RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 172945: Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной: Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: 4 ∫(dx)/(3√((x-3)2)) 0 ... Вопрос № 172946: Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной: Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a>0). (x... Вопрос № 172947: Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной: Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость xOy z=0,... Вопрос № 172949: Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной: Найти общее решение дифференциального уравнения. x2y'+y2-2xy=0 ... Вопрос № 172950: Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной: Найти общее решение дифференциального уравнения. y''-2y'tgx=sinx ... Вопрос № 172951: Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной: Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y0, y'(0)=y'0 Вопрос № 172952: Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной: Исследовать сходимость числового ряда ∞ ∑1/(nlnn) n=2 ... Вопрос № 172953: Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной: Вычислить определённый интеграл 0,5 ∫(sinx2)/(x2)dx 0 с точностью до 0.001, разложив подыннтегральныую функцию в ряд... Вопрос № 172955: Здравствуйте, уважаемые эксперты, помогите с решением задачи: Найти интервал сходимости степенного ряда. ∞ ∑(3n/(√(2n(3n-1))))xn n=1 пс: 2 дня до сессии Вопрос № 172945:
Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной:
Отправлен: 05.10.2009, 23:51 Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Студент : Здравствуйте, Мария Романова. Само вычисление интеграла приведено здесь. В дополнение можно добавить следующее. Т.к. функция f(x) = (x-3)(1/3) непрерывна в точке x=3, то lim{x→3+0}f(x) = lim{x→3-0}f(x) = f(3) = 0.
Приложение:
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Студент
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Мария Романова. Вычислим интеграл: S (dx)/(x-3)^(3/2) = S (d(x-3))*(x-3)^(-3/2) = (-2)*(x-3)^(-1/2) Посчитаем интеграл на заданных пределах согласно формуле Ньютона-Лейбница: (-2)*(4-3)^(-1/2) - (-2)*(0-3)^(-1/2) = -2 * (-2)*i^(-1/2), где i=(-1)^(1/2) То есть на оси ОХ данный интеграл рассчитан быть не может, следовательно, он расходится.
Ответ отправил: Луковников Алексей, 2-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 172946:
Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной:
Отправлен: 05.10.2009, 23:52 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал : Здравствуйте, Мария Романова. Поскольку x = r ∙ cos φ, y = r ∙ sin φ, постольку, выполняя переход от прямоугольных координат к полярным, из заданного уравнения кривой получаем ((r ∙ cos φ)2 + (r ∙ sin φ)2)2 = a2 ∙ (2 ∙ (r ∙ cos φ)2 + 3 ∙ (r ∙ sin φ)2), (r2 ∙ (cos2 φ + sin2 φ))2 = a2 ∙ (2 ∙ r2 ∙ (cos2 φ + sin2 φ) + r2 ∙ sin2 φ), r4 = a2 ∙ r2 ∙ (2 + sin2 φ), r2 = a2 ∙ (2 + sin2 φ). Изменению полярного угла φ от нуля до π/2 соответствует четвертая часть искомой площади. Поэтому S = 4 ∙ (D)∫∫r 729; dr ∙ dφ = 4 ∙ 0∫π/2 dφ ∙ 0∫a√(2 + (sin φ)^2) r ∙ dr = 2 ∙ 0∫π/2 dφ ∙ r2|0a√(2 + (sin φ)^2) = = 2 ∙ a2 ∙ 0∫π/2 (2 + sin2 φ) ∙ dφ = 2 ∙ a2 ∙ 0∫π/2 (2 + 1/2 ∙ (1 – cos 2φ)) ∙ dφ = = 2 ∙ a2 ∙ 0∫π/2 (5/2 – 1/2 ∙ cos 2φ) ∙ dφ = 2 ∙ a2 ∙ (5/2 ∙ φ – 1/4 ∙ sin 2φ)|0π/2 = = 2 ∙ a2 ∙ 5/2 ∙ π/2 = 5πa2/2. Ответ: 5πa2/2. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал
Оценка ответа: 5
Вопрос № 172947:
Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной:
Отправлен: 05.10.2009, 23:53 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал : Здравствуйте, Мария Романова. Анализируя уравнения поверхностей, ограничивающих заданное тело, устанавливаем следующее: - уравнение z = 0 является уравнением плоскости xOy; - уравнение z = 1 – x2 является уравнением параболического цилиндра, параллельного оси ординат (оси Oy); - уравнение y = 0 является уравнением плоскости xOz; - уравнение y = 3 – x является уравнением наклонной плоскости, параллельной оси аппликат (оси Oz). Выполним требуемые рисунки.  Рисунок 1 – Заданное тело  Рисунок 2 – Проекция заданного тела на плоскость xOy Прямая, параллельная оси аппликат, пересекает поверхность, ограничивающую тело, в двух точках. Аппликата первой точки равна нулю (точка входа лежит на плоскости xOy), аппликата вт орой точки равна z = z = 1 – x2 (точка выхода лежит на поверхности параболического цилиндра). Следовательно, объем тела равен v = (V)∫∫∫ dx ∙ dy ∙ dz = (D)∫∫ dx ∙ dy ∙ 0∫1 – x^2 dz = (D)∫∫(1 – x2) ∙ dx ∙ dy. Прямая, параллельная оси ординат, пересекает трапецию, лежащую в основании тела, в двух точках. Ордината первой точки равна нулю (точка входа лежит на прямой Ox), ордината второй точки принадлежит прямой y = 3 – x. Переменная x изменяется от -1 до 1. Продолжаем дальше интегрирование: (D)∫∫(1 – x2) ∙ dx ∙ dy = -1∫1 (1 – x2) ∙ dx ∙ 0∫3 – x dy = -1∫1 (1 – x2) ∙ (3 – x) ∙ dx = -1∫1 (3 – x – 3x2 + x3) ∙ dx = = (3x – x2/2 – x3 + x 4/4)|-11 = (3 – 1/2 – 1 + 1/4) – (-3 – 1/2 + 1 + 1/4) = 7/4 – (-9/4) = 16/4 = 4 (куб. ед.). Ответ: 4 куб. ед. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал
Оценка ответа: 5
Вопрос № 172949:
Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной:
Отправлен: 05.10.2009, 23:56 Отвечает Kom906, 10-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. Решаем данное диф. уравнение как линейное диф. уравнение первого порядка. 1. Перепишем уравнение в таком виде: x2y' - 2xy = - y2 Пусть y = u*v, тогда: y' = u'v + uv' x2(u'v + uv') - 2xuv = - u2v2 v(x2u' - 2xu) + x2uv' = - u2v2 (1) Согласно методу Бернулли, принимаем: x2u' - 2xu = 0 ⇒ xu' - 2u = 0 Получим уравнение с разделяющимися переменными: xu' = 2u x*(du/dx) = 2u du/u = 2dx/x Интегрируем это уравнение: ∫du/u = ∫2dx/x ln(u) = 2*ln(x) = ln(x2) ⇒ u = x2 Подставляем в уравнение (1), то есть в уравнение x2uv' = - u2v2, получим: x2*x2*v' = - x4* v2 ⇒ v' = - v2 Опять же получим уравнение с разделяющимися переменными: dv/dx = - v2 dv/v2 = - dx Интегрируем полученное уравнение: ∫dv/v2 = - ∫dx - (1/v) + C1 = - x + C2, где C1, C2 = const (1/v) = x + C, где C = C1 - C2 = const ⇒ v = 1/(x + C), где C = const Так как y = uv, то общее решение исходного уравнения: y = x2 / (x + C), где C = const 2. Проверка. y = x2 / (x + C) y' = {2x*(x + C) - x2*1} / (x + C)2 = (x2 + 2Cx) / (x + C)2 x2y' - 2xy + y2 = {[x2(x2 + 2Cx)] / (x + C)2} - {[2x3] / (x + C)} + {x4 / (x + C)2} = = {[x4 + 2Cx3 ] + x4] / (x + C)2} - {[2x3] / (x + C)} = {[2x3*(x + C)] / (x + C)2} - {[2x3] / (x + C)} = = {[2x3] / (x + C)} - {[2x3] / (x + C)} ≡ 0
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 172950:
Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной:
Отправлен: 05.10.2009, 23:57 Отвечает Ulitka71, 10-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. Обозначим y' = z z' - 2 z tgx = sinx Тогда это - линейное ур-е первого порядка. Решается через интегрирующий множитель. m(x) = exp(Int {-2*tgx dx}) = exp(2ln |cos x|) = cos^2 (x) Далее, z = (1/m(x))*(Int{f(x)*m(x) dx} + C1) z = (1/cos^2 (x))*(Int{sin (x) * cos^2 (x) dx} + C1) = -cos x / 3 + C1/ cos^2 (x) y' = -cos x / 3 + C1/ cos^2 (x) y = - sin(x) / 3 + C1*tg(x) + C2 -Это общее решение исходного диф. ур-я.
Ответ отправил: Ulitka71, 10-й класс
Вопрос № 172951:
Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной:
Отправлен: 05.10.2009, 23:58 Отвечает LfiN, 5-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. y''-2y'+y=16ex; y(0)=1, y'(0)=2; Найдем общее решение: Для начала решим однородное уравнение y''-2y'+y=0 Составляем характеристическое уравнение: λ2-2λ+1=0 Решая характеристическое уравнение получаем два одинаковых корня: λ1,2=1. В этом случае общее решение имеет вид y=c1ex+c2xex. Т. к. λ=1 является корнем характеристического уравнения кратности s=2, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (обозначим у с чертой за ξ): ξ=Ах2ex ξ'=A(2x+x2)ex ξ''=A(2+4x+x2)ex Подставляя выражения для y,y' ,y” в исходное уравнение, получаем 2Aex=16ex; A=8; ξ=8х2ex ⇒ y=c1ex+c2xex+8х2ex - общее решение. y(0)= c1; y'=c1ex+c2ex(1+x)+8ex(2x+x2) y'(0)=c1+c2 Получаем систему: с1=1; с1+с2=2. Отсюда с2=1. В итоге получаем y=ex+xex+8х2ex Рад был помочь! Удачи!!!
Ответ отправил: LfiN, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 172952:
Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной:
Отправлен: 05.10.2009, 23:58 Отвечает Луковников Алексей, 2-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. Предложенный ряд расходится по признаку Д'Аламбера.
Ответ отправил: Луковников Алексей, 2-й класс
Здравствуйте, Мария Романова. Запишем ряд в виде: ∑{n=1...∞} 1 / [(n + 1)*ln(n + 1)] Пусть f(x) = 1 / [(x + 1)*ln(x + 1)] При x > 0 выполняется f(x) > 0. Также: f'(x) = {1 / [(x + 1)*ln(x + 1)]}' = - {1 / [(x + 1)*ln(x + 1)]2} * {(x + 1)*ln(x + 1)}' = - {1*ln(x + 1) + [(x + 1)/(x + 1)]} / [(x + 1)*ln(x + 1)]2 = = - {ln(x + 1) + 1} / [(x + 1)*ln(x + 1)]2 При x > 0 выполняется f'(x) < 0, то есть функция убывающая Следовательно, можно применять интегральный признак Коши для анализа сходимости ряда, и согласно этому признаку ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом: ∫∞1 f(x)dx Проверяем сходимость интеграла ∫∞1 f(x)dx = ∫∞1 dx / [(x + 1)*ln(x + 1)] = lim{A->∞} ∫A1 dx / [(x + 1)*ln(x + 1)] = = /// вносим ln(x + 1) под знак дифференциала: d(ln(x + 1)) = (ln(x + 1))'dx = dx/(x + 1) /// = = lim{A->∞} ∫A1 d(ln(x + 1)) / ln(x + 1) = lim{A->∞} ln(ln(x + 1)) | A1 = = lim{A->∞} { ln(ln(A + 1)) - ln(ln(2)) } = ∞ То есть интеграл расходится Следовательно расходится и ряд, в соответствии с интегральным признаком Коши
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 172953:
Здравствуйте, уважаемы эксперты, помогите пожалуйста решить задачу из контрольной:
Отправлен: 05.10.2009, 23:59 Отвечает Kom906, 10-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. 1. Раскладываем подынтегральную функцию в ряд. Так как: sin(x) = {x} - {x3/3!} + {x5/5!} - {x7/7!} + ... = ∑{n=1...∞} (- 1)n+1x2n-1 / [(2n - 1)!] Этот ряд сходится (абсолютно) при любом действительном х Тогда: sin(x2) = {x2} - {x6/3!} + {x10/5!} - {x14/7!} + ... = ∑{n=1...∞} (- 1)n+1x2(2n-1) / [(2n - 1)!] = = ∑{n=1...∞} (- 1)n+1x4n-2 / [(2n - 1)!] И, также: sin(x2) / x2 = (1/x2) * [ {x2} - {x6/3!} + {x10/5!} - {x14/7!} + ... ] = = (1/x2) * ∑{n=1...∞} (- 1)n+1x4n-2 / [(2n - 1)!] = ∑{n=1...∞} (- 1)n+1x4n-4 / [(2n - 1)!] = = W 21;{n=0...∞} (- 1)nx4n / [(2n + 1)!] Оба этих ряда, аналогично, сходятся (абсолютно) при любом действительном х 2. Вычисляем интеграл Так как полученное разложение подынтегральной функции в ряд сходится (абсолютно) при любом действительном х, то этот ряд можно почленно интегрировать по любому интервалу. Тогда: ∫0.50 [sin(x2) / x2] * dx = ∫0.50 { ∑{n=0...∞} (- 1)nx4n / [(2n + 1)!] } * dx = = ∑{n=0...∞} { ∫0.50 [(- 1)nx4ndx] / [(2n + 1)!] } = ∑{n=0...∞} { [(- 1)nx4n+1] / [(4n + 1)*(2n + 1)!] } | 0.50 = = ∑{n=0...∞} { (- 1)n / [24n+1*(4n + 1)*(2n + 1)!] } Для приближенного вычисления с точностью до 0.001 достаточно принять за сумму ряда сумм у первых членов ряда, которые по модулю не меньше степени точности, то есть не меньше 0.001. Так как: | a0 | = | (- 1)0 / [21*1*1!] | = | 1/2 | = 1/2 > 0.001 | a1 | = | (- 1)1 / [25*5*3!] | = | - 1/960 | = 1/960 > 0.001 | a2 | = | (- 1)2 / [29*9*7!] | = | 1/23224320 | = 1/23224320 < 0.001 Значит: ∫0.50 [sin(x2) / x2] * dx = ∑{n=0...∞} { (- 1)n / [24n+1*(4n + 1)*(2n + 1)!] } ≈ ≈ ∑{n=0...1} { (- 1)n / [24n+1*(4n + 1)*(2n + 1)!] } = a0 + a1 = (1/2) - (1/960) = 479/960 Ответ: ∫0.50 [sin(x2) / x2] * dx ≈ 479/960 с точностью до 0.001
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 172955:
Здравствуйте, уважаемые эксперты, помогите с решением задачи:
Отправлен: 06.10.2009, 03:30 Отвечает _Ayl_, Студент : Здравствуйте, Мария Романова. Общий член ряда - 3n/(√(2n(3n-1)))xn Используем признак д'Аламбера в предельной форме: an+1/an = (3n+1/(√(2n+1(3(n+1)-1)))xn+1)/(3n/(√(2n(3n-1)))xn) = (3n+1*xn+1*√(2n(3n-1)))/(3n*xn*√(2n+1(3(n+1)-1))) = 3x*√(3n-1)/√(2*(3n+2)). Предел модуля данного выражения должен быть меньше 1. lim{n→+∞}|3x*√(3n-1)/√(2*(3n+2))| = lim{n→+∞}3|x|√((3n-1)/(6n+4)) = 3|x|*√(3/6) = 3|x|/√2 3|x|/√2 < 1 ⇔ |x| < √2/3 ⇔ -√2/3 < x < √2/3 Проверим предельные случаи: x = -√2/3: Ряд знакознакочередующийся, общий член равен: an = (-1)n3n√(2n)/(√(2n(3n-1))*3n) = (-1)n*1/√(3n-1) Т.к. lim{n→+∞}an = 0, а |an+1| < |an|, то ряд сходится согласно Теореме Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов. x = √2/3. Общий член равен: an = 3n√(2n)/(√(2n(3n-1))*3n) = 1/√(3n-1). Т.к. при n>(3+√13)/2 значение 1/√(3n-1) больше, чем 1/n, то ряд расходится. Следовательно, при x ∈ (-√2/3; √2/3) ряд сходится абсолютно, при x = -√2/3 ряд сходится условно, при всех остальных x ряд расходится.
Ответ отправил: _Ayl_, Студент
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.9 от 25.09.2009 |
, всем большое спасибо кто мне помог 
| В избранное | ||
