RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 172719: Уважаемые эксперты решите по теме Элементарная теория погрешностей 1. Определить,какое равенство точнее √(10,5)=3 ,24; 4/17=0,235 2. Округлить сомнительные цифры числа,оставив верные знаки : а) в узком смысле; б) в широком смыс... Вопрос № 172719:
Уважаемые эксперты решите по теме Элементарная теория погрешностей
Отправлен: 28.09.2009, 18:18 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал : Здравствуйте, Владыка Сарумян Коллайдер. 1. Из двух равенств точнее будет то, оценка относительной погрешности которого меньше. Рассмотрим первое равенство. Точное значение числа А = √(10,5) неизвестно, поэтому оценкой абсолютной погрешности его приближения числом a = 3,24 – значением числа A с точностью до 0,01 – является предельная абсолютная погрешность, равная ∆a ≥ |A – a|, где значение ∆a выбирают возможно меньшим, исходя из содержательных представлений (об этом говорится, например, в учебном пособии А. Д. Плотникова «Численные методы», вышедшем в издательстве ООО «Новое знание» в Минске в 2007 году, с. 10). Оценим абсолютную погрешность приближения. Поскольку (3,23)2 = 10,4329 < A2, (3,25)2 = 10,5625 > A2, то точное значение числа A удовлетворяет неравенству 3,23 < A < 3,25, или 3,24 – 0,01 < A < 3,25 + 0,001, A = 3,24 ± 0,01, то есть при a = 3,24 ∆a = 0,01. Взяв в качестве A его приближенное значение a, находим предельную относительную погрешность приближения для первого равенства – оценку относительной погрешности приближения: δa = ∆a/a = 0,01/3,24 ≈ 0,0031. Полученная вышеуказанным способом оценка относительной погрешности оказывается слишком грубой. Действительно, например, по «Четырехзначным математическим таблицам для средней школы» В. М. Брадиса определяем, что A = 3,240. Поэтому поступим несколько иначе, чтобы получить более точную оценку относительной погрешности. Воспользуемся, например, микрокалькулятором, при помощи которого получаем A = 3,24037 ≈ 3,2404. Тогда ∆a = |3,2404 – 3,24|, δa = ∆a/A = |3,2404 – 3,24|/3,2404 ≈ 0,00012. Рассмотрим второе равенство. В этом случае абсолютная погрешность приближения числа A = 4/17 числом a = 0,235 равна ∆ = |A – a| = = |4/1 7 – 0,235| = |(4 – 0.235 ∙ 17)/17|, а относительная погрешность этого приближения равна δ = ∆/A = |(4 – 0.235 ∙ 17)/17|/(4/17) = = (4 – 0.235 ∙ 17)/4 ≈ 0,0013. Поскольку оценка относительной первого равенства меньше оценки относительной погрешности второго равенства, то первое равенство формально следует признать более точным. Практически же точность обоих равенств можно считать одинаковой. 2. Как мы выяснили в мини-форуме вопроса, определение верной цифры в записи числа, понимаемой в узком (широком) смысле, гласит: «Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины (одной) единицы разряда, соответствующего этой цифре», т. е. общепринятое определение верной цифры называется определением верной цифры в узком смысле. а) Пусть дано приближенное число a = 34,834, которое имеет относительную погрешность δ = 0,1 % = 0,001. Тогда его абсолютная погрешность равна ∆a = a ∙ δ = 34,834 ∙ 0,001 = 0,035. Следовательно, верными в узком смысле являются первые три цифры в записи числа (ведь 0,1/2 = 0,05 > 0,035, но 0,01/2 = 0,005 < 0,035), и число a необходимо записать так: 34,8, а верными в широком смысле – тоже первые три цифры в записи числа (ведь 0,1 > 0,035, но 0,01 < 0,035), и число a необходимо записать так: 34,8. б) Пусть дано приближенное число a = 0,5748, абсолютная погрешность которого задана и равна ∆ = 0,0034 (это следует из того, что точное значение числа удовлетворяет неравенству a - ∆ ≤ A ≤ a + ∆). Тогда верными в узком смысле являются две цифры после запятой (ведь 0,01/2 = = 0,005 > 0,0034, но 0,001/2 = 0,0005 < 0,0034), и число a необходимо записать так: 0,57. Верными в широком смысле тоже являются две цифры (ведь 0,01 > 0,0034, но 0,001 < 0,0034), и число a необходимо записать так: 0,57. 3. а) Пусть число a = 11,445 имеет только верные в у зком смысле цифры в записи. Тогда предельная абсолютная погрешность равна ∆a = 0,0005, а предельная относительная погрешн ость равна δa = ∆a/a = 0,0005/11,445 ≈ 4 ∙ 10-5 = 0,004 %. В случае только верных в широком смысле цифр в записи числа ∆a = 0,001, δa = 0,001/11,445 ≈ 9 ∙ 10-5 = 0,009 %. Полагаю, что пример с числом a = 2,043 Вам не трудно будет рассмотреть самостоятельно. Если что непонятно, спрашивайте. И проверьте, пожалуйста, выкладки и логику рассуждений. Я тоже могу ошибаться... Успехов! С уважением. 
----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.9 от 25.09.2009 |
| В избранное | ||
