Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Октябрь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессионал
Рейтинг: 2565
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 2006
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1351
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:1018
Дата выхода:03.10.2009, 05:30
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:229 / 149
Вопросов / ответов:4 / 5

Вопрос № 172684: Вычислите sin"x+сos"x, если sinx+cosX=m "-шестая степень...

Вопрос № 172687: Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите с решением задачи: Дана функция z=sin(x+ay). Показать что: (d2z)/(dy2)=(a2)*(d2/dx2)...
Вопрос № 172692: Найти неопределённые интегралы. В двух первых примерах (а) и б)) проверить резльтаты дифференцированием. а) ∫sinxdx/3√(3+2cosx) б) ∫x2sin4xdx в) ∫ ((x2-x+1)dx)/(x4+...
Вопрос № 172694: Уважаемые эксперты помогите Вычислить длину кардиоиды r=3(1-cosφ) Эта задача уже была в вопросе 35751, хотелось бы развёрнутое решение. Всем спасибо....
Вопрос № 172684:

Вычислите sin"x+сos"x, если sinx+cosX=m
"-шестая степень

Отправлен: 27.09.2009, 11:56
Вопрос задал: tamir, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса »

Отвечает Kom906, 10-й класс :
Здравствуйте, tamir.

Как я понял, нужно вычислить (sin6(x) + cos6(x)), если (sin(x) + cos(x)) = m

Преобразуем выражение, которое надо вычислить:

sin6(x) + cos6(x) = [sin2(x)]3 + [cos2(x)]3 = [ sin2(x) + cos2(x) ] * [ sin4(x) - sin2(x)*cos2(x) + cos4(x) ] =

= 1 * [ sin4(x) + 2*sin2(x)*cos2(x) + cos4(x) - 3*sin2(x)*cos2(x)] = [ sin2(x) + cos2(x) ]2 - 3*sin2(x)*cos2(x) =

= 12 - 3*sin2(x)*cos2(x) = 1 - 3 * (1/4) * [ 2*sin(x)*cos(x) ]2 = 1 - (3/4) * sin2(2x)

Преобразуем известное выражение, сначала возведя его в квадрат:

[ sin(x) + cos(x) ]2 = m2

[ sin(x) + cos(x) ]2 = sin2(x) + 2*sin(x)*cos(x) + cos2(x) = 1 + 2*sin(x)*cos(x) = 1 + sin(2x)

⇒ 1 + sin(2x) = m2 ⇒ sin(2x) = m2 - 1

Тогда искомое выражение равно:

sin6(x) + cos6(x) = 1 - (3/4)*sin2(2x) = 1 - (3/4)*( m2 - 1 )2 = (1 + 6*m2 - 3*m4) / 4

Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Ответ отправлен: 27.09.2009, 12:52

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254750 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 172687:

    Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите с решением задачи:
    Дана функция z=sin(x+ay). Показать что:
    (d2z)/(dy2)=(a2)*(d2/dx2)

    Отправлен: 27.09.2009, 12:55
    Вопрос задал: Мария Романова, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »

    Отвечает Яна, Бакалавр :
    Здравствуйте, Мария Романова!
    ∂z/∂y=acos(x+ay) (1)
    ∂2z/∂y2=-a2sin(x+ay) (2)
    ∂z/∂x=cos(x+ay) (3)
    ∂2z/∂x2 =-sin(x+ay) (4)
    если в (2) во второй части -sin(x+ay) заменить на ∂2z/∂x2 соответственно (4), то получим
    ∂2z/∂y2=a2*∂2z/∂x2
    Подправлено оформление
    -----
    ∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич, Модератор
    ∙ Дата редактирования: 28.09.2009, 14:24 (время московское)

    Ответ отправил: Яна, Бакалавр
    Ответ отправлен: 27.09.2009, 13:17

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254754 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 172692:

    Найти неопределённые интегралы. В двух первых примерах (а) и б)) проверить резльтаты дифференцированием.
    а)
    ∫sinxdx/3√(3+2cosx)
    б)
    ∫x2sin4xdx
    в)
    ∫ ((x2-x+1)dx)/(x4+2x2-3)
    г)
    ∫{(√(x)-1)(6√(x)+1)dx}/{3√(x2)}

    Заранее огромное спасибо.

    Отправлен: 27.09.2009, 14:01
    Вопрос задал: Мария Романова, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »

    Отвечает Kom906, 10-й класс :
    Здравствуйте, Мария Романова.

    Первый интеграл

    ∫ [sin(x)*dx] / 3√(3 + 2*cos(x)) =

    = /// вносим выражение (3 + 2*cos(x)) под знак дифференциала: d(3 + 2*cos(x)) = (3 + 2*cos(x))'*dx = - 2*sin(x)*dx /// =

    = - (1/2) * ∫ d(3 + 2*cos(x)) / 3√(3 + 2*cos(x)) = - (1/2) * ∫ (3 + 2*cos(x))-1/3*d(3 + 2*cos(x)) =

    = - (1/2) * (1/(- (1/3) + 1)) * (3 + 2*cos(x))- (1/3) + 1 + C = - (3/4) * 3√(3 + 2*cos(x))2 + C, где C = const

    Проверка:

    { - (3/4) * 3√(3 + 2*cos(x))2 + C }' = - (3/4) * (2/3) * [1 / 3√(3 + 2*cos(x))] * [ 3 + 2*cos(x) ]' =

    = - (1/2) * [1 / 3√(3 + 2*cos(x))] * (- 2) * sin(x) = sin(x) / 3√(3 + 2*cos(x))

    Ответ: ∫ [sin(x)*dx] / 3√(3 + 2*cos(x)) = - (3/4) * 3√(3 + 2*cos(x))2 + C, где C = const


    Второй интеграл

    ∫ x2*sin(4x)*dx =

    = /// интегрируем по частям: u = x2; du = (x2)'*dx = 2x*dx; dv = sin(4x)*dx; v = ∫ sin(4x)*dx = - (1/4)*cos(4x) /// =

    = - (1/4)*x2*cos(4x) - 2*[- (1/4)]*∫ x*cos(4x)*dx = - (1/4)*x2*cos(4x) + (1/2)*∫ x*cos(4x)*dx =

    = /// интегрируем опять же по частям: u = x; du = (x)'*dx = dx; dv = cos(4x)*dx; v = ∫ cos(4x)*dx = (1/4)*sin(4x) /// =

    = - (1/4)*x2*cos(4x) + (1/2)*(1/4)*x*sin(4x) - (1/2)*(1/4)*∫ sin(4x)*dx =

    = - (1/4)*x2*cos(4x) + (1/8)*x*sin(4x) - (1/8)*[- (1/4)]*cos(4x) + C = - (1/4)*x2*cos(4x) + (1/8)*x*sin(4x) + (1/32)*cos(4x) + C, где C = const

    Проверка:

    { - (1/4)*x2*cos(4x) + (1/8)*x*sin(4x) + (1/32)*cos(4x) + C }' =

    = - (1/4)*2x*cos(4x) - (1/4)*x2*(- 4)*sin(4x) + (1/8)*1*sin(4x) + (1/8)*x*4*cos(4x) + (1/32)*(- 4)*sin(4x) =

    = - (1/2)*x*cos(4x) + x2*sin(4x) + (1/8)*sin(4x) + (1/2)*x*cos(4x) - (1/8)*sin(4x) = x2*sin(4x)

    Ответ: ∫ x2*sin(4x)*dx = - (1/4)*x2*cos(4x) + (1/8)*x*sin(4x) + (1/32)*cos(4x) + C, где C = const


    Третий интеграл

    ∫ [(x2 - x + 1)*dx] / (x4 + 2x2 - 3)

    а) раскладываем выражение в знаменателе на множители

    Пусть t = x2, тогда выражение в знаменателе примет вид: (t2 + 2t - 3). Так как для уравнения:

    t2 + 2t - 3 = 0

    корни имеют вид:

    t1,2 = - 1 ± √((- 1)2 + 3) = - 1 ± 2

    то есть t1 = - 3, t2 = 1

    то: t2 + 2t - 3 = (t + 3)*(t - 1)

    Значит: (x4 + 2x2 - 3) = (x2 + 3)*(x2 - 1)

    б) Раскладываем дробь на элементарные.
    Пусть:

    (x2 - x + 1) / (x4 + 2x2 - 3) = (x2 - x + 1) / [ (x2 + 3)*(x2 - 1) ] = [(Ax + B) / (x2 + 3)] + [(Cx + D) /(x2 - 1)]

    x2 - x + 1 = (Ax + B)*(x2 - 1) + (Cx + D)*(x2 + 3) = (A + C)*x3 + (B + D)*x2 + (- A + 3C)*x + (- B + 3D)

    Получим систему уравнений:

    { A + C = 0
    { B + D = 1
    { - A + 3C = - 1
    { - B + 3D = 1

    Решая, получим: A = (1/4), B = (1/2), C = - (1/4), D = (1/2)

    Тогда:

    (x2 - x + 1) / (x4 + 2x2 - 3) = (1/4)*[(x + 2) / (x2 + 3)] - (1/4)*[(x - 2) /(x2 - 1)]

    в) вычисляем сам интеграл

    ∫ [(x2 - x + 1)*dx] / (x4 + 2x2 - 3) = (1/4) * ∫ [(x + 2)*dx / (x2 + 3)] - (1/4) * ∫ [(x - 2)*dx /(x2 - 1)] =

    = (1/4) * ∫ [x*dx / (x2     + 3)] + (1/2) * ∫ [dx / (x2 + 3)] - (1/4) * ∫ [x*dx /(x2 - 1)] + (1/2) * ∫ [dx /(x2 - 1)] =

    = /// вносим (x2 + 3) под знак дифференциала: d(x2 + 3) = (x2 + 3)'*dx = 2x*dx

    вносим (x2 - 1) под знак дифференциала: d(x2 - 1) = (x2 - 1)'*dx = 2x*dx /// =

    = (1/4) * (1/2) * ∫ [d(x2 + 3) / (x2 + 3)] + (1/2) * ∫ [dx / (x2 + (√3)2)] - (1/4) * (1/2) * ∫ [d(x2 - 1) /(x2 - 1)] + (1/2) * ∫ [dx /(x2 - 1)] =

    = (1/8) * ln (x2 + 3) + (1/2) * (1/√(3)) * arctg(x/√(3)) - (1/8) * ln(x2 - 1) + (1/2) * (1/2) * ln[(x - 1) / (x + 1)] + C =

    = (1/8) * ln (x2 + 3) + [ 1 / (2*√(3)) ] * arctg(x/√(3)) - (1/8) * ln(x2 - 1) + (1/4) * ln[(x - 1) / (x + 1)] + C, где C = const

    Ответ: ∫ [(x2 - x + 1)*dx] / (x4 + 2x2 - 3) =

    = (1/8) * ln (x2 + 3) + [ 1 / (2*√(3)) ] * arctg(x/√(3)) - (1/8) * ln(x2 - 1) + (1/4) * ln[(x - 1) / (x + 1)] + C, где C = const


    Четвертый интеграл

    ∫{ (√(x) - 1)*(6√(x) + 1)*dx } / {3√(x2)}

    Пусть 6√(x) = t. Тогда:

    x = t6

    dx = (t6)'*dt = 6*t5*dt

    ∫{ (√(x) - 1)*(6√(x) + 1)*dx } / {3√(x2)} = ∫{ (t3 - 1)*(t + 1)*6*t5*dt } / t4 = 6 * ∫ t*(t3 - 1)*(t + 1)*dt =

    = 6 * ∫ (t5 + t4 - t2 - t)*dt = 6 * { (t6/6) + (t5/5) - (t3/3) - (t2/2) } + C = t6 + (6/5)*t5 - 2*t3 - 3*t2 + C =

    = /// t = 6√(x) /// =

    = x + (6/5)*6√(x5) - 2* 730;(x) - 3*3√(x) + C, где C = const

    Ответ: ∫{ (√(x) - 1)*(6√(x) + 1)*dx } / {3√(x2)} = x + (6/5)*6√(x5) - 2*√(x) - 3*3√(x) + C, где C = const

    Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
    Ответ отправлен: 27.09.2009, 23:08

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254773 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 172694:

    Уважаемые эксперты помогите Вычислить длину кардиоиды r=3(1-cosφ)
    Эта задача уже была в вопросе 35751, хотелось бы развёрнутое решение.
    Всем спасибо.

    Отправлен: 27.09.2009, 14:50
    Вопрос задал: Мария Романова, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса »

    Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Студент :
    Здравствуйте, Мария Романова.
    В общем случае длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах, вычисляется по формуле
    L=∫{α,ß}(√(r2+r'2)dφ).

    В нашем случае
    r' = 3sinφ.

    Поэтому
    r2+r'2 = 9((1-cosφ)2 + sin2φ) = 18(1-cosφ)=36*sin2(φ/2).
    (преобразования тригонометрических выражений по формулам школьного курса математики, думаю, в особых комментариях не нуждаются).

    Далее, не сложно догадаться, что угол φ меняется от 0 до 2п.

    Поэтому
    L=∫{0,2п}(√(36*sin2(φ/2))dφ) = 6*∫{0,2п}|sin(φ/2)|dφ.

    Далее заметим, что на интервале [0,2п] sin(φ/2)≥0 (всегда). Следовательно,
    L=6*∫{0,2п}(sin(φ/2))dφ = {0,2п}(-12*cos(φ/2)) = -12*(cos(п)-cos(0))=-12*(-2)=24.

    Ответ: 24.
    Исправлена описка
    -----
    ∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич, Модератор
    ∙ Дата редактирования: 28.09.2009, 14:31 (время московское)

    -----
    Впред и вверх!

    Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Студент
    Ответ отправлен: 27.09.2009, 17:38

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254763 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Kom906, 10-й класс :
    Здравствуйте, Мария Романова.

    Кардиоиду можно увидеть тут

    Тогда длина всей кардиоиды:

    L = ∫2*pi0 √( r2 + (dr/dφ)2 ) dφ

    Так как уравнение кардиоиды имеет вид:

    r = 3*(1 - cosφ), то

    dr/dφ = r' = [3*(1 - cosφ)]' = 3*(- 1)*(- sinφ) = 3*sinφ

    r2 + (dr/dφ)2 = [3*(1 - cosφ)]2 + [3*sinφ]2 = 9 - 18*cosφ + 9*cos2φ + 9*sin2φ =

    = 9 - 18*cosφ + 9*[ cos2φ + sin2φ ] = 9 - 18*cosφ + 9*1 = 18 - 18*cosφ = 18*[1 - cosφ] =

    = 18*2*sin2(φ/2) = 36*sin2(φ/2)

    Тогда:

    √( r2 + (dr/dφ)2 ) = &# 8730; ( 36*sin2(φ/2) ) = 6*sin(φ/2)

    Эта формула правомочна, так как при 0 ≤ φ ≤ 2*pi выполняется sin(φ/2) ≥ 0

    Итак, длина кардиоиды равна:

    L = ∫2*pi0 √( r2 + (dr/dφ)2 ) dφ =

    = ∫2*pi0 6*sin(φ/2)*dφ = - 6*2*cos(φ/2) | 2*pi0 = - 12 * [ cos(pi) - cos(0) ] = - 12 * [- 1 - 1] = 24

    Ответ: длина кардиоиды равна 24 единицам длины

    Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
    Ответ отправлен: 27.09.2009, 18:13

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254765 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.9 от 25.09.2009
    В избранное