/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 476
от 18.10.2007, 21:35

Вопрос № 105.272

даны координаты вершин треугольника АВС: А(-3;-2), В(14;4), С(6;8) Найти: 1). уравнение биссектирсы АМ угла А 2). точку пересечения высот треугольника 3). систему линейных неравенств, определеяющих множество внутренних точек треугольника

Отправлен: 13.10.2007, 06:57 Вопрос задал: Ivanob dima (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Ivanob dima! 1) AB(17,6), AC(9,10); |AB| = sqrt(17² + 6²) = 5*sqrt(13), |AC| = sqrt(9² + 10²) = sqrt(181). Направляющим вектором биссектрисы AM будет вектор m = AB/|AB| + AC/|AC| = (17/(5*sqrt(13))+9/(sqrt(181)), 6/(5*sqrt(13))+10/(sqrt(181))). Значит, уравнение биссектрисы AM имеет вид (6/(5*sqrt(13))+10/(sqrt(181)))*x − (17/(5*sqrt(13))+9/(sqrt(181)))*y + d = 0. Подставим в это уравнение координаты точки A и найдём d. d = 12/(sqrt(181)) − 16/(5*sqrt(13)). Ответ: (6/(5*sqrt(13))+10/(sqrt(181)))*x − (17/(5*sqrt(13))+9/(sqrt(181)))*y + (12/(sqrt(181)) − 16/(5*sqrt(13))) = 0. 2) Найдём уравнения высот AH1 и BH2. BC(-8,4) ⊥ AH1 ⇒ AH1: 8x - 4y + d = 0; поставим в это уравнение координаты точки A и найдём d: d = 16, AH1: 8x - 4y + 16 = 0; AB(17,6) ⊥ BH2 ⇒ BH2: 17x + 6y + k = 0; подставим в уравнение координаты точки B и найдём k: k = -262, BH2: 17x + 6y - 262 = 0. Чтобы найти точку пересечения высот AH1 и BH2, решим систему уравнений 8x - 4y + 16 = 0, 17x + 6y - 262 = 0. Корни: x = 238/29, y = 592/29. Ответ: (238/29, 592/29). 3) Составим уравнения сторон треугольника. AB: 6x - 17y - 16 = 0, AC: 10x - 9y + 12 = 0, BC: 4x + 8y - 88 = 0. Подставим в уравнение AB координаты точки C, получим 6*6 - 17*8 - 16 = -116 < 0, значит, первое неравенство такое: 6x - 17y - 16 < 0. Подставим в уравнение BC координаты точки A, получим 4*(-3) + 8*(-2) - 88 = -116 < 0, значит, второе неравенство: 4x + 8y - 88 < 0. Подставим в уравнение AC координаты точки B и получим 10*14 - 9*4 + 12 = 116 > 0, третье неравенство: 10x - 9y + 12 > 0. Ответ: 6x - 17y - 16 < 0, 4x + 8y - 88 < 0, 10x - 9y + 12 > 0.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.10.2007, 09:37

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Ivanob dima! Прежде все найдем уравнения всех сторон треугольника. Найдем уравнение стороны AB. Ее направляющий вектор есть AB{17,6}. Тогда ее уравнение можно записать в виде: (x+3)/17 = (y+2)/6, или 6x-17y-16=0. Аналогичным образом находится, что BC: x+2y-22=0, и AC: 10x-9y+12=0. 1) Пусть M(x,y) - точка биссектрисы; тогда расстяния от точки до прямых будут одинаковыми: |6x-17y-16|/sqrt(325) = |10x-9y+12|/sqrt(181). Если раскрыть знак модуля, то получим уравнения двух биссектрис. Одна с положительным угловым коэффициентом, другая с отрицательным. По рисунку будет понятно, какая нам нужна. 2) Найдем уравнение высоты AA1. Направляющим для нее будет вектор нормали стороны BC, то есть nBC||AA1={1,2} (1 и 2 - это коэффициенты в уравнении стороны BC перед x и y соответственно). Так, имеем для прямой точку и напр. вектор. Запишем ее уравнение: (x+3)/1=(y+2)/2, или 2x-y+4=0. Аналогично находим уравнение любой другой высоты, например, BB1: 9x+10y-166=0. Решая совместно уравнения AA1 и BB1, получим точку пересечения H(126/29 ; -368/29). 3) Возьмем сторону AB: 6x-17y-16=0. Подставим в нее точку C: 6*6-17*8-16=-116<0. Значит, первое неравенство 6x-17y-16<0. Если взять так же прямую AC с точкой B и прямую BC с точкой A, то получим остальные неравенства системы. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.10.2007, 10:01

Вопрос № 105.292

Добрый день. 1. Дан треугольник ABC, одна сторона задана уравнением 5x-4y+15=0, вторая сторона треугольника задана уравнением 4x+y-9=0, медиана пересекает точку P(0;2). Найти уравнение третьей стороны. 2. Составить уравнение и построить линию расстояние каждой точки, которой от A(3;0) координатной прямой вдвое меньше расстояние от B(26;0). 3. Линия задана уравнением в полярной системе координат, требуется: а) построить линию по точкам от 0 до 2Π через промежутки Π4; б) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, r=5/3-4cosφ.

Отправлен: 13.10.2007, 13:04 Вопрос задал: Ezhik (статус: Практикант) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Ezhik! 2) Пусть M(x,y) — точка, принадлежащая искомой кривой. |MA| = sqrt((x-3)² + y²), |MB| = sqrt((x-26)² + y²). 2|MA| = |MB|, 2*sqrt((x-3)² + y²) = sqrt((x-26)² + y²), 4((x-3)² + y²) = (x-26)² + y², 3x² + 28x - 640 + 3y² = 0. Приведём это уравнение к каноническому виду: 3(x+14/3)² + 3y² = 5956/9, (x+14/3)² + y² = 5956/27. Это уравнение окружности с центром в точке (-14/3, 0) радиуса sqrt(5956/27) ≈ 14.85. Рисунок: http://webfile.ru/1555315.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.10.2007, 13:29 Оценка за ответ: 4

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Ezhik! 1) Для начала найдем одну из вершин треугольника - точку пересечения этих прямых, - путем совместного решения их уравнений. Получим, что они пересекаются в A(1;5). Пусть B и C - две другие вершины. Направляющим вектором стороны AB пусть будет AB', а стороны AC - AC'. Из уравнения прямых получаем, что AB'{4;5}, AC'{-1;4}. Понятно, что AB'||AB и AC'||AC, поэтому AB=m·AB' и AC=n·AC'. Так как P - основание медианы, то 2·AP=AB+AC=m·AB'+n·AC'AP{-1;-3}. Другими словами мы получили систему линейных уравнений: -2=4m-n -6=5m+4n, решая которую, получим m=n=-2/3. Значит AB=-2/3AB'={-8/3;-10/3} и AC=-2/3AC'={2/3;-8/3}. Но так как BC=AC-AB, то BC{10/3;2/3}. Итак, мы имеем направляющий вектор {10/3;2/3}||{5;1} третьей стороны и точку (0;2) на ней. Легко составляем ее уравнение: (x-0)/5=(y-2)/1, или x-5y+10=0. 3) Формулы преобразования суть: x=ρ·sin(φ), y=ρ·cos(φ). Понятно, что x²+y²=ρ², а cos(φ)=y/ρ. Подставим последнее в уравнение кривой. Получим ρ=5/3-4y/ρ, или (ρ²+4y)²=25/9ρ². Подставляя первое выражение для ρ², получим известное (не для все, конечно) уравнение улитки Паскаля. Ну а строить ее легко. Берете значение угла φ и считаете для него ρ. Затем на поларной плоскости чертите луч, который образует угол φ и откладываете на нем найденное ρ. Если ρ отрицательное, то откладываете его на продолжении луча. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.10.2007, 14:58 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо.

Вопрос № 105.307

Добрый день. 1. Даны вершины треугольника ABC. A(-14,10), B(10,3), C(-8,27). Найти: а) общее уравнение стороны AB; б) уравнение высоты "в отрезках", опущенной из вершины A; в) длину высоты, опущенной из вершины B; г) каноническое уравнение медианы, проведенной из вершины C. 2. Найти точку K, симметричную точке M(1,0,1) относительно плоскости 4x+6y+4z-25=0. 3. Найти точку пересечения данной прямой с данной плоскостью. x-3/-1 = y-4/5 = z-4/2, 7x+y+4z-47=0. 4. Даны общие уравнения прямой. Написать каноническое и параметрические уравнения этой прямой. {x+5y-z-5=0 2x-5y+2z+5=0 5. Найти неизвестную координату точки A(0,y,0), равноудаленной от точек B(2,2,4) и C(0,4,2). 6. Найти расстояние от точки M(5,-4,5) до плоскости, проходящей через три точки A(1,3,6), B(2,2,1), C(-1,0,1).

Отправлен: 13.10.2007, 15:12 Вопрос задал: Ezhik (статус: Практикант) Всего ответов: 4 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Ezhik! 3) Перепишем уравнение прямой в параметрическом виде: (x-3)/(-1) = (y-4)/5 = (z-4)/2 = t, x = -t + 3, y = 5t + 4, z = 2t + 4. Подставим в уравнение данной плоскости: 7(-t+3) + (5t+4) + 4(2t+4) = 0, 6t - 6 = 0, t = 1 ⇒ x = 2, y = 9, z = 6. Ответ: (2,9,6). 5) |AB| = sqrt(2² + (y-2)² + 4²) = sqrt(20 + (y-2)²), |AC| = sqrt(0² + (y-4)² + 2²) = sqrt(4 + (y-4)²). sqrt(20 + (y-2)²) = sqrt(4 + (y-4)²), 20 + (y-2)² = 4 + (y-4)², y² - 4y + 24 = y² - 8y + 20, 4y = 4, y = 1. Ответ: A(0,-1,0).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.10.2007, 15:53 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Ezhik! 2) уравнение прямой перпендикулярной плоскости 4x+6y+4z-25=0 и проходящей через точку M(1,0,1) есть (x-1)/4 = y/6 = (z-1)/4 расстояние от точки (x0,y0,z0) до плоскости Ax+By+Cz+D = 0 есть (Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2 + B^2 + C^2) т.е. расстояние от т.М до плоскости = abs(4+4-25)/sqrt(16+36+16) = 17/sqrt68 = 0.5sqrt17 точка симметричная М = (x,y,z) расстояние от точки до плоскости = (4x+6y+4z-25)/sqrt68 = 17/sqrt68 => 4x+6y+4z-25 = 17 => 4x+6y+4z-42=0 => 2x+3y+2z-21=0 Кроме того, эта точка лежит на прямой (x-1)/4 = y/6 = (z-1)/4 получаем систему из 3 уравнений с тремя неизвестными, решаем из уравнения прямой получаем y = 3(x-1)/2 z = x подставляем в уравнение 2x+3y+2z-21=0 => 2x + 9(x-1)/2 + 2x - 21 = 0 => 8x + 9(x-1) - 42 = 0 => 17x - 51 = 0 => x = 3 подставляем в выhажения для y, z y = 3 z = 3 Ответ: эта симметричная точка (3,3,3) 5) A(0,y,0), B(2,2,4) и C(0,4,2) => AB(2,2-y,4), AC(0,4-y,2) длина АВ = sqrt(2^2 + (2-y)^2 + 4^2) = sqrt(4 + 4 + y^2 - 4y + 16) = sqrt(y^2 - 4y +24) длина АС = sqrt(16 + y^2 - 8y +4) = sqrt(y^2 - 8y +20) AB = AC => y^2 - 4y +24 = y^2 - 8y +20 => 4y + 4 = 0 => y = -1 6) чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через эти 3 точки, составляем матрицу из 4 векторов (x,y,z,1), (1,3,6,1), (2,2,1,1), (-1,0,1,1) и приравниваем к нулю детерминант этой матрицы - получаем уравнение плоскости 10x - 15y + 5z + 5 = 0 расстояние от точки (x0,y0,z0) до плоскости Ax+By+Cz+D = 0 есть (Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = (10*5 - 15*(-4) + 5*5 + 5)/sqrt(100+225+25) = 140/sqrt350 = 28/sqrt14 = 2sqrt(14) M(5,-4,5)

Ответ отправила: Джелл (статус: 7-ой класс) Ответ отправлен: 13.10.2007, 16:39 Оценка за ответ: 5

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Ezhik! 2) Пусть N - искомая. Вектор нормали к плоскости будет направляющим для прямой MN. Его координаты {4,6,4}||{2,3,2}. Составим параметрические уравнения прямой MN: x=2t+1; y=3t z=2t+1. Пожставим эти выражения в уравнение плоскости: 8t+4+18t+8t+4-25=0, откуда t=17/34=1/2. Значит, координаты точки пересечения плоскости с прямой будут A(2,3/2,2). Параллельный перенос точки M на вектор MA даст нам A, а параллельный перенос A на вектор MA даст нам N. Вектор MA{1,3/2,1}, поэтому N(1+2*1,0+2*3/2,1+2*1)=(3,3,3). 4) Берите какие-нибудь две точки на прямой. Пусть x=0. Тогда, решая систему, получим z=0 и y=1. Теперь пусть x=5, тогда y=-3, z=-15. Таким образом, имеем две точки: A(0,1,0) и B(5,-3,-15). Направляющим вектором будет AB{5,-4,-15}. Тогда параметрические уравнения: x=5t y=-4t+1 z=-15t Каноническое уравнение: x/5 = (y-1)/(-4) = z/(-15). 6) Через определитель найдем уравнение плоскости: 2x-3y+z+1=0. Тогда расстояние до плоскости есть |2*(5)-3*(-4)+1*(5)+1|/sqrt(2²+3²+1²)=28/sqrt(14)=2sqrt(14). --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.10.2007, 16:44 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Vassea Здравствуйте, Ezhik! 1) a) Уравнение стороны AB (через две точки) (x-(-14)) / (10 - (-14)) = (y - 10)/(3-10) По пропорции получаем: (x+14)*(-7)=(y-10)*24 Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону: 7*x+24y-142=0 -- это и есть общее уравнение прямой AB b) Уравнение высоты проведенной к стороне BC I) Найдем угловой коэффициент прямой BC=k1 k1=(27-3)/(-8-10)=-24/18=-4/3 тогда угловой коэффициент перпендикуляра опущенного к этой стороне k1*k2=-1 k2=3/4 Высота проходит через точку А (y-10)=(3/4)*(x+14) Преобразуем уравнение 4y-3x=82 -3*x/82+4*y/82=1 x / (-82/3) + y / (41/2) + =1 -- уравнение высоты в отрезках с) Длина высоты, опущенной из вершины B -- это расстояние от этой точки до прямой AC Найдем прямую AC (через две точки) (x+8)/(-14+8) = (y-27)/(10-27) или 17*x-6*y+298=0 тогда расстояние от B до AC= d=|17*10-6*3+298|/sqrt(17*17+6*6)=450/sqrt(325)=90*sqrt(13)/13 d) Медиана проведена из вершины С => проходит через середину AB -- точку М M((-14+10)/2 ; (10+3)/2) -- координаты середины Находим уравнение, через две точки. (x+8) / (-2+8) = (y-27) / (13/2 - 27) (x +8)/6 = (y-27)/(-41/2) (x+8)/12 = (y-27)/(-41) (каноническое уравнение медианы)

Ответ отправил: Vassea (статус: 5-ый класс) Ответ отправлен: 13.10.2007, 18:07 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 105.337

Здраствуйте эксперты, помогите рещить задание: На плоскости даны 3 точки P0,P1,P2 с координатами (P0=-2;3),P1=(0;-2),P2(2;3),Для треуголника P0 P1 P2 составить уравнение медианы проведенной к стороне P1P2.Определить длину высоты, опущенной из вершины P0.

Отправлен: 13.10.2007, 18:05 Вопрос задал: Aleksmariupol (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Aleksmariupol! Найдём M — середину стороны P1P2. M((0+2)/2, (-2+3)/2) = M(1, 0.5). Составим уравнение прямой, проходящей через точки P0 и M: P0M: (x-1)/(-2-1) = (y-0.5)/(3-0.5), P0M: 5x + 6y - 8 = 0. Длина высоты, опущенной из P0 на сторону P1P2 равна расстоянию от этой точки до прямой P1P2. Составим уравнение прямой P1P2. P1P2: (x-2)/(0-2) = (y-3)/(-2-3), P1P2: 5x - 2y - 4 = 0. Значит, длина высоты равна h = |5*(-2) - 2*3 - 4|/sqrt(5² + (-2)²) = 20/sqrt(29).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 13.10.2007, 18:30

Вопрос № 105.350

Помогите с решием след. фун-ых ур-ий Для задач 1 - 5 f e C[R] 1. f(x+y) = f(x) + f(y) + xy 2. f(xy) = xf(y) + yf(x) 3. f(x) + f(y) = f(sqrt(x*x+y*y)) 4. f(x)*f(y) = f(sqrt(x*x+y*y)) 5. f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)cos(y) 6. f e C[0,1] 2f(x) = f(x/2)+f(x/2+1/2) 7. f(x) - (1/2)*f(x/2) = x*x в задачи 7 в отличии от других задач, ус-тя непрерывности нету

Отправлен: 13.10.2007, 20:38 Вопрос задал: Aleha (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Aleha! 5. f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)cos(y). (*) Положив y = π/2, получаем f(x+π/2) + f(x-π/2) = 0, значит (если заменить x на x+π/2), f(x+π) + f(x) = 0, f(x+π) = -f(x). (**) Заменив y на y+π/2 и x на x+π/2 в (*), получаем f(x+y+π) + f(x-y) = -2f(x+π/2)sin(y), а с учётом (**) имеем: f(x+y) - f(x-y) = 2f(x+π/2)sin(y). (***) Положив x = 0 в (*) и (***), получаем f(y) + f(-y) = 2f(0)cos(y), f(y) - f(-y) = 2f(π/2)sin(y). Сложив эти два равенства и сократив обе части на 2, получим f(y) = f(0)cos(y) + f(π/2)sin(y). Т.е. искомая функция имеет вид f(x) = a*cos(x) + b*sin(x), где a, b — константы. Сделав проверку, убеждаемся, что a и b могут быть произвольными числами. Ответ: f(x) = a*cos(x) + b*sin(x).

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Студент) Ответ отправлен: 15.10.2007, 19:59 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Aleha! 1) f(x+y) = f(x) + f(y) + xy (*) Пусть y=0 => f(x) = f(x) + f(0) => f(0) = 0 Докажем по матиндукции, что f(n*x) = n*f(x) + [n(n-1)/2]*x^2 (**) Действительно, для n=0 и для n=1 выполняется, для n=2 если в (*) y=x, то f(2x) = 2*f(x) + x^2 Пусть для n=k выполняется f(k*x) = k*f(x) + [k(k-1)/2]*x^2 Если подставить в (*) вместо х -> kx, а вместо y -> x получим f((k+1)x) = f(kx+x) = f(kx) + f(x) + kx^2 = f(kx) = k*f(x) + [k(k-1)/2]*x^2 + f(x) + kx^2 = (k+1)f(x) + [k(k-1)/2 + k]*x^2 = (k+1)f(x) + [k(k+1)/2]*x^2 То есть тем самым (**) выполняется и для k+1, то есть (**) верна для любых натуральных n Если х = 1, то из (**) следует f(n) = n*f(1) + n(n-1)/2 Положим f(1) = c, тогда f(n) = nc + n(n-1)/2 (***) Пусть в (**) х = m/n Тогда f(n*m/n) = n*f(m/n) + [n(n-1)/2]*(m/n)^2 С другой стороны, f(n*m/n) = f(m), и по (***) => f(n*m/n) = f(m) = mc + m(m-1)/2 => n*f(m/n) + [n(n-1)/2]*(m/n)^2 = mc + m(m-1)/2 => f(m/n) = (m/n)c + (m/n)(m-1)/2 - [(n-1)/2]*(m/n)^2 = (m/n)c + (m/n)/2*[m-1+(1-n)*(m/n)] = (m/n)c + (m/n)/2*[(-n+m)/n] = (m/n)c + 0,5(m/n)*[(m/n) - 1] (****) Сравнивая (****) и (***), видим, что (****) - это формула (***), если заменить n на m/n То есть из требования непрерывности получаем, f(x) = xc + x(x-1)/2, где с - любая константа Проверяем основную формулу (*) - она выполняется. Ответ: f(x) = xc + x(x-1)/2, где с - любая константа

Ответ отправила: Джелл (статус: 7-ой класс) Ответ отправлен: 17.10.2007, 05:21 Оценка за ответ: 5

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.61.1 от 16.10.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru