипса совпадают с осями координат. Составить уравнение этого эллипса, если его эксцентриситет равен 0.6

Отправлен: 03.10.2007, 19:18 Вопрос задал: Narratorjack (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Narratorjack! Решая совместно данные два уравнения, находим две точки перечения: M(1,2) и N(49/9,-14/3). По условию, нам нужна именно точка M. Раз эллипс проходит через нее, то ее кординаты удавлетворяют уравнению эллипса: 1^2 / a^2 + 2^2 / b^2 = 1, или 1/a^2 + 4/b^2 = 1. (*) Далее, воспользуемся тем, что e^2 = 1 - a^2/b^2. То есть a^2/b^2 = 0.64, откуда a^2 = 0.64b^2. Подставим это выражение в равенство (*): 1/(0.64b^2)+4/b^2=1, откуда b^2 = 89/16, а значит a^2 = 89/25. Так, уравнение эллипса примет вид: 25x^2 + 16y^2 = 89. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 03.10.2007, 19:53 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо! Хороший ответ на оставленный вопрос!

Вопрос № 104.200

Здравствуйте эксперты, помоги пожалуйста с задачкой: найте все определенные на действительной оси, дважды дифференцируемые функции f(x) так, что f'(x)*f''(x)=0;

Отправлен: 03.10.2007, 21:24 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! Из условия получаем, что либо f'(x)=0, тогда f(x)=const, либо f''(x)=0, тогда f(x)=C1*x+C2, где C1,C2=const. Поскольку второй класс более шире и включает в себя целиком первый, то искомыми функциями будет всё множество линейных функций, т.е. f(x)=C1*x+C2. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 03.10.2007, 22:40 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.201

здравствуйте эксперты, помогите с заданием: известно что x+e^x=y+e^y верно ли что sin(x)=sin(y);

Отправлен: 03.10.2007, 21:25 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! Рассмотрим функцию f(x)=x+e^x. Так как f'(x)=1+e^x>0, то функция всюда монотонно возрастающая, а значит одному значению функции соответствует единственное значение аргумента (проще говоря, функция f(x) задает биективное отображение). Поэтому равенство x+e^x=y+e^y возможно лишь при x=y, а значит и sin(x)=sin(y). --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 03.10.2007, 22:00 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.202

доказать что lim из корня n-ой степени, под корнем (n^a) предел равен 1, при n->бесконечности

Отправлен: 03.10.2007, 21:27 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! Пусть A = lim sqrt[n]{n^a}. Так как корень n-ой степени - непрерывная функция, то ln A = lim ln(sqrt[n]{n^a}) = lim 1/n * ln(n^a). Имеем неопределеннсть беск./беск. По правилу Лопиталя: ln A = lim 1/(n^a) * a * n^{a-1} = a*lim 1/n = 0. Значит, исходный предел A = 1. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 03.10.2007, 22:05 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Tribak! lim{n->∞} n√(na) = lim{n->∞} na/n Обозначим lim{n->∞} na/n = Z. ln(Z) = ln(lim{n->∞} na/n) = lim{n->∞} ln(na/n) = ={используем свойство логарифма}= lim{n->∞} a*ln(n)/n = {воспользуемся правилом Лопиталя} = lim{n->∞} (a*ln(n))'/(n)' = = lim{n->∞} (a*1/n)/1 = lim{n->∞} (a/n) = a/∞ = 0. Получили: ln(Z) = 0 => Z = 1 => lim{n->∞} n√(na) = 1. Good Luck!!! --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 03.10.2007, 22:08 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.203

Здравствуйте эксперты, надо установить сходимость или расходимость ряда, (a^(1/n)-a^(1/(1+n))); n изменяется от 1 до бесконечности

Отправлен: 03.10.2007, 21:29 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Tribak! u(n) = a^(1/n) – a^(1/(n+1)) – общий член ряда. Это выражение имеет смысл только при a>=0 (т.к. отрицательные числа нельзя возводить в дробную степень). Запишем частичные суммы ряда: S(1) = u(1) = a – a^(1/2), S(2) = S(1) + u(2) = (a-a^(1/2)) + (a^(1/2)-a^(1/3)) = a - a^(1/3), S(3) = S(1) + u(2) = (a-a^(1/3)) + (a^(1/3)-a^(1/4)) = a – a^(1/4), и т.д. Видим, что S(n) = a – a^(1/(n+1)). Если a=0, то S(n)=0 при любом n. Рассмотрим случай, когда a>0. Вычислим limit{n->беск}S(n) = limit{n->беск}(a – a^(1/(n+1))) = a – a^(1/беск) = a – a^0 = a-1. Ответ: при a=0 сумма ряда равна 0, при a>0 сумма ряда равна (a-1), при a<0 ряд не имеет смысла.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 04.10.2007, 16:14 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.206

Здравствуйте эксперты помогите решить: вычеслить lim ( 1/sqrt(n) *интеграл(от 1 до n) инетгрируется (ln(1+1/sqrt(x)) по dx )

Отправлен: 03.10.2007, 21:31 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! Сначала считаем интеграл под знаком предела. Можно в лоб по частям. Тогда получим, что неопределенный интеграл будет равен sqrt(x) + x*ln(1+1/sqrt(x)) - ln(1+sqrt(x)). Подставляя предел интегрирования 1, получим 1; при подставлении n получаем просто формально замену x на n. Тогда искомый предел будет равен: lim (1 + sqrt(n)*ln(1+1/sqrt(n)) - ln(1+sqrt(n))/sqrt(n) - 1/sqrt(n)). Один предел вычислим по правилу Лопиталя: lim ln(1+sqrt(n))/sqrt(n) = lim ln(1+n)/n = lim 1/(1+n) = 0 Второй - по эквивалентным беск. малых lim sqrt(n)*ln(1+1/sqrt(n)) = lim n*ln(1+1/n) = lim n*(1/n) = 1. Итого, получаем искомый предел A = 1 + 1 - 0 - 0 = 2. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 03.10.2007, 22:26 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Serega1988 Здравствуйте, Tribak! Вы не указали, к чему стремится n, я буду считать. что n стремиться к бесконечности lim [интеграл(от 1 до n)(ln(1+1/sqrt(x)) по dx )/sqrt(n)]= =(бесконечность/бесконечность)[берём производную от числителя и знаменателя по правилу Лопиталя и обозначаем 1/sqrt(n)=t, t стремится к 0]=lim[ln(1+t)/(t/2)]= =(бесконечность/бесконечность)[берём производную от числителя и знаменателя]= =lim[2/(1+t)]={t стремится к 0}=2. --------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время

Ответ отправил: Serega1988 (статус: 7-ой класс) Ответ отправлен: 04.10.2007, 00:37 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.207

здравстуйте эксперты, помогите пожалуйста: сумма ряда (n от 0 до бессконечности) сам ряд((2^n)/n!) это ряд умножается на на такой же ряд только не 2 в степени, а 5, остальное также, тоесть знак суммы, сам ряд, умножение, знак суммы и 2ой ряд

Отправлен: 03.10.2007, 21:34 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! Известно, что . Тогда понятно, что первый множитель есть e^2, а второй - e^5. Поэтому весь ряд равен e^7. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 03.10.2007, 22:48 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.208

Здравствуйте эксперты, помоги пожалуйста: найти сумму ряда: sqrt(сумма (n от 0 до бессконечности) 1/n!)

Отправлен: 03.10.2007, 21:35 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! По сути тут и искать-то нечего... Сумма ряда есть число е. Ну а если чисто формально, то можно так. Воспользуемся разложением функции e^x в ряд Тейлора: e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ... Заметим, что если положить x=1, то получим требуемый ряд. Поэтому сумма равна e. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 03.10.2007, 22:09 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.209

Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста: убедиться что ряд, x^2 + (x^2)/(1+x^2)+(x^2)/(1+x^2)^2....+(x^2)/(1+x^2)^n-1 сходиться на всей числовой оси. Покажите что этот ряд сходиться не равномерно на любом отрезке, содержащем начало координат, и равномерно на любом другом отрезке

Отправлен: 03.10.2007, 21:39 Вопрос задал: Tribak (статус: 3-ий класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Tribak! 1. Сначала докажем сходимость ряда. fn(x) = x^2/((x^2+1)^(n-1)) = (x^2+1-1)/((x^2+1)^(n-1)) = 1/((x^2+1)^(n-2)) - 1/((x^2+1)^(n-1)). f1(x) = x^2, f2(x) = 1 – 1/(x^2+1), f3(x) = 1/(x^2+1) – 1/((x^2+1)^2), f4(x) = 1/((x^2+1)^2) – 1/((x^2+1)^3), ... fn(x) = 1/((x^2+1)^(n-2)) – 1/((x^2+1)^(n-1)). Значит, Sn(x) = x^2+1 – 1/((x^2+1)^(n-1)), limit{n->беск}Sn(x) = x^2+1. Сумма ряда равна x^2+1. 2. Теперь докажем равномерную сходимость ряда на любом отрезке [a;b], где 0 Известно, что числовой ряд с общим членом an = 1/(1+э)^n сходится при любом э>0 (это доказывается, например, с помощью признака Даламбера). (э - это эпсилон). Значит, и ряд bn = 1/((1+э)^(n-2)) = (1+э)^2 * an тоже сходится. Если в качестве э возьмём a^2, то 0 a^2<=x^2<=b^2 => 1+a^2<=x^2+1 => 1/(x^2+1)<=1/(1+a^2). Тогда для n>2 |fn(x)| = |1/((x^2+1)^(n-2)) – 1/((x^2+1)^(n-1))| <= |1/((x^2+1)^(n-2))| <= 1/((1+a^2)^(n-2)) = bn. Т.е. доказали, что для любого x из отрезка [a;b] и любого n>2 выполняется неравенство |fn(x)| <= bn. Отсюда следует равномерная сходимость ряда на отрезке [a;b] при b>a>0. 3. Равномерная сходимость на отрезке [a;b] при a a<=x<=b<0 => 0<(-b)<=(-x)<=(-a) => b^2<=x^2<=a^2 => 1+b^2<=x^2+1 => 1/(x^2+1)<=1/(1+b^2). Дальше аналогично п.2.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 04.10.2007, 22:07 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 104.301

огромное спасибо что решили половину но все таки мне все нужны( пожалуста дорешайте Задача 3 Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых? Задача 4 В классе Пети и Васи 31 человек. Сколькими способами можно выделить футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Вася не входили в команду одновременно? Задача 5 Монету подбрасывают 10 раз подряд. Какова вероятность того, что выпадет 5 орлов? Задача 6 Сколькими способами можно переставить буквы в слове "эпиграф" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке? Задача 7 Из колоды выбирают 10 карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз? Задача 14 Колоду из 36 карт делят пополам. Какова вероятность того, что в каждой пачке будет по два туза? Задача 15 Как известно, для участия в лотерее "Спортлото" нужно указать 6 номеров из имеющихся на карточке 45. Ваня заполнил одну карточку. Какова вероятность того, что он угадает: а) все 6 номеров б) ровно 3 номера? Задача 17 Докажите, что из n предметов четное число предметов можно выбрать 2^n-1 (2 в степени n-1) способами Задача 18 Докажите, что Cn^0-Cn^1+Cn^2-...+(-1)^n x Cn^n=0 Задача 20 Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 попарно различных бусин на восемь частей (резвь можно только между бусинами)? Задача 21 60 игральных кубиков бросают одновременно. Какова вероятностьтого, что 1,2,3,4,5,6 выпадут подесять раз? Задача 22 В почтовом отделении продаються открытки 10 видов. Сколькими способами можно купитьв нем: а) 12 открыток б) 8 открыток в) 8 различных открыток? Задача 23 В кошельке лежит по 20 монет достоинством 10,15 и 20 копеек. Сколькими способами можно из этих 60 монет выбрать 20? Задача 24 Сколькими способами можно расположить в 9 лузах 7 белых и 3 черных шара? Часть луз может быть пустой, а лузы считаються различными Задача 25 Поезду, в котором находятся m пассижиров, предстоит сделать n остановок. а) Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках? б) Решите ту же задачу, если учитываеться лишь кол-во пассажиров, вышедших н каждой остановке

Отправлен: 04.10.2007, 16:29 Вопрос задал: Dzirtdourden (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 5)

Отвечает: Piit Здравствуйте, Dzirtdourden! Задача 5 Монету подбрасывают 10 раз подряд. Какова вероятность того, что выпадет 5 орлов? Решение. Вероятность выпадения орла p=1/2, q=1-p=1/2. По формуле Бернулли P_10(5)=C_10^5*p^5*q^(10-5)=10!/{5!*5!}*0.5^5*0.5^5~~0,24609375. C_10^5 - число сочетаний из 10 по 5 (_10 - нижний индекс, ^5 - верхний индекс) --------- От алгоритмов к суждениям + самообучение

Ответ отправил: Piit (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 04.10.2007, 17:22 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: большое спасибо. А продолжение будет? только если можно по понятнее - р^5 это р в степени 5?

Отвечает: Копылов Александр Иванович Здравствуйте, Dzirtdourden! Ответы на данные задачи уже опубликованы ранее - см. архив. Ответ на задачу 14. Метод решения - гипергеометрическое распределение: С(4,2)*C(32,16)/C(36,18) = 4!32!18!18!/2!2!16!16!36!=153/385

Ответ отправил: Копылов Александр Иванович (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 05.10.2007, 09:29

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.60.10 от 27.09.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru