/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 465
от 07.10.2007, 16:05

Вопрос № 103.923

Добрый день уважаемые эксперты, помогите пожалуйста. Дифференциальные уравнения: y'+'y=cos*x, y(0)=1/2 (линейное) ((2*x*y^2+3*y^3)/y^2)dx+((7-3*x*y^2)/y^2)dy=0(в полных дифференциалх). Каков их ответ?

Отправлен: 01.10.2007, 15:53 Вопрос задал: Тихомиров Михаил Михайлович (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Тихомиров Михаил Михайлович! Решение первого уравнения. 1) Найдём общее решение однородного д.у. y'+y=0. Составляем характеристическое уравнение k+1=0 => k=-1. Общее решение о.д.у. имеет вид yo=C1*e^(-x). Теперь найдём частное решение неоднородного д.у. y'+y=cos(x). Будем искать его в виде yч=C2*cos(x)+C3*sin(x). yч' = -C2*sin(x)+C3*cos(x), yч' + yч = (C2+C3)*cos(x) + (C3-C2)*sin(x) = cos(x). Решим систему двух уравнений C2 + C3 = 1, C3 – C2 = 0. Получаем: C2=C3=1/2. yч = 1/2*cos(x) + 1/2*sin(x). Значит, общее решение неоднородного д.у. имеет вид y = 1/2*cos(x) + 1/2*sin(x) + C1*e^(-x). Подставим x=0 и получим: 1/2*cos(0) + 1/2*sin(0) + C1*e^0 = 1/2, 1/2 + C1 = 1/2, C1 = 0. Ответ: y = 1/2*cos(x) + 1/2*sin(x).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 01.10.2007, 16:20 Оценка за ответ: 3

Вопрос № 103.924

Дорогие эксперты! Помогите со следующей задачей по стереометрии(применение аксиом стереометрии и их следствий) : Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Точки А и В лежат в плоскостях α и β соответственно. Докажите, что отрезок АВ пересекаются с прямой l тогда и только тогда, когда один из его концов лежит на прямой l.

Отправлен: 01.10.2007, 15:55 Вопрос задала: Lifestyle (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Lifestyle! 1. Докажем необходимость: если отрезок AB пересекает прямую l, то одна из точек A или B лежит на прямой l. Методом от противного. Допустим, точки A и B не лежат на прямой l, а отрезок AB пересекает эту прямую, скажем, в точке K. Покажем, что в этом случае точки A и B - различные. Если A=B, то через точку A=B и прямую l проходят две плоскости - alpha и beta, а это противоречит аксиоме (через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость). Значит, A и B - различные точки. Т.к. отрезок - это часть прямой и через две различные точки проходит единственная прямая, то прямые AB, AK и KB совпадают. Прямая AK принадлежит плоскости alpha, т.к. точки A и K лежат в этой плоскости. Прямая BK принадлежит плоскости beta, т.к. точки B и K лежат в этой плоскости. Получили, что плоскости alpha и beta имеют две общие прямые - l и AB. А это возможно только в том случае, если alpha=beta (а по условию это не так) или l=AB. Значит, l=AB, т.е. точки A и B лежат на прямой l. Получили противоречие. Значит, предположение неверно и одна из точек A или B лежит на прямой l. 2. Достаточность. Если одна из точек A или B принадлежит прямой l, то, очевидно, отрезок AB и прямая l пересекаются.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 01.10.2007, 16:49 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо за подробное объяснение задачи!!!

Отвечает: Geserych Здравствуйте, Lifestyle! предположим, что АВ пересекает l и А и В не лежат, тогда по аксиоме(2 пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости) А лежит в плоскости определенной В и l, а значит в плоскости бетта. А принадлежит бетта и альфа одновременно, а значит принадлежит l, что противоречит условию и означает, что при пересечении АВ и l одна из точек должна лежать на прямой пересечения плоскостей.

Ответ отправил: Geserych (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 01.10.2007, 17:02 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: Большое спасибо за помощь)

Вопрос № 103.930

Здравствуйте. Прошу к ответам прилать решения (чем подробней тем лучше). Очень-очень нужно. Спасибо Задача 3 Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых? Задача 4 В классе Пети и Васи 31 человек. Сколькими способами можно выделить футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Вася не входили в команду одновременно? Задача 5 Монету подбрасывают 10 раз подряд. Какова вероятность того, что выпадет 5 орлов? Задача 6 Сколькими способами можно переставить буквы в слове "эпиграф" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке? Задача 7 Из колоды выбирают 10 карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз? Задача 10 Дано: 15 человек а) Сколькими способами можно разбить команду из 15 человек на три команды по 5 человек в каждой? б) Сколькими способами можно выбрать две команды по 5 человек в каждой? Задача 13 Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает к себе в гости троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась. Сколькими способами он может это сделать? Задача 14 Колоду из 36 карт делят пополам. Какова вероятность того, что в каждой пачке будет по два туза? Задача 15 Как известно, для участия в лотерее "Спортлото" нужно указать 6 номеров из имеющихся на карточке 45. Ваня заполнил одну карточку. Какова вероятность того, что он угадает: а) все 6 номеров б) ровно 3 номера? Задача 17 Докажите, что из n предметов четное число предметов можно выбрать 2^n-1 (2 в степени n-1) способами Задача 18 Докажите, что Cn^0-Cn^1+Cn^2-...+(-1)^n x Cn^n=0 Задача 20 Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 попарно различных бусин на восемь частей (резвь можно только между бусинами)? Задача 21 60 игральных кубиков бросают одновременно. Какова вероятностьтого, что 1,2,3,4,5,6 выпадут подесять раз? Задача 22 В почтовом отделении продаються открытки 10 видов. Сколькими способами можно купитьв нем: а) 12 открыток б) 8 открыток в) 8 различных открыток? Задача 23 В кошельке лежит по 20 монет достоинством 10,15 и 20 копеек. Сколькими способами можно из этих 60 монет выбрать 20? Задача 25 Поезду, в котором находятся m пассижиров, предстоит сделать n остановок. а) Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках? б) Решите ту же задачу, если учитываеться лишь кол-во пассажиров, вышедших н каждой остановке

Отправлен: 01.10.2007, 16:49 Вопрос задал: Dzirtdourden (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Dzirtdourden! 10(а). Первую команду можно выбрать C(5,15)=15!/(5!*10!)=21*11*13 способами. Вторую команду (из оставшихся 10 человек) – C(5,10)=10!/(5!*5!)=252 способами. Ну а третью – C(5,5)=1 способом. Так как порядок набора команд не важен (все три команды равнозначны), то всего получаем C(5,15)*C(5,10)*C(5,5)/3!=126126 способов. Ответ: 126126 способов. 10(б). C(5,15)*C(5,10)/2! = 378378. Ответ: 378378 способов. 13. Всего имеется C(3,6)=6!/(3!*3!)=20 способов выбрать компанию из 3 человек среди 6. В первый день можно пригласить в гости любую из этих 20 компаний. Во второй день – любую из 19 (т.к. Одна компания уже была в гостях), в третий день – одну из 18 и т.д. Всего получаем 20*19*18*17*16 = 1860480 способов. Ответ: 1860480. 25(а). Каждый пассажир имеет выбор из n остановок, где он может выйти из поезда. Так как пассажиров m, то всего способов n^m.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 01.10.2007, 17:57 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: Спасибо но мало(((

Отвечает: Piit Здравствуйте, Dzirtdourden! Задача 3 Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых? Одного офицера из трех можно выбрать тремя способами, двух сержантов из 6 можно выбрать C_6^2=6!/{2!*(6-2)!)=15 способами, 20 рядовых из 60 - C_60^20 способами. Всего надо выбрать 1+2+20=23 человека из 3+6+60=69. Это можно сделать n=C_69^23 способами. По определению искомая вероятность равна C=m/n={3*15*C_60^20}/{C_69^23}=0,157 --------- От алгоритмов к суждениям + самообучение

Ответ отправил: Piit (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 02.10.2007, 04:31

Отвечает: Копылов Александр Иванович Здравствуйте, Dzirtdourden! На многие задачи есть ответы - см. в архиве выпусков. Ответ на Задачу 5. Класс. схема Бернулли. p=0,5. P = C(10,5) * p**5 * (1-p)**5 = 252/2**10= 252/1024 = 63/256

Ответ отправил: Копылов Александр Иванович (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 02.10.2007, 12:05

Вопрос № 103.938

((2*x*y^2+3*y^3)/y^2)dx+((7-3*x*y^2)/y^2)dy=0(в полных дифференциалх).

Отправлен: 01.10.2007, 18:21 Вопрос задал: Тихомиров Михаил Михайлович (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 6)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Тихомиров Михаил Михайлович! ((2*x*y^2+3*y^3)/y^2)dx+((7-3*x*y^2)/y^2)dy=0 (2x+3y)dx = (3x-7/y^2)dy. Так как уравнение в полных дифференциалах, то проинтегрируем обе части: integral(2x+3y)dx = integral(3x-7/y^2)dy x^2+3xy+C = 3xy+7/y 7/y = x^2+C y = 7/(x^2+C). Ответ: y = 7/(x^2+C).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 01.10.2007, 18:39 Оценка за ответ: 5

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Тихомиров Михаил Михайлович! Имеем M(x,y)=(2*x*y^2+3*y^3)/y^2 = 2x+3y, N(x,y)=(7+3*x*y^2)/y^2 = 7/y^2+3x. Далее, dM/dy = 3 = dN/dx. Значит, это уравнение в полных дифференциалах. U(x,y)=int(2x+3y)dx + fi(y) = x^2+3xy+fi(y) dU/dy = 3x+fi'(y) = N(x,y) = 7/y^2+3x, --> fi'(y)=7/y^2, --> fi(y)=-7/y+C1. Таким образом, U(x,y) = x^2 + 3xy - 7/y + C1, или x^2 + 3xy - 7/y = C (это и есть общее решение). --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 01.10.2007, 18:55 Оценка за ответ: 4

Вопрос № 103.953

У меня было задание найти площадь фигуры ограниченной тремя графиками f(x)=-4x+8 g(x=-(x-4)ќ+4 h(x)=1/4(x-4)ќ+4 Приложение: www.adzentrum.de/bilder/funk.bmp

Отправлен: 01.10.2007, 20:43 Вопрос задал: Равинский, Леонид, Яковлевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Равинский, Леонид, Яковлевич ! В вашем случае воспользуемся геометрическим смыслом опр. интеграла. Именно, искомая S = int_0^4 h(x) dx - ( int_0^2 f(x) dx + int_2^4 g(x) dx) = ... int_0^4 h(x) dx = 1/4 * int_0^4 (x^2-8x+32)dx = 1/4 * (x^3/3-4x^2+20x)_0^4 = 64/3 int_0^2 f(x) dx = int_0^2 (-4x+8)dx = (-2x^2+8x)_0^2 = 8 int_2^4 g(x) dx = - int_2^4 (x^2-8x+12)dx = (x^3/3-4x^2+12x)_2^4 = 16/3 ... = 64/3 - 8 - 16/3 = 48/3 - 8 = 8. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 01.10.2007, 21:00

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Равинский, Леонид, Яковлевич ! f(x)=-4x+8, g(x)=-(x-4)^2+4, h(x)=(x-4)^2/4+4. Найдём точки пересечения графиков: 1. f(x)=h(x) -4x+8 = 1/4*(x-4)^2+4 -16x+32 = (x^2-8x+16)+16 x^2+8x = 0 x1=0, x2=-8. По рисунку видим, что x=0. 2. f(x)=g(x) -4x+8 = -(x-4)^2+4 x^2-12x+20 = 0 x1=2, x2=10. По рисунку видно, что x=2. 3. g(x)=h(x) -(x-4)^2+4 = 1/4*(x-4)^2+4 -(x-4)^2 = 1/4*(x-4)^2 (x-4)^2 = 0 x=4. Фигура на рисунке состоит из двух частей: первая часть ограничена прямыми x=0 и x=2, вторая – прямыми x=2 и x=4. Значит, S=S1+S2 (S1 – площадь первой части, S2 – площадь второй части). S1 = integral{от 0 до 2}(h(x)-f(x))dx = integral{от 0 до 2}(x^2/4+2x)dx = (x^3/12+x^2)|{от 0 до 2} = 14/3. S2 = integral{от 2 до 4}(h(x)-g(x))dx = integral{от 2 до 4}(5/4*x^2-10x+20)dx = (5/12*x^3-5x^2+20x)|{от 2 до 4} = 10/3. S = 14/3 + 10/3 = 8. Ответ: S = 8.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 01.10.2007, 21:13

Вопрос № 104.011

Помогите пожалуйста высчитать пределы. (x+3)^1/2 - 3 lim(x->6)---------------- =? x-6 2x^2+x+1 lim(x->-1)------------------ =? x-1

Отправлен: 02.10.2007, 09:56 Вопрос задал: Niko (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Piit Здравствуйте, Niko! (x+3)^1/2 - 3 lim(x->6)---------------- =? x-6 lim_{x->6} { (x+3)^1/2 - 3}/{x-6}=|x-6=t->0, x=6+t|= =lim_{t->0} { (6+t+3)^1/2 - 3}/t=lim_{t->0} { (9+t)^1/2 - 3}/t= =lim_{t->0} { 3((1+t/9)^1/2 - 1)}/t=|(1+t/9)^1/2 - 1~1/2*t/9=t/18|= =lim_{t->0} { 3*t/18}/t=1/6 ********************************************* 2x^2+x+1 lim(x->-1)------------------ =? x-1 lim_{x->-1} {2x^2+x+1}/{x-1}=lim_{x->-1} {2(-1)^2-1+1}/{-1-1}=2/{-2}=-1 --------- От алгоритмов к суждениям + самообучение

Ответ отправил: Piit (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 02.10.2007, 14:50

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Niko! Первый предел можно вычислить таким способом (без замены переменной): (sqrt – это квадратный корень) limit{x->6}((sqrt(x+3)-3)/(x-6)) = limit{x->6}(((sqrt(x+3)-3)*(sqrt(x+3)+3))/((x-6)*(sqrt(x+3)+3))) = limit{x->6}((x-6)/((x-6)*(sqrt(x+3)+3))) = limit{x->6}(1/(sqrt(x+3)+3)) = 1/(sqrt(9)+3) = 1/6.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 02.10.2007, 19:29

Вопрос № 104.015

Пожалуйста, помогите найти общее решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах: (3x^2+y)dx+(2x-3)dy=0

Отправлен: 02.10.2007, 10:27 Вопрос задала: Petrova Olga Anatoljevna (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: Piit Здравствуйте, Petrova Olga Anatoljevna! (3x^2+y)dx+(2x-3)dy=0/:dx=>(3x^2+y)+(2x-3)y'=0, y'={3x^2+y}/{3-2x}, y'={3x^2}/{3-2x}+y/{3-2x}, y'-y/{3-2x}={3x^2}/{3-2x} - линейное. y=uv, y'=u'v+uv' u'v+uv'-{uv}/{3-2x}={3x^2}/{3-2x}. uv'-{uv}/{3-2x}=0=>v'-{v}/{3-2x}=0, dv/v=dx/{3-2x}, lnv=-(1/2)ln(3-2x), lnv=ln[(3-2x)^{-(1/2)}], v=(3-2x)^{-1/2}, u'*(3-2x)^{-1/2}={3x^2}/{3-2x}. u'=(3-2x)^{1/2}*{3x^2}/{3-2x}= =(3-2x)^{-1/2}*{3x^2}. u=∫[(3·x^2/(3 - 2·x)^(1/2)]dx= =- 3·√(3 - 2·x)·(x^2 + 2·x + 6)/5+C y=uv=(- 3·√(3 - 2·x)·(x^2 + 2·x + 6)/5+C)*(3-2x)^{-1/2} --------- От алгоритмов к суждениям + самообучение

Ответ отправил: Piit (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 02.10.2007, 14:42 Оценка за ответ: 5

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Petrova Olga Anatoljevna! Учитывая изменения (см. мини-форум), имеем M(x,y)=3x^2+2y, N(x,y)=2x-3. Тогда dM/dy = 2 = dN/dx. Значит, это уравнение в полных дифференциалах. U(x,y) = int (2x-3)dy + fi(x) = 2xy-3y + fi(x). С другой стороны, dU/dx = 2y + fi'(x) = 3x^2+2y, --> f'(x) = 3x^2, или f(x) = x^3 + C1. Тогда U(x,y) = (2x-3)y + x^3 + C1, а общее решение можно записать в виде: (2x-3)y + x^3 = C, или y(x) = (C-x^3)/(2x-3). --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 02.10.2007, 20:54

Вопрос № 104.056

Помогите мне в решении следующих задач! 1.Высота цилиндра 2, радиус основания 7. В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат так, чтор все его вершины на окружностях оснований. Вычислите сторону квадрата. 3. В правильной четырёхугольной пирамиде TABCD с высотой, равной 5, и стороной основания, равной 4, проведена плоскость, проходящая через медиану СМ боковой грани TCD и параллельная апофеме ТК боковой грани ТАВ. На каком расстоянии от этой плоскости проходит центр основания пирамиды?

Отправлен: 02.10.2007, 15:56 Вопрос задал: Timon (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yermocenko Sergey Здравствуйте, Timon! С первой задачей все просто. Пусть a - это сторона квадрата. Рассмотрим треугольник ABC, где точка A - вершина квадрата, лежащего на нижней окружности, B - смежная с A вершинаквадрата, лежащая на верхней окружности, а C - точка, образованная пересечением высоты цилиндра, проведенной из точки B, и нижней окружностью. Так как цилиндр прямой, то BC - есть его высота (BC=2), а AB - сторона квадрата a. Треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AB, откуда AC^2 = a^2 - 2^2, или AC^2 = a^2 - 4. В свою очередь AC - это некоторая хорда нижней окружности. В нижней окружности проведена также вторая хорда (сторона квадрата, лежащая в нижней плоскости). Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что последняя хорда перпендикулярна хорде AC, откуда, в свою очередь, следует, что эти хорды образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диаметру нижней окружности. Из этого треугольника AC^2 + a^2 = 14^2, или 2*a^2 = 196 + 4 a^2 = 100 a = 10. По поводу второй задачи, решение записывать без чертежа просто нереально. Ответ там 10/19, если интересует решение, пишите по почте... --------- Бороться и искать...

Ответ отправил: Yermocenko Sergey (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 02.10.2007, 16:45

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Timon! 3) Введем ПДСК так, как показано на рисунке. Тогда основание высоты O(0,0,0); A(-2,2,0); B(2,2,0); C(2,-2,0); D(-2,-2,0); T(0,0,5). а) Проведем в треугольнике TDK прямую MQ, параллельную TK. Тогда треугольник CMQ лежит в требуемой плоскости (CM, понятно, лежит в этой плоскости, а прямая TK параллельная прямой MQ, лежащей в пл-ти CMQ, а значит параллельна этой плоскости). б) Так как TK - апофема, то она и медиана (т.к. боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники). Поэтому K(0,2,0). в) Так MQ - средняя линия треугольника TDK (по построению), то Q - середина DK. А значит Q(-1,0,0). г) M - середина TD по условию, а значит M(-1,-1,2.5). Ну и всё. Получили три точки, составляющую плоскость, и точку, от которой нужно считать расстояние. CMQ: C(2,-2,0); M(-1,-1,2.5); Q(-1,0,0). CMQ: | x-2 y+2 z // 3 -1 -2.5 // 3 -2 0 | = 0 CMQ: 10x + 15y + 6z + 10 = 0 Тогда r(O,CMQ) = 10 / sqrt(10^2+15^2+6^2) = 10/19. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 02.10.2007, 20:42

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.60.10 от 27.09.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru