/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 484
от 27.10.2007, 01:35

Вопрос № 106.221

Уважаемые математики. Есть огромное желание понять хотя-бы азы высшей математики (на старости лет решил учиться :). Но я настолько запутался во всех теоремах и определениях, что не могу решить самую первую задачку, самого первого курса, первого семестра, первой главы учебника. Помогите пожалуйста, и, если вас не затруднит, распишите поподробней, откуда что берётся. Ибо в моём ближайшем окружении помощи искать не от кого. Перерыл пол интернета, но не понял даже с чего начинать. Задача такая. Даны векторы: a=(2,1,0), b= (1,-1,2), c=(2,2,-1) и d=(3,7,-7). Нужно разложит вектор d по векторам a,b,c.

Отправлен: 21.10.2007, 05:22 Вопрос задал: Hiddix (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Hiddix! "разложить по векторам" - это значит, найти такие числа, х,y,z, что xa + yb + zc = d xa = x(2,1,0) = (2x,x,0) yb = y(1,-1,2) = (y,-y,2y) zc = z(2,2,-1) = (2z,2z,-z) xa + yb + zc = (2x,x,0) + (y,-y,2y) + (2z,2z,-z) = (2x+y+2z,x-y+2z,2y-z) = d = (3,7,-7) Итак, два вектора равны, (2x+y+2z,x-y+2z,2y-z) = (3,7,-7) - это означает, что равны их соответствующие координаты 2x+y+2z = 3 x-y+2z = 7 2y-z = -7 Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. из третьего уравнения z = 2y+7 из второго x = y-2z+7 = y - 2(2y+7) + 7 = -3y - 7 подставляем в первое 2x+y+2z = 2(-3y - 7) + y + 2(2y+7) = -6y - 14 + y + 4y + 14 = -y = 3 => y = -3 x = -3y - 7 = 2 z = 2y+7 = 1 Итак, d = 2a - 3b + c

Ответ отправила: Джелл (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 21.10.2007, 08:15 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 106.257

Уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить такую задачку Применяя предельный признак сравнения, упростить ряды. К упрощённым рядам применить признак Даламбера и радикальный признак Коши ∞ 1) Σ ( (2n+3sqrt(n) + 7)/ln(n^2+e^n) )^(3-4n) n=1 ∞ 2) Σ (n^2*3n+5n^3+6n)/(sqrt(n) + ln(n) + Pi^n) n=1 Заранее спасибо! Приложение: sqrt - квадратный корень Pi - пи

Отправлен: 21.10.2007, 13:50 Вопрос задал: Волков Михаил Юрьевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Волков Михаил Юрьевич! 1) un = (ln(n²+en)/(2n+3√n+7))4n-3. Возьмём ряд an = ((ln2+n)/(1.5n))4n-3. Докажем его сходимость с помощью радикального признака Коши: limn→∞(an)1/n = limn→∞((ln2+n)/(1.5n))4-3/n = limn→∞((ln2/n+1)/1.5)4-3/n = (1/1.5)4 < 1. un/an = ((1.5n*ln(n²+en))/((2n+3√n+7)(ln2+n)))4n-3 = (1.8n/(2n+3√n+7))4n-3 * ((5/6*ln(n²+en))/(ln2+n))4n-3. limn→∞(1.8n/(2n+3√n+7))4n-3 = limn→∞(1.8/(2+3/√n+7/n))4n-3 = (1.8/(2+3/√∞+7/∞))∞ = (0.9)∞ = 0, limn→∞(5/6*ln(n²+en))/(ln2+n) = воспользуемся правилом Лопиталя = 5/6 * limn→∞((2n+en)/(n²+en))/1 = 5/6 * limn→∞(2n+en)/(n²+en) = воспользуемся правилом Лопиталя (ещё три раза подряд) = 5/6 * limn→∞(2+en)/(2n+en) = 5/6 * limn→∞en/(2+en) = 5/6 * limn→∞en/en = 5/6, значит, limn→∞((5/6*ln(n²+en))/(ln2+n))4n-3 = limn→∞(5/6)4n-3 = 0. Получили, что limn→∞un/an = 0. Из сходимости ряда an = ((ln2+n)/(1.5n))4n-3 следует сходимость ряда un.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 25.10.2007, 14:06 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо!

Вопрос № 106.258

Уважаемые эксперты! Помогите решить задачу: Дан квадрат ABCD, точки L, K, M, N - середины сторон AD, BA, CB, DC соответственно. Какую часть от площади квадрата составляет площадь объединения фигур AKCM и BLND?

Отправлен: 21.10.2007, 14:01 Вопрос задала: Dayana (статус: 10-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Джелл Здравствуйте, Dayana! Чертеж - http://i012.radikal.ru/0710/1f/43d85774af92.jpg Площадь квадрата положим равной 1, тогда площадь треугольника АВС = 1/2, а площадь треугольника BKM = 1/8 => площадь АКМС = 1/2 - 1/8 = 3/8 Площадь треугольника BAL = 1/4 => площадь BLDN = 1 - 2/4 = 1/2 Осталось выяснить, чему равна площадь трапеции PQSR, и мы узнаем площадь объединения фигур. Проще всего выяснить это методом координат. Если координаты точки В(0,0), С(0,1), D(1,1), A(1,0) Тогда K(1/2, 0), L(1, 1/2) M(0, 1/2), N(1/2, 1) уравнение прямой АС будет y = 1 - x прямой KM: y = 1/2 - x прямой BL: y = x/2 прямой BN: y = 2x тогда координаты точки P (пересечение AC и BN) будут найдены из системы двух уравнений с двумя неизвестными {y = 1 - x {y = 2x => x = 1/3, y = 2/3 P(1/3, 2/3) аналогично получим Q (пересечение AC и BL), {y = 1 - x {y = x/2 Q(2/3, 1/3) S (пересечение MK и BL), {y = 1/2 - x {y = x/2 S(1/3, 1/6) R (пересечение MK и BN), {y = 1/2 - x {y = 2x R(1/6, 1/3) Опустим из точки S перпендикуляр на PQ найдем координаты получившейся точки Т т.к. Т принадлежит АС => Т(x, 1- x) вектор АС (-1,1), вектор ST (x - 1/3, 5/6 - x) они перпендикулярны => 1/3 - x + 5/6 - x = 7/6 - 2x = 0 => x = 7/12 вектор ST (7/12 - 1/3, 5/6 - 7/12) = (1/4, 1/4) длина ST = sqrt(2)/4 длина RS = длина (1/3 - 1/6, 1/6 - 1/3) = длина (1/6, -1/6) = sqrt(2)/6 длина QT = длина (7/12 - 2/3, 5/12 - 1/3) = длина (-1/12, 1/12) = sqrt(2)/12 => площадь трапеции PQSR = площади центрального прямоугольника + 2 площади треугольника SQT = ST*RS + ST*QT = sqrt(2)^2/(4*6) + sqrt(2)^2/(4*12) = 2/24 + 1/24 = 1/8 Итак, площадь пересечения наших фигур ACMK и BNDL = 1/8 Отсюда площадь объеждинения фигур = площадь АКМС + площадь BLDN - площадь PQSR = 3/8 +1/2 - 1/8 = 3/4 Итак, площадь объединения фигур ACMK и BNDL составляет 3/4 площади квадрата

Ответ отправила: Джелл (статус: 8-ой класс) Ответ отправлен: 23.10.2007, 05:47

Вопрос № 106.260

Добрый день уважаемы эксперты. Пожалуйста помогите с заданиями по комплексным числам. 1.Выполнить действие в алгебраической форме: 3+5i+ (2+3i)/(1+2i^17) 2.Преобразовать комплексные числа z1, z2, z3, z4 в показательную форму и найти комплексное число z в показательной форме. z1=8,7+0,7i; z2=-2,3+7,6i; z3=-0.8-7,9i; z4=1,3-3,7i. 3.Преобразовать комплексные числа z1, z2, z3в показательную форму и найти комплексное число z в показательной форме (воспольз калькулятором) z1=1/2+(3^(1/2)/2)i; z2=-2*(2^(1/2))+2*(2^(1/2))i; z3=1-(3^(1/2))i

Отправлен: 21.10.2007, 14:10 Вопрос задала: Svetapestova (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Serega1988 !!! Здравствуйте, Svetapestova! 1)(5+8i)/(1+2i^17)= {i^17=i*1^16=i*(-1)^4=i} =5+8i/1+2i[ПО ф-ле Эйлера]=sqrt(89)e^(arctg8/5))/sqrt(5)e^(arctg2/1))= =sqrt(89/5)e^(arctg1.6-arctg2) 2)Если z=a+bi, то z=sqrt(a*a+b*b)e^(arctgb/a) 3)Для перевода чисел воспользуемся инженерным калькулятором. Пусть z=3+4i, z=Ae^t Вводим число в память: наж. 3 - наж. a - наж. 4 - наж. b - наж 2ndF - наж. a(на экране A) - наж. b (на экране t) Решение содержит грубые ошибки ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Студент) ∙ Дата редактирования: 21.10.2007, 21:59 --------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время

Ответ отправил: Serega1988 (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 21.10.2007, 14:26

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Svetapestova! Предыдущий эксперт ошибся. Приведу правильные решения. 1. Сначала преобразуем дробь (2+3i)/(1+2i^17) = (2+3i)/(1+2i) = (т.к. i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1, то i^17 = i*(i^4)^4 = i*1^4 = i) = (2+3i)(1-2i)/((1+2i)(1-2i)) = (2-i-6i^2)/(1^2-(2i)^2) = (2-i+6)/(1-4i^2) = (8-i)/5 = 1.6 – 0.2i. Теперь прибавим 3+2i: 3+5i + (1.6-0.2i) = 4.6 + 4.8i. Ответ: 4.6 + 4.8i. 2. a + bi = sgn(a)*sqrt(a²+b²) * ei*arctg(b/a), где sgn(a) — знак числа a (плюс или минус). Тогда z1 = sqrt(8.7²+0.7²) * ei*arctg(0.7/8.7) = sqrt(76.18) * ei*arctg(7/87); z2 = sqrt((-2.3)²+7.6²) * ei*arctg(-7.6/2.3) = sqrt(63.05) * e-i*arctg(76/23); z3 = -sqrt((-0.8)²+(-7.9)²) * ei*arctg(7.9/0.8) = -sqrt(63.05) * ei*arctg(79/8); z4 = sqrt(1.3²+(-3.7)²) * ei*arctg(-3.7/1.3) = sqrt(15.38) * e-i*arctg(37/13). 3. Воспользуемся формулой из предыдущего пункта. z1 = sqrt((1/2)²+(sqrt(3)/2)²) * ei*arctg(sqrt(3)) = sqrt(1) * ei*arctg(sqrt(3)) = eiπ/3; z2 = -sqrt((-2sqrt(2))²+(2sqrt(2))²) * ei*arctg(-1) = -sqrt(16) * e-i*arctg(1) = -4e-iπ/4; z3 = sqrt(1²+(-sqrt(3))²) * ei*arctg(-sqrt(3)) = sqrt(4) * e-i*arctg(sqrt(3)) = 2e-iπ/3.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 21.10.2007, 19:03 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 106.284

помогите пожалуйста с двумя задачами 1. определить большую полуось эллипса x^2/a^2+y^2/144=1, если прямая проходящая через его левый фокус перпендикулярна прямой x+2y+1=0 и проходит через точку А( -2, 6) 2. Даны координаты вершин пирамиды А1,А2,А3,А4. Найти: а) длину ребра А1А2; б) косинус угла между ребрами А1А2 и А1А4; с) площадь грани А1А2А3; д) уравнение грани А1А2А3; е) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; ж) объем пирамиды. Сделать чертеж. А1(5;5;4) А2(3;8;4) А3(3;5;10) А4(5;8;2)

Отправлен: 21.10.2007, 17:47 Вопрос задал: Petropulos (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Petropulos! 1. Уравнение прямой, проходящей через точку (-2,6) перпендикулярно прямой x+2y+1=0, имеет уравнение 2(x+2) - (y-6) = 0, 2x – y + 10 = 0. Найдём точку пересечения этой прямой с осью абсцисс: y=0 ⇒ 2x+10=0 ⇒ x=-5. Значит, левый фокус эллипса имеет координаты (-5,0). Т.е. c = 5. a² = b² + c² = 144 + 25 = 169, a = 13. Ответ: a = 13.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 21.10.2007, 20:11 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Огромное СПАСИБО!!!

Отвечает: Vassea Здравствуйте, Petropulos! Координаты левого фокуса (-с;0) Тогда угловой коэффициент прямой, проходящей через фокус и А(-2;6)= k1=(6-0)/(-2+c) Угловой коэффициент перпендикулярной прямой k2=-1/2 (2y=-1-x y=-1/2 - 1/2 x) k1*k2=-1 => k1=2 6/ (c-2)=2 c-2=3 c=5 Для эллипса a^2=c^2 + b^2 b^2=144 c^2=25 => a^2=169 a=13 -- большая полуось 2) а) Длина ребра А1А2 = sqrt[ (x2-x1)^2 +(y2-y1)^2 + (z2-z1)^2 ]= {расстояние между двумя точками} =sqrt[ (3-5)^2 +(8-5)^2 + (4-4)^2 ]=sqrt(4+9)=sqrt(13) b) cos находим исходя из скалярного произведения вектрорв A1A2вектор=(-2;3;0) модуль=sqrt(13) A1A4вектор=(0;3;-2) модуль=sqrt(13) (A1A2;A1A4)=-2*0+3*3-2*0=9 cos x = 9/sqrt(13)/sqrt(13)=9/13 с) площадь грани А1А2А3 половина модуля векторного произведения А1А2 и А1А3 А1А2=(-2;3;0) А1А3=(-2;0;6) Векторное произведение [А1А2;А1А3] =|i j k| |-2 3 0|=i*18+j*12+k*6 |-2 0 6| его мо дуль = sqrt(18^2+12^2+6^2)=6*sqrt(9+4+1)=6*sqrt(14) => площадь 3*sqrt(14) д) уравнение грани -- через три точки определитель |x-5 y-5 z-4| |3-5 8-5 4-4| =0 |3-5 5-5 10-4| |x-5 y-5 z-4| |-2 3 0| =0 |-2 0 6| или 18*(х-5) + 12*(y-5) +6*(z-4)=0 3x-15+2y-10+z-4=0 3x+2y+z-29=0 -- уравнение плоскости грани е) Уравнение высоты -- направляющий вектор совпадает с нормальным вектором плоскости n(3;2;1) (x-5)/3=(y-8)/2=(z-2)/1 -- каноническое уравнение высоты ж) V=1/6 модуля смешанного произведения A1A2=(-2;3;0) A1A3=(-2;0;6) A1A4=(0;3;-2) v=1/6* mod |-2 3 0| |-2 0 6|=1/6*|2*18-3*4|=4 |0 3 -2| Исправлено решение задачи 2(c) по просьбе эксперта (см. минифорум). ----- ∙ Отредакти ровал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 22.10.2007, 17:17

Ответ отправил: Vassea (статус: 6-ой класс) Ответ отправлен: 21.10.2007, 21:09 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Огромное СПАСИБО!!!

Вопрос № 106.300

Здраствуйте, уважаемые эксперты!!! подскажите, пожалуйста, правильно ли я решила задачу? В урне 5 пронумерованных шаров: один шар с цыфрой 1, два шара с цифрой 3 каждый и два шара с цифрой 4 каждый. пусть Х- случайная величина, равная сумме цифр, написанных на вынутых шарах. Из урны вынимают шар и если он не содержит цифры 1, кладут его назад в урну. Затем эту операцию повторяют еще раз и так до появления 1. Обозначим У- случайную величину, ровную числу извлечений шаров из урны. найти Р(У=3). Мое решение: Пусть А- вынимаем шар с цифрой 1. Р(1)= Р(А)=1/5. Р(2)= (1-р)*р=(1-1/5)*1/5=4/25. Р(3)=(1-р)*(1-р)*р= 16/125

Отправлен: 21.10.2007, 20:46 Вопрос задала: Азарян Сатеник Вагановна (статус: Посетитель) Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Агапов Марсель Здравствуйте, Азарян Сатеник Вагановна! Да, Вы правильно решили задачу. Только непонятно, зачем в условии дана случайная величина X.

Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: Специалист) Ответ отправлен: 21.10.2007, 20:59 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо большое! А "Х" дана, потому, что это часть "б" этого задания, "Х"- нужен в "а" части!:)) Еще раз спасибо!

Отвечает: kopfschwarz Здравствуйте, Азарян Сатеник Вагановна! Задача на условную вероятность. Из условия понятно, что первый И второй вытянутые шары не с "1" И третий с "1". Поэтому, действительно, имеем по формуле условной вероятности: P(3) = P(не A)*P(не A)*P(A) = 4/5 * 4/5 * 1/5 = 16/125. --------- Please, don't say you're sorry & Express yourself, don't repress yourself!

Ответ отправил: kopfschwarz (статус: Студент) Ответ отправлен: 21.10.2007, 21:10 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо!!!

Отвечает: Копылов Александр Иванович !!! Здравствуйте, Азарян Сатеник Вагановна! Решение верное. Повторный ответ ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Специалист) ∙ Дата редактирования: 23.10.2007, 23:11

Ответ отправил: Копылов Александр Иванович (статус: 2-ой класс) Ответ отправлен: 22.10.2007, 12:09 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: Спасибо!

© 2001-2007, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале Версия системы: 4.61.1 от 16.10.2007
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru