/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 480
от 22.10.2007, 23:35

Вопрос № 105.723

Здравствуйте, уважаемые эксперты, подскажите решение задания Найти сумму ряда Сумма от n=1 до бесконечности (-1)^(n-1)*(1/n+1/(1+n))*x^n

Отправлен: 16.10.2007, 23:24 Вопрос задала: Куренкова Анна (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Зелик Колабухин Здравствуйте, Куренкова Анюта! Подсказываю: Пусть A =сумма (-1)^(n-1)*(1/n)*x^n, тогда наша сумма представляется в виде A-A/x+1 (если немного не такая формула, то копать в это направлении (нет времени проверять)). Остается найти A, что делается просто. Производная по x от A равна бесконечной сумме ряда геометрической прогрессии. Соответственно, от получившейся формулы берем интеграл и получаем значение A. После интегрирования появится константа, но её легко найти взяв x=0. В этом случае A=0.

Ответ отправил: Зелик Колабухин (статус: 3-ий класс) Ответ отправлен: 17.10.2007, 13:08

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Куренкова Анна! При -1 < x < 1 ряд сходится, причём абсолютно (это можно проверить с помощью признака Даламбера), поэтому можем преобразовывать данный ряд (здесь во всех суммах верхний предел равен бесконечности): un(x) = (-1)n-1*xn*(1/n+1/(n+1)) = (-1)n-1xn/n – 1/x * (-1)nxn+1/(n+1), S(x) = ∑n=1un(x) = ∑n=1(-1)n-1xn/n – 1/x*∑n=1(-1)nxn+1/(n+1) = ∑n=1(-1)n-1xn/n – 1/x*∑n=2(-1)n-1xn/n = ∑n=1(-1)n-1xn/n – 1/x * (∑n=1(-1)n-1xn/n - x) = ln(x+1) – 1/x*(ln(x+1) – x) = (x-1)/x * ln(x+1) + 1 (при x ≠ 0). Здесь мы воспользовались разложением функции y = ln(1+x) в ряд ∑n=1(-1)n-1xn/n при x ∈ (-1;1]. Найдём сумму ряда при x = 0. x = 0 ⇒ un(0) = 0 ⇒ S = 0. Ответ: S(0) = 0; S(x) = (x-1)/x * ln(x+1) + 1 при x ∈ (-1;0)∪(0;1]; ряд расходится при x ∈ (-∞;-1]∪(1;+∞).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 17.10.2007, 14:58

Вопрос № 105.725

Здравствуйте, эксперты, объясните, пожалуйста, как разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x 1/(16-3x)^(1/4)

Отправлен: 16.10.2007, 23:28 Вопрос задала: Куренкова Анна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Зелик Колабухин Здравствуйте, Куренкова Анюта! Объясняю: 1/(16-3x)^(1/4)=[16^(-1/4)]*(1-3/16x)^(-1/4) Используем известное разложение (1+t)^a=...см. справочник... У нас t = -3/16x, a = -1/4. Ну а делее подставляем чего надо куда надо и получаем чего надо.

Ответ отправил: Зелик Колабухин (статус: 3-ий класс) Ответ отправлен: 17.10.2007, 12:29

Вопрос № 105.726

Здравствуте, помогите, пожалуйста, вычислить с точностью до 0.001 Интеграл от 0 до 0.2 (1-e^(-x))/x по dx

Отправлен: 16.10.2007, 23:30 Вопрос задала: Куренкова Анна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Куренкова Анна! Воспользуемся разложением e^x = 1 + (x)/1! + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ... Тогда e^(-x) = 1 - (x)/1! + (x^2)/2! - (x^3)/3! + (x^4)/4! - ... и 1 - e^(-x) = (x)/1! - (x^2)/2! + (x^3)/3! - (x^4)/4! + ... Окончательно, (1 - e^(-x)) / x = 1 - (x)/2! + (x^2)/3! - (x^3)/4! + ... + (-x)^n / (n+1)! + ... Интегрируем этот ряд: I(x) = x - (x^2)/(2*2!) + (x^3)/(3*3!) - (x^4)/(4*4!) + ... Искомый интеграл равен I = I(0.2), поскольку, как легко заметить, I(0)=0. Ну и всё. Теперь находим последовательно члены ряда, пока не встретим член, по модулю меньший 0.001. Т.е. I = 1/5 - 1/(25*2*2!) + 1/(125*3*3!) - ... ~~ 0.2 - 0.01 + 0.00044444... = 0.190 --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 17.10.2007, 19:32

Вопрос № 105.727

Здравствуйте, эксперты, помогите с заданием, пожалуйста y'+xy^2=2cos(x) y(0)=1 Используя степенные ряды найти первые три отличные от нуля члены разложения в степенной ряд решения диференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям

Отправлен: 16.10.2007, 23:34 Вопрос задала: Куренкова Анна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Зелик Колабухин Здравствуйте, Куренкова Анюта! Смотри на ряд Тейлора (лучше Маклорена) и подставляй чего будет получаться. У нас y'=2cos(x)-xy^2 y''=-2sin(x)-y^2-2xyy' У Тейлора (согласно нашим данным): y(0)=1 y'(0)=2cos(0)-0*y^2=2 y''(0)=-2sin(0)-y(0)^2-2*0*y(0)*y'(0)=-y(0)^2=-1^2=-1 Подставляем: y(x)~1+2x-1/2x^2...

Ответ отправил: Зелик Колабухин (статус: 3-ий класс) Ответ отправлен: 17.10.2007, 12:23

Вопрос № 105.729

Здравствуйте, уважаемые эксперты, помогите с заданием, пожалуйста: Разложить функцию F(x) в ряд Фурье в этом интервале F(x)=pi-abs(x) (-pi,pi)

Отправлен: 16.10.2007, 23:35 Вопрос задала: Куренкова Анна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Куренкова Анна! Если о рядах Фурье есть небольшое представление, то всё поймете: --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 17.10.2007, 21:01

Вопрос № 105.751

Здаравствуйте эксперты, помогите пожалуйста: Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке [0, pi] сумма от 0 до бессконечности: (pi-x)* (con(nx))^2 /(n^7 +1)^4

Отправлен: 17.10.2007, 08:30 Вопрос задал: Tribak (статус: 4-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! Имеем 0 ≤ pi-x ≤ pi < 4 и cos2nx < 2, поэтому (pi-x)* (con(nx))^2 /(n^7 +1)^4 < 8/(1+n7)4. Итак, мы построили мажоранту (числовой ряд) на данном отрезке, а значит по признаку Вейерштрасса ряд на данном отрезке равномерно сходится. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 18.10.2007, 06:11 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 105.752

ЗДравствуйте эксперты, помогите пожалуста найти сумму ряда: 1+(-1)^(n-1) / (2n+1) *x^(2n+1) Сумма от 1 до бессконечности

Отправлен: 17.10.2007, 08:32 Вопрос задал: Tribak (статус: 4-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Tribak! (Во всех нижеуказанных суммах верхний предел равен бесконечности) Известно разложение функции y = arctg(x) в ряд ∑n=0(-1)nx2n+1/(2n+1) при x ∈(-1;1). Поэтому S(x) = 1 + ∑n=1(-1)n-1x2n+1/(2n+1) = 1 - ∑n=1(-1)nx2n+1/(2n+1) = 1 - (∑n=0(-1)n-1x2n+1/(2n+1) – x) = 1 – (arctg(x) – x) = x + 1 – arctg(x). Ответ: S(x) = x + 1 – arctg(x) при x ∈ (-1;1).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 17.10.2007, 15:46 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 105.795

Здравствуйте помогите найти значение параметров p при котором ранг матрицы A равен 2. Матрица А: 1 2 -4 3 1 -3 2 -4 2 -1 p -1 0 -5 6 -7 ----- ∙ Отредактировал: Gh0stik (Профессор) ∙ Дата редактирования: 17.10.2007, 15:13

Отправлен: 17.10.2007, 14:53 Вопрос задал: Котов Андрей Юрьевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: Gh0stik Здравствуйте, Котов Андрей Юрьевич! Ранг матрицы 1 2 -4 3 1 -3 2 -4 2 1 p -1 0 -5 6 -7 Домножим первую строку соответственно на (-1) и сложим со второй, а также на (-2) и сложим с третьей. 1 2 -4 3 0 -5 6 -7 0 -5 8+p -7 0 -5 6 -7 Как известно ранг матрицы равен максимальному числу ее строк, образующих линейно независимую систему. У нас мы получили что 2 и 4-тые строки линейно зависимы следовательно матрицу можно переписать в виде: 1 2 -4 3 0 -5 6 -7 0 -5 8+p -7 0 0 0 0 Поскольку нам необходимо, чтобы ранг был равен двум, то и линейно независимых строк у нас тоже должно быть ДВЕ. А это мы можем получить только когда 8+p=6. Следовательно ранг матрицы будет равен 2 только при p=-2. Ответ: p=-2. Good Luck!!! --------- Господь Бог - это всего лишь сверхмощный генератор случайных чисел, в соответствии с которыми сочетаются события на Земле. Генератор случайных чисел - и только.

Ответ отправил: Gh0stik (статус: Профессор) Украина, Славянск Организация: Славянский государственный педагогический университет (Кафедра алгебры) ICQ: 289363162 ---- Ответ отправлен: 17.10.2007, 15:30 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Блогодарю за помощь ведь сейчас так мало хороших людей

Вопрос № 105.817

Помгите пожалуйста со следующими заданиями: 1.Алгебра (тема: пройстейшие тригонометрические уравнения) а) решить уравнение и найти его корни, котрые принадлежат промежутку [0; пи]: (cos2x+cos пи/4)(cos2x+4)=0. б)решить уравнения: 4cos(x/2+пи/6)+√12=0 tg(пи/6-пи*x/3)=tg(-пи/3) |0.5-sin(x*cos пи/3)|=0.5 в) определить количество корней уравнения, которые принадлежат промежутку [-пи; пи]: (cosx-1)(ctg(2x+пи/4)-1)=0. 2.Геометрия (аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей) а)Из точки D, не лежащей ни в одной из двух параллельных плоскостей ß и α, проведены два луча, пересекающие плоскость α в точках А1 и А2, а плоскость ß - в точках В1 и В2. Найдите А1А2, если DВ2:В2А2=2:3, DА2=20 см, В1В2=А2В2. б)Плоскость α пересекает стороны угла АСВ в точках А1 и В1, а параллельная ей плоскость ß - в точках А2 и В2. Найдите В1В2, если СВ1=14см, СА1:А1В1=2:5, А1А2=А1В1.

Отправлен: 17.10.2007, 18:49 Вопрос задала: Lifestyle (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Lifestyle! 1) (cos2x+cos пи/4)(cos2x+4)=0. Т.к. для любого угла х => -1 <= cos2х => -1+4 <= cos2х+4 => 3 <= cos2х+4. Значит, уравнение обращается в 0, когда обращается в 0 первая скобка. cos2x+cos пи/4 = 0 cos пи/4 = sqrt2/2 => cos2x+(sqrt2)/2 = 0 => cos2x = -(sqrt2)/2 => 2x = 3п/4 + 2пk или 2x = 5п/4 + 2пk => x = 3п/8 + пk или x = 5п/8 + пk т.к. х должен принадлежать промежутку [0;п] => некоторые ответы отпадают. Окончательный результат x = 3п/8 + 2пk или x = 5п/8 + 2пk б) 4cos(x/2+п/6)+sqrt12=0 4cos(x/2+п/6)+2sqrt3=0 cos(x/2+п/6) = -(sqrt3)/2=0 x/2+п/6 = 5п/6 + 2пk или x/2+п/6 = 7п/6 + 2пk x/2 = 2п/3 + 2пk или x/2 = п + 2пk х = 4п/3 + 4пk или x = 2п + 4пk tg(п/6-п*x/3)=tg(-п/3) п/6-п*x/3 = -п/3 + пk 3/2 + 6k = x |0.5-sin(x*cos пи/3)|=0.5 если 0.5-sin(x*cos пи/3) >=0 то 0.5-sin(x*cos пи/3) = 0.5 или если 0.5-sin(x*cos пи/3) < 0 то 0.5-sin(x*cos пи/3) = -0.5 Решаем первый случай 0.5-sin(x*cos пи/3) = 0.5 sin(x*cos пи/3) = 0 cos пи/3 = 0.5 => (подставляем это в уравнение) x/2 = пk х = 2пk Решаем 2 случай 0.5-sin(x*cos пи/3) = -0.5 1 = sin(x/2) x/2 = п/2 + 2пk x = п + 4пk в) (cosx-1)(ctg(2x+пи/4)-1)=0 либо cosx-1 = 0 либо ctg(2x+пи/4)-1 = 0 в первом случае х = 2пk во втором случае 2x+п/4 = п/4 + пk => 2x = пk => x = пk/2 Промежутку [-пи; пи] принадлежат корни 0, п/2, п, -п/2, -п

Ответ отправила: Джелл (статус: 7-ой класс) Ответ отправлен: 17.10.2007, 22:21 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо большое за ответ. Вы мне очень помогли!

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Lifestyle! Задача 2(а). Чертёж: http://webfile.ru/1560124. 1. т.к. DB2 : A2B2 = 2 : 3 и DA2 = DB2 + A2B2 = 20, то DB2 = 8, A2B2 = 12; B1B2 = A2B2 = 12. 2. треугольник DB1B2 подобен треугольнику DA1A2 (из параллельности α и β следует параллельность A1B1 и A2B2, откуда, в свою очередь следует равенство углов ∠CA1B1 = ∠CA2B2, ∠CB1A1 = ∠CB2A2), поэтому A1A2 : B1B2 = DA2 : DB2 ⇒ A1A2 = B1B2*DA2/DB2 = 30. Ответ: A1A2 = 30.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 18.10.2007, 14:52 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за рисунок и подробное описание первой задачи. Вторую задачу решила сама - она аналогична первой!

Вопрос № 105.827

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, с заданием: найти область сходимости ряда сумма от n=0 до бесконечности (n^2-n+1)*x^n

Отправлен: 17.10.2007, 19:54 Вопрос задала: Куренкова Анна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Куренкова Анна! un(x) = (n²-n+1)xn. Используем признак Даламбера: |un+1(x)/un(x)| = |x|*(n²+n+1)/(n²-n+1), limn->∞(|x|*(n²+n+1)/(n²-n+1)) = |x| < 1, -1 < x < 1. Исследуем сходимость ряда на концах отрезка. x = -1 ⇒ un = (-1)n(n²-n+1). Ряд расходится, т.к. limn->∞|un| = ∞. x = 1 ⇒ un = n²-n+1. Ряд расходится, т.к. limn->∞un = ∞. Ответ: x ∈ (-1;1).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 17.10.2007, 20:30

Вопрос № 105.828

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите решить два задания: 1) ((x+4)2)^2 + |(2+x)2| = 2; 2) ((x*|x-1|)/(|x-2|)) = -23. Заранее благодарен!

Отправлен: 17.10.2007, 20:01 Вопрос задал: Огоньков Сергей (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Огоньков Сергей! 2) умножим обе части уравнения на 4: (x+4)² + 2|x+2| = 8, x² + 8x + 8 + 2|x+2| = 0. Рассмотрим два случая. 1. x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2, x² + 8x + 8 + 2(x+2) = 0, x² + 10x + 12 = 0, x1 = -5 – sqrt(13) ≈ -8.61 — не подходит, x2 = -5 + sqrt(13) ≈ -1.39 > -2. 2. x + 2 < 0 ⇒ x < -2, x² + 8x + 8 – 2(x+2) = 0, x² + 6x + 4 = 0, x1 = -3 – sqrt(5) ≈ -5.24 < -2, x2 = -3 + sqrt(5) ≈ -0.76 — не подходит. Ответ: x1 = -5 + sqrt(13), x2 = -3 – sqrt(5).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 17.10.2007, 20:50 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо!

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Огоньков Сергей! 2) Если x>0, то правая часть неотрицательна, а левая - отрицательна, а значит, решений нет. Поэтому следует считать x<0. Тогда |x-1|=1-x>0, |x-2|=2-x>0. Получаем уравнение: 3x(1-x)=-2(2-x) -3x2+x+4=0 Решая полследнее на отрицптельной полуоси, имеем x=-1. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 17.10.2007, 22:16 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо Вам! Вы мне помогли

Вопрос № 105.829

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите решить два задания: 1) |(x-2)/x^3| = x*|2-x|; 2) (x^2 + Корень(x^2+8x+16))/(|x|) = |1-x|. Заранее благодарен!

Отправлен: 17.10.2007, 20:03 Вопрос задал: Огоньков Сергей (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Dayana Здравствуйте, Огоньков Сергей! 1) рассмотрим 3 случая: пусть 0<x<2 |(x-2)/x^3| = x*|2-x| -(x-2)/x^3 = x*(2-x) (2-х)(1/x^3 -x)=0 x=2 или x^4=1. x=1 или х=-1 Из этих трех корней условию удовлетворяет только х=1 пусть х>=2 |(x-2)/x^3| = x*|2-x| (x-2)/x^3 = -x*(2-x) (х-2)(1/x^3-x)=0 x=2 или х=1 или х=-1 Из этих трех корней условию удовлетворяет только х=2 пусть x<=0 |(x-2)/x^3| = x*|2-x| (x-2)/x^3 = x*(2-x) (x-2)(1/x^3 +x)=0 x=2 не удовлетворяет условию. Ответ: х=2, х=1 2) преобразуем уравнение: (x^2 + |x+4| )/(|x|) = |1-x|. рассмотрим 4 случая: пусть x<-4 (x^2 - (x+4) )/(-x) = (1-x). x^2 - (x+4) = (1-x)(-x). - 4 = 0 - неверно пусть -4<=x<0 (x^2 + x+4 )/(-x) = 1-x. x^2 + x+4 = (1-x)(-x). 2x=-4 x=-2 - подходит пусть 0<x<1 (x^2 + x+4)/(x) = 1-x. x^2 + x+4 = (1-x)x. 2x^2=-4 нет корней пусть x>=1 (x^2 + x+4 )/(x) = -(1-x). x^2 + x+4 = -x(1-x). 2x=-4 x=-2 - не подходит Ответ: х=-2

Ответ отправила: Dayana (статус: 10-ый класс) Ответ отправлен: 17.10.2007, 20:37 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Пасиба!

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Огоньков Сергей! 1) Имеем |(x-2)/x^3|=|x-2|/|x^3|. Видим, что x=2 - корень. Учитывая это, имеем, в силу |x-2|=|2-x|, 1/|x^3|=x. Левая часть положительна, поэтому должно быть x>0, а значит имеем 1/x^3=x, откуда x=1 (x=-1 не подходит, т.к. мы установили x>0). --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 17.10.2007, 22:05 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо

Вопрос № 105.837

Здравтвуйте эксперты, помогите с интегралом: Интеграл по L: (2a-y)dx+xdy L=(значек дуги на AB) AB: x=t-sin(t) y=1-cos(t) A(0,0) B(2pi,0)

Отправлен: 17.10.2007, 20:47 Вопрос задал: Tribak (статус: 4-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Tribak! Ну и в чем проблема? A соответсвует t=0, а B - t=2п. Далее, dx = 1-cos(t) dt, dy = sin(t) dt. Получаем обыкновенны определенный интеграл: int(0,2п) (2a-1+cos(t))(1-cos(t))+(t-sin(t))*sin(t) dt После преобразований получим 2(1-a)*int(t*sin(t)+cos(t)-1)dt = 2п(2a-3). --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 17.10.2007, 21:18 Оценка за ответ: 5

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.61.1 от 16.10.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru