Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Октябрь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессионал
Рейтинг: 3128
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 2198
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1386
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:1038
Дата выхода:25.10.2009, 13:00
Администратор рассылки:Калашников О.А., Руководитель
Подписчиков / экспертов:227 / 149
Вопросов / ответов:2 / 2

Вопрос № 173434: Здравствуйте,ребят помогите решить 3 примера.Заранее благодарю...

Вопрос № 173436: Уважаемые эксперты, помогите разобраться в парочке кратных и криволинейных интегралов. 1) Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат к полярным: ∫(от 1 до -1)dx∫(от sqrt(1-x^2) до 0 )tg(x^2+y^2)dy ...
Вопрос № 173434:

Здравствуйте,ребят помогите решить 3 примера.Заранее благодарю

Отправлен: 19.10.2009, 19:02
Вопрос задал: katysprite
Всего ответов: 1
Страница вопроса »

Отвечает Kom906, 10-й класс :
Здравствуйте, katysprite.

1-ая задача

(- i)5i = e5i * Ln(- i)

Так как:

Ln(z) = ln|z| + i*arg(z) + 2*pi*i*n, где n ∈ Z (Z - множество целых чисел)

*** обозначение Ln(z) подразумевает многозначную функцию (принимающую несколько значений для одного и того же аргумента), а ln|z| - это однозначная функция

здесь z = - i, |z| = |- i| = 1, arg(z) = arg(- i) = (- pi/2), то:

Ln(- i) = ln|- i| + i*arg(- i) + 2*pi*i*n = ln(1) + i*(- pi/2) + 2*pi*i*n = 0 - i*(pi/2) + 2*pi*i*n = - i*(pi/2) + 2*pi*i*n, где n ∈ Z

Тогда:

(- i)5i = e5i * Ln(- i) = e5i * [- i*(pi/2) + 2*pi*i*n] = e- (5/2)*(i^2)*pi + 10*pi*(i^2)*n = e- (5/2)*(- 1)*pi + 10*pi*(- 1)*n =

= e(5/2)*pi - 10*pi*n = e(5/2) * pi * (1 - 4*n)

Так как n = 0; ±1; ±2; ..., то можно переобозначить m = - n, где n, m ∈ Z

(- i)< sup>5i = e(5/2) * pi * (1 + 4*m), где m ∈ Z

Ответ: (- i)5i = e(5/2) * pi * (1 + 4*m), где m ∈ Z


2-ая задача

Так как:

arccos(z) = - i * Ln(z + √(z2 - 1))

здесь z = - 3i, тогда:

arccos(- 3i) = - i * Ln(- 3i + √((- 3i)2 - 1)) = - i * Ln(- 3i + √(- 9 - 1)) = - i * Ln(- 3i + √(- 10)) = - i * Ln(- 3i ± i*√(10))

Так как:

Ln(z) = ln|z| + i*arg(z) + 2*pi*i*n, где n ∈ Z

здесь z1 = - 3i - i*√(10) и z2 = - 3i + i*√(10)

|z1| = |- 3i - i*√(10)| = |- 3 - √(10)| = 3 + √(10)

|z2| = |- 3i + i*√(10)| = |- 3 + √(10)| = √(10) - 3

arg(z1) = arg(- 3i - i*√(10)) = - pi/2

arg(z2) = arg(- 3i + i*√(10)) = + pi/2

Тогда:

Ln(z1) = Ln(- 3i - i* √(10)) = ln(3 + √(10)) + i*(- pi/2) + 2*pi*i*n = ln(√(10) + 3) - i*(pi/2) + 2*pi*i*n, где n ∈ Z

Ln(z2) = Ln(- 3i + i*√(10)) = ln(- 3 + √(10)) + i*(pi/2) + 2*pi*i*n = ln(√(10) - 3) + i*(pi/2) + 2*pi*i*n, где n ∈ Z

⇒ arccos(- 3i) = - i * { ln(√(10) + 3) - i*(pi/2) + 2*pi*i*n } = - i*ln(√(10) + 3) - (pi/2) + 2*pi*n, где n ∈ Z

⇒ arccos(- 3i) = - i * { ln(√(10) - 3) + i*(pi/2) + 2*pi*i*n } = - i*ln(√(10) - 3) + (pi/2) + 2*pi*n, где n ∈ Z

Ответ:

arccos(- 3i) = - i*ln(√(10) + 3) - (pi/2) + 2*pi*n, где n ∈ Z

arccos(- 3i) = - i*ln(√(10) - 3) + (pi/2) + 2*pi*n, где n ∈ Z


3-ья задача

Так как:

3√(z) = {3√(|z|) * e(arg(z) + 2*pi*k) * i / 3; k = 0, 1, 2}

*** здесь имеется ввиду множество решений, а, именно, три решения

Здесь: z = (i/27), arg(z) = (pi/2), |z| = |i/27| = (1/27)

Тогда:

3√(i/27) = {3√(1/27) * e((pi/2) + 2*pi*k) * i / 3; k = 0, 1, 2} = {(1/3) * e(1 + 4*k) * pi * i / 6; k = 0, 1, 2} =

= { (1/3) * epi * i / 6; (1/3) * e5 * pi * i / 6; (1/3) * e3 * pi * i / 2 } =

= { (1/3) * [cos(pi/6) + i*sin(pi/6)]; (1/3) * [cos(5*pi/6) + i*sin(5*pi/6)]; (1/3) * [cos(3*pi/2) + i*sin(3*pi/2)] } =

= { (1/3) * [(√(3)/2) + i*(1/2)]; (1/3) * [cos(pi - (pi/6)) + i*sin(pi - (pi/6))]; (1/3) * [0 + i*(- 1)] } =

= { (1/6) * [√(3) + i]; (1/3) * [- cos(pi/6) + i*sin(pi/6)]; (- i/3) } =

= { (1/6) * [√(3) + i]; (1/6) * [- √(3) + i]; (- i/3) } =

= { (1/6) * [± √(3) + i]; (- i/3) }

Ответ: 3√(i/27) = { (1/6) * [± √(3) + i]; (- i/3) }



Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Ответ отправлен: 19.10.2009, 21:42

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 255590 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 173436:

    Уважаемые эксперты, помогите разобраться в парочке кратных и криволинейных интегралов.
    1) Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат к полярным:
    ∫(от 1 до -1)dx∫(от sqrt(1-x^2) до 0 )tg(x^2+y^2)dy

    2) Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями
    z=x^2+y^2; x+y=1 ; x>=0 ; y>=0 ; z>=0
    Если есть возможность помочь , буду ОЧЕНЬ признателен, и если желательно подробненько

    Отправлен: 19.10.2009, 19:23
    Вопрос задал: Sasha23, 1-й класс
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »

    Отвечает Kom906, 10-й класс :
    Здравствуйте, Sasha23.

    Задача 1

    Область интегрирования (область D) задана условиями: - 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √(1 - x2). Это - верхняя половина круга, образованного окружностью радиуса R = 1 и с центром в начале координат (уравнение окружности легко получить из условия y = √(1 - x2) ⇒ y2 = 1 - x2 ⇒ y2 + x2 = 1)

    Переходим к полярным координатам по формулам: x = r*cos(φ), y = r*sin(φ). Якобиан преобразования: J = r

    В полярных координатах данная область D будет определяться условием: 0 ≤ φ ≤ pi, 0 ≤ r ≤ 1

    Подынтегральная функция в полярных координатах имеет вид:

    f(x, y) = tg(x2 + y2) = tg([r*cos(φ)]2 + [r*sin(φ)]2) = tg(r2*[cos2(φ) + sin2(φ)]) = tg(r2)

    ⇒ f(φ, r) = tg(r2)

    Тогда искомый интеграл:

    I = D ∫ dx ∫ f(x,y) dy = D ∫ dφ ∫ f(φ, r)*J dr = ∫0pi dφ ∫ 01 tg(r2)*r*dr =

    = /// вносим r2 под знак дифференциала: d(r2) = (r2)' * dr = 2*r*dr /// =

    = /// учитываем, что "внутренний" (который правее) интеграл не зависит от φ, поэтому двойной интеграл равен произведению обыкновенных определенных интегралов /// =

    = { ∫0pi dφ } * { ∫ 01 tg(r2)*(1/2)*d(r2) } = { φ | 0pi } * (1/2) * { ∫ 01 [ sin(r2) / cos(r2) ]*d(r2) } =

    = /// вносим cos(r2) под знак дифференциала: d(cos(r2)) = (cos(r2))' * d(r2) = - sin(r2)*d(r2) /// =

    = {pi - 0} * (1/2) * (- 1) * { ∫ 01 d(cos(r2)) / cos(r2) } = - (pi/2) * ln |cos(r2)| | 01 = - (pi/2) * { ln |cos(1)| - ln |cos(0)| } =

    = - (pi/2) * { ln |cos(1)| - ln |1| } = - (pi/2) * { ln |cos(1)| - 0 } = - (pi/2) * ln |cos(1)| >>> 0.967

    *** под знаком >>> я имел ввиду знак "приблизительно равно"
    *** cos(1) → < 1 ⇒ ln |cos(1)| < 0

    Ответ: I = - (pi/2) * ln |cos(1)| >>> 0.967


    Задача 2

    Тело образовано:

    - плоскостью x = 0 - плоскость yOz, перпендикулярная плоскости xOy (из условия x ≥ 0);

    - плоскостью y = 0 - плоскость xOz, перпендикулярная плоскости xOy (из условия y ≥ 0);

    - плоскост ью z = 0 - плоскость xOy (из условия z ≥ 0);

    - плоскостью x + y = 1, перпендикулярной плоскости xOy;

    - поверхностью z = x2 + y2 - параболоид вращения

    Следовательно тело ограничено снизу плоскостью xOy (z = 0), сверху - параболоидом, по бокам - плоскостями xOz (y = 0) и yOz (x = 0) и x + y = 1

    Проекция тела на плоскость xOy (z = 0) имеет вид:

    Значит тело можно задать ограничениями:

    0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ (1 - x), 0 ≤ z ≤ (x2 + y2)

    Тогда объем тела равен:

    V = V ∫ dx ∫ dy ∫ dz = ∫01 dx ∫01-x dy ∫0x^2+y^2 dx = ∫01 dx ∫01-x dy * z | 0x^2+y^ 2 =

    = ∫01 dx ∫01-x dy * (x2 + y2 - 0) = ∫ ;01 dx ∫01-x (x2 + y2) * dy = ∫01 dx * (y * x2 + (1/3) * y3) | 01-x =

    = (1/3) * ∫01 dx * (3 * y * x2 + y3) | 01-x = (1/3) * ∫01 [3 * (1 - x) * x2 + (1 - x)3] * dx =

    = (1/3) * ∫01 [- 4x3 + 6x2 - 3x + 1] * dx = (1/3) * [- 4*(1/4)*x4 + 6*(1/3)*x3 - 3*(1/2)*x2 + x] | 01 =

    = (1/3) * [- x4 + 2*x3 - (3/2)*x2 + x] | 01 = (1/3) * [- 1 + 2 - (3/2) + 1] = (1/3) * (1/2) = 1/6

    Ответ: V = (1/6) единиц объема

    Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
    Ответ отправлен: 21.10.2009, 18:11

    Оценка ответа: 3

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 255676 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.10 от 20.10.2009
    В избранное