| ← Май 2011 → | ||||||
|
6
|
||||||
|
9
|
11
|
15
|
||||
|
24
|
28
|
|||||
За последние 60 дней ни разу не выходила
Сайт рассылки:
http://rusfaq.ru
Открыта:
14-07-2005
Статистика
0 за неделю
RFpro.ru: Консультации по математике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 183047: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос Помогите решить. Заранее спасибо! пример на фото ниже. Вопрос № 183047:
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос
Отправлен: 04.05.2011, 17:35 Отвечает Орловский Дмитрий (Академик) : Здравствуйте, Посетитель - 349343! 
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Академик)
Вопрос № 183053:
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Отправлен: 04.05.2011, 20:19 Отвечает Роман Селиверстов (Академик) : Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич! 1.7 2.7 3.7 4.7 Это область, отсекаемая от круга с центром в (1,0) радиуса 1 кругом с центром в (-1,0) радиуса 2. Причем часть меньшей окружности входит в область, а большей - нет. 5.7 Интегрируя второе выражение по х, получим: Из условия f(0)=0 получаем С=0 и: 6.7 7.7 Функция аналитичная и однозначная в областях: Слагаемые 8.7 z1 - полюс первого (разница между порядками ненулевых производных знаменателя и числителя) порядка z2 и z3 - полюса второго порядка 9.7 Интеграл равен нулю, поскольку отсутствует коэффициент возле 1/z (вычет). 10.7 11.7
Ответ отправил: Роман Селиверстов (Академик)
Отвечает Орловский Дмитрий (Академик) : Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич! 1.14 Кубический корень из z=i/27 извлекаем по формуле Муавра: |z|1/3(cos((arg(z)+2*pi*k)/3)+i*sin((arg(z)+2*pi*k)/3)) (k=0,1,2) |z|=1/27; arg(z)=Pi/2 (|z|1/3=1/3) При k=0 получаем первое значение(1/3)*(cos(Pi/6)+i*sin(Pi/6))=(√3+i)/6 При k=1 получаем второе значение(1/3)*(cos(5Pi/6)+i*sin(5Pi/6))=(-√3+i)/6 При k=2 получаем третье значение(1/3)*(cos(3Pi/2)+i*sin(3Pi/2))=-i/3 Ответ: (√3+i)/6; (-√3+i)/6; -i/3 2.14 ab=eb(ln|a|+i*(arg(a)+2Pi*k)) a=-i; |a|=1; ln|a|=ln1=0; arg(a)=-Pi/2; b=4i (-i)4i=e4i(0+i(-Pi/2+2Pi*k))=e2Pi-8Pi*k (k=0,±1,±2,...) 3.14 Вычисления проводим по формулам: Arccos z=-i*Ln(z+√(z2-1)) Ln z=ln|z|+iarg(z)+2*Pi*k*i z+√(z2-1)=(-3±√(10))i 1)|(-3+√(10))i|=√(10)-3 arg((-3+√ ;(10))i)=Pi/2 Ln(-3+√(10))i)=ln(√(10)-3)+i*Pi/2+2*Pi*k*i Первая серия значений арккосинуса -i*ln(√(10)-3)+Pi/2+2*Pi*k 2)|(-3-√(10))i|=√(10)+3 arg((-3-√(10))i)=-Pi/2 Ln(-3-√(10))i)=ln(√(10)+3)-i*Pi/2+2*Pi*k*i Вторая серия значений арккосинуса -i*ln(√(10)+3)-Pi/2+2*Pi*k 4.14  5.14 Воспользуемся формулами Коши-Римана: vx=-uy vy=ux Из первого уравнения находим vx=[(e2x+1)/ex]sin y=(ex+e-x)sin y Интегрируя по x, находим v=(ex-e-x)sin y+C(y) Подставляя это во второе уравнение, имеем (ex-e-x)cos y+C'(y)=(ex-e-x)cos y C'(y)=0 ---> C(y)=C=const Таким образом f(x+iy)=(ex +e-x)cos y+i(ex-e-x)sin y+C) f(0)=2+C=2 ---> C=0 Ответ: f(x+iy)=(ex+e-x)cos y+i(ex-e-x)sin y 6.14 Интегрируя по частям, находим ∫(z+1)ezdz=∫(z+1)d(ez)=(z+1)ez-∫ezdz=(z+1)ez-ez+C=z*ez+C По формуле Ньютона-Лейбница рассматриваемый интеграл I=z*ez|-ii=i*ei+i*e-i=i*(cos1+i*sin1)+i*(cos1-i*sin1)=2i*cos1 7.14  8.14 1) z=0 sin3z эквивалентен 3z 1-cos z эквивалентен z2/2 f(z) эквивалентна 3z/(z*(z2/2))=6/z2 ---> полюс второго порядка 2) z=2*Pi*n (n≠0) sin3z=sin3(z-2*Pi*n) эквивалентен 3(z-2*Pi*n) 1-cos z=2sin2(z/2)=2sin2((z-2*Pi*n)/2) эквивалентен 2((z-2*Pi*n)/2)2=(z-2*Pi*n)2/2 f(z) эквивалентна 3(z-2*Pi*n)/(2*Pi*n(z-2*Pi*n)/2)2/2)=3/(Pi*n*(z-2*Pi*n)) ---> полюс первого порядка 9.14 Интеграл равен 2*Pi*i, умноженному на вычет подынтегральной функции в нуле. Вычет равен коэффициенту при 1/z в разложении ряда Лорана. Подынтегральная функция четна, поэтому в ряде Лорана нечетные степени отсутствуют. Следовательно, коэффициент при 1/z равен нулю, а вместе с ним равен нулю и вычет. Ответ: интеграл равен нулю. 10.14 Интеграл равен 2*Pi*i, умноженному на вычет подынтегральной функции f(z) в нуле. f(z) можно представить в виде f(z)=φ(z)/ψ(z), где φ(z)=ln(z+2), ψ(z)=sin z. При этом φ(0)=ln2, ψ'(0)=cos0=1. Вычет в этом случае равен φ(0)/ψ'(0)=ln2 Ответ: интеграл равен 2*Pi*i*ln2 11.14 После замены z=eit (dt=dz/iz; sin t=(z-1/z)/2i, получаем, что рассматриваемый и нтеграл I=2∫|z|=1f(z)dz, где f(z)=1/(√(35)z2-12iz-√(35)) Нули знаменателя: z1=5i/√(35) z2=7i/√(35) Внутрь круга |z|<1 попадает только z1, поэтому I=2*2*Pi*i*(вычет f(z) в нуле). Для вычисления вычета представим f(z) в виде φ(z)/ψ(z), где φ(z)=1 ψ(z)=√(35)z2-12iz-√(35) По известной формуле вычет равен φ(0)/ψ'(0) φ(0)=1 ψ'(z)=2√(35)z-12i; ψ'(z1)=-2i Ответ: I=-2*Pi
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Академик)
Отвечает Жерар (Специалист) : Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич! 1.25. 1.26. 2.25. 2.26. 3.25. Арктангенс комплексного числа z = x + iy вычисляется по формуле В данном случае z = 3/5 + i4/5 и 3.26. Синус комплексного числа z = x + iy вычисляется по формуле В данном случае z = π/4 + i и 5.14. Запишем действительную часть в виде и воспользуемся условием Коши-Рима на: В данном случае имеем откуда С другой стороны и Тогда С'(x) = 0 ⇒ C(x) = C и Следовательно, искомая аналитическая функция будет иметь вид или, с учётом f(0) = 1/2 + C = 3, 5.25. Воспользуемся условием Коши-Римана: откуда С другой стороны и Тогда С'(y) = 0 ⇒ C(y) = C и Следовательно, искомая аналитическая функция будет иметь вид или, с учётом f(0) = eiπ/2 + C = i + C = 1+i, 5.26. Воспользуемся условием Коши-Римана: откуда С другой стороны и Тогда С'(x) = 0 ⇒ C(x) = C и Следовательно, искомая аналитическая функция будет иметь вид или, с учётом f(0) = 1 + C = 1, 6.25. Кривая L представляет собой полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, соединяющею точки z1 = -i и z2 = i. Подинтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, так как для u(x,y) = x - sin y ch x и v(x,y) = y + cos y sh x выполняется условие Коши-Римана: Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования, и можно использовать формулу Ньютона-Лейбница: 6.26. Отрезок AB представляет собой часть прямой y = 2x, где 0 ≤ x ≤ 1. Подинтегральная функция не является аналитической, так как для u(x,y) = x3 - xy2 и v(x,y) = x2y - y3 не выполняется условие Коши-Римана: Следовательно, формулу Ньютона-Лейбница использовать нельзя. Так как y = 2x, то можно записать интеграл в параметриче ской форме, взяв в качестве параметра x. Тогда z = x + iy = x(1+2i), dz = (1+2i)dx и интеграл будет равен 7.25. Функция имеет особые точки z1 = 0, z2 = 6, z3 = -12, то есть является аналитической и однозначной в областях {z: 0<|z|<6}, {z: 6<|z|<12}, {z: |z|>12}. Представим функцию в виде суммы элементарных дробей: откуда A+C+D = 6A+B+12C-6D = 0, -72A+6B = 6, -72B = -144, B = 2, A = D = 1/12, C = -1/6. Следовательно, Первые два слагаемых при всех z войдут в главную часть ряда Лорана. Для третьего слагаемого при |z|<6 имеем: а при |z|>6: Для последнего слагаемого при |z|<12 имеем: а при |z|>12: Тогда при 0<|z|<6 получаем при 6<|z|<12: а при |z|>12: 7.26. Функция имеет особые точки z1 = 0, z2 = 10, z3 = -5, то есть является аналитической и однозначной в областях {z: 0 <|z|<5}, {z: 5<|z|<10}, {z: |z|>10}. Представим функцию в виде суммы элементарных дробей: откуда -A-C+D = 5A-B+10C+5D = 0, 50A+5B = 5, 50B = 100, B = 2, A = -1/10, D = 1/10, C = 1/5. Следовательно, Первые два слагаемых при всех z войдут в главную часть ряда Лорана. Для третьего слагаемого при |z|<5 имеем: а при |z|>5: Для последнего слагаемого при |z|<10 имеем: а при |z|>10: Тогда при 0<|z|<5 получаем < img src="/php/formula.php?id=7744" border="0"> при 5<|z|<10: а при |z|>10: 8.26. Поскольку числитель и знаменатель дроби - аналитические функции, то особыми точками являются нули знаменателя, то есть корни уравнения ez - 1 = 0. Очевидно, что существует бесконечно много особых точек - z = i·2πk, k∈Z. Так как в любой окрестности подобной точки функция является однозначной аналитической, то z = i·2πk - изолированные особые точки. Так как то z = i·2πk - полюсы. Порядок полюса в данном случае совпадает с порядком нуля аналитической функции, стоящей в знаменателе, который, в свою очередь, определяется как наименьший порядок не равной нулю производной этой функции. Для функции ez - 1, очевидно, все производные равны ez, что даё т в точках вида z = i·2πk ненулевое значение 1. Поэтому z = i·2πk - полюса первого порядка. 9.25. Подинтегральная функция аналитична на всей плоскости, кроме единственной изолированной особой точки z = 0, которая, очевидно, является полюсом кратности 3. Вычет в этой точке будет равен Согласно основной теореме о вычетах, интеграл будет равен 9.26. Подинтегральная функция аналитична на всей плоскости, кроме единственной изолированной особой точки z = 0, которая, очевидно, является полюсом кратности 3. Вычет в этой точке будет равен Согласно основной теореме о вычетах, интеграл будет равен
Ответ отправил: Жерар (Специалист)
Отвечает Alejandro (10-й класс) : Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич!    
Ответ отправил: Alejandro (10-й класс)
Отвечает Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) : Здравствуйте, Юдин Евгений Сергеевич! 11.25 После замены z=eit (dt=dz/iz; sin t=(z-1/z)/2i, получаем, что рассматриваемый интеграл I=2∫|z|=1f(z)dz, где f(z)=1/(√3 z2 - 4iz - √3) Нули знаменателя: z1 = i/√3 z2 = i√3 Внутрь круга |z|<1 попадает только z1, поэтому I=2*2*Pi*i*(вычет f(z) в нуле). Для вычисления вычета представим f(z) в виде φ(z)/ψ(z), где φ(z) = 1 ψ(z) = √3 z2 - 4iz - √3 Тогда вычет равен φ(0)/ψ'(0) φ(0) = 1 ψ'(z) = 2√3 z - 4i; ψ'(z1) = -2i Ответ: I = -2*Pi ----- Люби своего ближнего, как самого себя
Ответ отправил: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Вопрос № 183064:
Здравствуйте! Решите пожалуйста пределы:
Отправлен: 05.05.2011, 16:35 Отвечает Жерар (Специалист) : Здравствуйте, Дмитрий! Первый вариант 1. Распишем знаменатель по формуле a4 - b4 = (a - b)(a3 + a2b + ab2 + b3): 2. Воспользуемся формулой a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2): 3. Воспользуемся вторым замечательным пределом: 4. Так как числитель и знаменатель обращаются в ноль при x = -1, то можно сократить их на x+1: 6. Воспользуемся первым замечательным пределом и следствиями из второго (lim ln(1+x)/x = lim ((1+x)a-1)/(ax) = 1 при x→0): 7. Воспользуемся первым замечательным пределом и следствиями из него (lim tg x/x = lim arcsin x/x = 1 при x→0): 8. Воспользуемся замечательными пределами и следствиями из них: Второй вариант 1. Распишем числитель по формуле a4 - b4 = (a - b)(a3 + a2b + ab2 + b3), а знаменатель - по формуле a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2): 2. Так как числитель и знаменатель обращаютс я в ноль при x = -1, то можно сократить их на x+1: 3. Воспользуемся вторым замечательным пределом: 7. Разложим подкоренное выражение в знаменателе: 9. Воспользуемся первым замечательным пределом:
Ответ отправил: Жерар (Специалист) Оценка ответа: 5
Отвечает Орловский Дмитрий (Академик) : Здравствуйте, Дмитрий! Второй вариант. 4) lim(3x2-5x)/sin3x=lim(3x/sin3x)*((3x2-5x)/3x)=lim(3x/sin3x)*lim((3x2-5x)/3x)=1*lim(x-5/3)=-5/3 5) Числитель эквивалентен x3/2, а знаменатель имеет порядок заведомо меньший, чем x. Поэтому рассматриваемый предел равен ∞ 6) Вычитаемое эквивалентно x5/2, поэтому вся разность эквивалентна -x5/2, Следовательно, искомый предел равен -∞
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Академик) Оценка ответа: 5
Отвечает Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) : Здравствуйте, Дмитрий! Первый вариант 5. Воспользуемся первым замечательным пределом, но сначала преобразуем: Сделаем замену: x - 1 = t, тогда x = t + 1, x → 1 ⇔ t → 0. Получим: Второй вариант 5. 8. Используем первый замечательный предел, чтобы заменить sin(3x) на 3x и второй, при выводе формулы (1) Покажем, что: Сделаем замену ax - 1 = t, прологарифмируем: x ln(a) = ln(t+1) или x = ln(t+1) / ln(a), x → 0 ⇔ t → 0 А тогда исходный предел равен: 10. Воспользуемся вторым замечательным пределом и формулой (1) из примера 8 Рассмотрим предел: А тогда применим Получим Рассмотрим предел: Воспользуемся формулой: А тогда: ----- Люби своего ближнего, как самого себя
Ответ отправил: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.31 от 07.05.2011 |
...
| В избранное | ||
