Вопрос № 104614: составить уравнение линии,каждая точка которой равноудалена от фокуса пораболы y^2+4x=0 и от прямой y-3=0...Вопрос № 104653: Привет господа эксперты!
помогите пожалуйста, решить задачи по теории верояности.
Сборник задач по теории вероятностей Зубков/Севастьянов/Чистяков
№1,62
Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной 1. найти...Вопрос № 104711: Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста иследовать ряд на сходимость:
1/( (n-2) * ln(n-3) )...
Вопрос № 104.614
составить уравнение линии,каждая точка которой равноудалена от фокуса пораболы y^2+4x=0 и от прямой y-3=0
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, каныгин дмитрий михайлович!
Искомая кривая — это парабола. Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до заданной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через данную точку.
Фокусом параболы y2=-4x является точка F(-1;0). Директрисой по условию является прямая y=3. Середина отрезка, проходящего через фокус перпендикулярно директрисе, имеет координаты (-1;1.5) — это вершина параболы. Фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы) равен трём: p=3. Ветви параболы направлены вниз (т.к. Фокус лежит ниже директрисы). Значит, уравнение искомой параболы имеет вид
(x+1)2 + 1.5 = -6y,
или
12y + 2(x+1)2 + 3 = 0.
Ответ: 12y + 2(x+1)2 + 3 = 0.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент)
Ответ отправлен: 08.10.2007, 16:32 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 104.653
Привет господа эксперты!
помогите пожалуйста, решить задачи по теории верояности.
Сборник задач по теории вероятностей Зубков/Севастьянов/Чистяков
№1,62
Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной 1. найти вероятности следующих событий
а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит х;
б) рассстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превосзодит х;
в)расстояние от точки А до центра квдрата не превосходит х;
г) расстояние от точки А до фиксированной вершины квадрата не превосходит х;
1,63
Случайная точка А имеет равномерное распредение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. найти вероятности след событий
а) расст от А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит х
б) расстояние от А до любой стороны прямоугольника не превосходит х
в) расстояние от А до диагоналей прямоугольника не превосходит х
1,64
случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной а. найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны квадрата ментше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали квадрата.
Спасибо всем БОЛЬШОЕ!!!!!
С УВАЖЕНИЕМ , ГУЛЯ.
Отправлен: 08.10.2007, 09:35
Вопрос задала: Гульназ (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Гульназ!
№1.62.
а) Чертёж: http://webfile.ru/1550681. Пусть KL — та самая, зафиксированная, сторона квадрата. Очевидно, что при x >= 1 искомая вероятность равна единице, а при x <= 0 — нулю.
Исследуем случай, когда 0 < x < 1. Тогда точке A нужно попасть в закрашенную область, чтобы расстояние от A до KL не превышало x. Площадь этой области равна KL*LQ=x. Искомая вероятность равна отношению площади закрашенной области к площади всего квадрата: p=x/1=x.
Ответ: p=0 при x <= 0, p=x при 0 < x < 1, p=1 при x >= 1.
б) Чертёж: http://webfile.ru/1550690. На рисунке закрашена та часть квадрата, попадание в которую гарантирует, что рассстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превзойдёт х. Очевидно, что при x >= 1/2 искомая вероятность равна единице, при x <= 0 — нулю.
При 0 < x < 1/2 вероятность равна отношению площади закрашенной области к площади всего квадрата. Площадь закрашенной области равна 4x(1-x) (думаю, это несложно вычислить). Значит, p=4x(1-x).
Ответ: p=0 при x <= 0, p=4x(1-x) при 0 < x < 1/2, p=1 при x >= 1/2.
в) Чертёж: http://webfile.ru/1550726. Закрашенный круг — это множество точек, расстояние от которых до центра квадрата не превосходит x. При x <= 0 вероятность равна нулю, при x >= sqrt(2)/2 — единице (sqrt(2)/2 — это половина длины диагонали квадрата). При 0 < x <= 1/2 круг целиком лежит в квадрате, значит, вероятность равна площади круга, делённой на площадь квадрата: p=πx2.
При 1/2 < x < sqrt(2)/2 только часть круга принадлежит квадрату. Чертёж: http://webfile.ru/1550765. Найдём площадь закрашенной фигуры (часть круга, лежащая внутри квадрата, состоит из четырёх таких фигур). Треугольник POR прямоугольный, PO=1/2, OR=x => PR=sqrt(x2-0.25) (по теореме Пифагора) => площадь POR равна 1/2*PO*PR = sqrt(x2-0.25)/4; угол POR равен arccos(PO/RO) = arccos(1/(2x)) => угол ROS равен π/2 – 2*arccos(1/(2x)) => площадь сектора POR равна (π/2 – 2*arccos(1/(2x)))*x2/2.
Значит, площадь закрашенной фигуры равна sqrt(x2-0.25)/4 + (π/4 – arccos(1/(2x)))*x2.
Ответ: p=0 при x <= 0,
p=πx2 при 0 < x <= 1/2,
p=sqrt(x2-0.25) + (π – 4*arccos(1/(2x)))*x2 при 1/2 < x < sqrt(2)/2,
p=1 при x >= sqrt(2)/2.
г) Чертёж: http://webfile.ru/1550832.
Пусть L — зафиксированная вершина.
При x <= 0 вероятность равна нулю.
При 0 < x <= 1 закрашенная фигура — это четверть круга радиуса x. Его площадь равна πx2/4.
При x >= sqrt(2) (sqrt(2) — длина диагонали квадрата) расстояние от любой точки квадрата до вершины L будет не меньше x. Значит, в этом случае p=1.
Рассмотрим случай 1 < x < sqrt(2). Чертёж: http://webfile.ru/1550834. Аналогично случаю из предыдущего пункта. Площадь закрашенной фигуры получается равна sqrt(x2-1)+(π/4-arccos(1/x))x2.
Ответ: p=0 при x <= 0,
p=πx2/4 при 0 < x <= 1,
p=sqrt(x2-1)+(π/4-arccos(1/x))x2 при 1 < x < sqrt(2),
p=1 при x >= sqrt(2).
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент)
Ответ отправлен: 08.10.2007, 20:19 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: спасибо большое решение очень понятное и содержательное! Всё просто супер)
Вопрос № 104.711
Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста иследовать ряд на сходимость:
1/( (n-2) * ln(n-3) )
Отправлен: 08.10.2007, 16:58
Вопрос задал: Tribak (статус: 4-ый класс)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Piit
Здравствуйте, Tribak!
1/( (n-2) * ln(n-3) )
n-2>n-3, 1/{n-2}<1/{n-3}=>1/ln(n-2)<1/ln(n-3), 1/[(n-2)ln(n-2)]<1/[(n-2)ln(n-3)]
1/( (n-2) * ln(n-3) )>1/[(n-2)ln(n-2)]
int_3^{+oo}(1/[(n-2)ln(n-2)])=lim_{b->+oo}(lnln(n-2)|_3^b)=+oo.
Ряд 1/[(n-2)ln(n-2)] с меньшими членами расходится, значит расходится ряд 1/( (n-2) * ln(n-3) ) с большими членами
По интегральному признаку Коши расходится
Ответ: расходится
**
+oo - это +бесконечность, lim_a^b - предел от a до b (аналогично для интеграла int_a^b)
--------- От алгоритмов к суждениям + самообучение
Ответ отправил: Piit (статус: 10-ый класс)
Ответ отправлен: 08.10.2007, 18:21 Оценка за ответ: 5
Отвечает: kopfschwarz
Здравствуйте, Tribak!
Данный ряд эквивалентен ряду 1/[n*ln(n)], который расходится (т.к. несобственный интеграл 1/[n*ln(n)] расходится). Поэтому и исходный расходится.
--------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!
Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент)
Ответ отправлен: 08.10.2007, 18:31
