Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Октябрь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессионал
Рейтинг: 2650
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 2079
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1359
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:1022
Дата выхода:07.10.2009, 15:00
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:229 / 150
Вопросов / ответов:1 / 1

Вопрос № 172821: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Объясните, пожалуйста, как решаются данные задачи на производные: 1. Найти производную от функции y: xy = yx Ответ: (y2-x*y*ln(x) ) /...

Вопрос № 172821:

Здравствуйте, уважаемые эксперты.

Объясните, пожалуйста, как решаются данные задачи на производные:

1. Найти производную от функции y:
xy = yx
Ответ: (y2-x*y*ln(x) ) / (x2 - x*y*ln(x) )

2. Составить уравнение касательной к гиперболе y, чтобы касательная прошла через начало координат.
Гипербола: y = (x+9) / (x+5)
Ответ: x+25y=0; x+y=0

3. Найти угол, под которым пересекаются данные линии:
x2 + y2 = 8
и
y2 = 2x
Ответ: arctg(3)

4. Дифференцирование: Вычислить dy при x=1 и dx=0.2
y = 3(1/x) + 1 / (22x) + 6√x
Ответ: 0.3466

5. Вычислить arctg(1.02) и arctg(0.97).
Ответ: (прибл.) 0.7 95 и 0.770

Спасибо!

Отправлен: 02.10.2009, 14:49
Вопрос задал: Иванов Андрей Владимирович, 3-й класс
Всего ответов: 1
Страница вопроса »

Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Студент :
Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.
Задача 1.
Из равенства
xy = yx
следует
y*ln(x) - x*ln(y)=0.

Дифференцируем обе части по x, учитывая, что y является функцией от x, получаем
y'*ln(x)+(y/x) - ln(y) - x*y'/y = 0
y'*(ln(x)-x/y) = ln(y) - (y/x)

Умножаем обе части на (x*y).
y'*(x*y*ln(x)-x2) = x*y*ln(y) - y2,
откуда
y'= (x*y*ln(y) - y2)/(x*y*ln(x)-x2)=(y2 - x*y*ln(y))/(x2 - x*y*ln(x)).

Это совпадает с ответом.

Задача 2.
Угловой коэффициент k искомой касательной, проведенной через точку (x0,y0), есть
k = y'(x0) = ((x0+9) / (x0+5))' = ((x0+5)-(x0+9))/(x0+5)2=-4/(x0+5)2

Общий вид уравнения касательной (если она проходит через начало координат) есть
y=k* x,
или
y - k*x = 0. (1)

Примем, что ранее заявленная точка (x0,y0) является точкой касания.
Поэтому данная точка должна удовлетворять системе
y0 = (x0+9) / (x0+5)
y0=k*x0

Или
y0 = (x0+9) / (x0+5) (2)
y0 = -4*x0/(x0+5)2

Решим систему (2). Исключим из нее y0
(x0+9) / (x0+5) = -4*x0/(x0+5)2
(x0+9)*(x0+5) = -4*x0
x02+18*x0+45=0
Решая это квадратное уравнение, получаем
x01,2=-9±6
x01 = -3
x02 = -15

Т.е. имеем две различные точки касания, обладающие тем свойством, что проведенные через них касательные проходят через начало координат. Найдем уравения касательных, проведенных через каждую из этих точек.

Отсюда находим значения k.
Для касательной, проведенной в точке касания с абсциссой x01:
k1 = -4/(x01+5)2 = -1.

Для касательной, проведенной в точке касания с абсциссой x02:
k2 = -4/(x02+5)2 = -1/25.

Подставляя каждое из этих значений k в уравнение (1), находим две касательные
y+x = 0 (для k=k1)
25*y+x = 0 (для k=k2).

Это совпадает с ответом.

Задача 3.
Сначала найдем точку пересечения указанных линий. Ее координаты удовлетворяют системе
x2 + y2 = 8 (1)
y2 = 2x

Решим эту систему, исключив из нее y.
x2 + 2x = 8
x2 + 2x - 8 = 0
x1,2 = -1±3
x1=2
x2=-4

Подстави в эти значения во второе уравнение системы (1), получим два уравнения:
y12 = 4 и y22 = -8.
Второе уравнение решений не имеет. Первое уравнение имеет 2 решения.
y11 = 2, y12 = -2.

Итак, данные кривые имеют две точки пересечения: (2,2) и (2,-2). Обозначим их условно точка 1 и точка 2.
Продифференцировав неявно заданную функцию x2 + y2 - 8 = 0, найдем y'(x).
2*x+2*y*y'=0
y' = -x/y.

Угловой коэффициент касательной, проведенной в точке 1 к кривой x2 + y2 - 8 = 0
k11 = y'(x) = -x/y = -2/2=-1
Угловой коэффициент касательной, проведенной в точке 2 к кривой x2 + y2 - 8 = 0
k21 = y'(x) = -x/y = -2/(-2)=1.

Продифференцировав неявно заданную функцию y2 - 2x = 0, найдем y'(x).
2*y*y' - 2 = 0.
y' = 1/y
Угловой коэффициент касательной, про веденной в точке 1 к кривой y2 - 2x = 0
k12 = y'(x) = 1/y = 1/2
Угловой коэффициент касательной, проведенн ой в точке 2 к кривой y2 - 2x = 0 = 0
k22 = y'(x) = 1/y = 1/(-2)=-1/2.

Острый угол между касательными, проведенными к данным кривым в точке 1 рассчитывается по формуле
α = arctg(|k12 - k11|/(1+k12*k11) = arctg(3).

Острый угол между касательными, проведенными к данным кривым в точке 2 рассчитывается по формуле
α = arctg(|k22 - k21|/(1+k22*k21) = arctg(3).

Т.е. в каждой из двух точек пересечения данные кривые пересекаются между собой под одним и тем же углом, равным arctg(3).

Это совпадает с ответом.

Задача 4.
По определению дифференциала
dy=y'(x)*dx = 0.2*y'(x)
y'(x)=(31/x)' + ((1/4)x)' + (6√x)' = 31/x*ln(3)*(1/x)' + (1/4)x*ln(1/4)+6√x*ln(6)*(√x)' = -31/x*ln(3)/x2 - (1/4)x*ln(4) + 6√x*ln(6)/(2*√x).
При x=1
y '(1)=-3*ln(3) - (1/4)*ln(4) + 3*ln(6)≈1.73287.

Откуда
dy= 0.2*y'(x) ≈ 0.2*1.73287≈0.3466.

Это совпадает с ответом.

Задача 5.
Разложим функцию f(x) = arctg(x) в окрестности x0 = 1 (f(1) = п/4 ≈ 0.7854). Учтем, что нам нужно вычислить искомые значения функции с точностью ε=0.001.
Для x = 1.02 получаем
f(1.02) = f(1) + (f'(1)/1!)*(1.02 - 1) + (f''(1)/2!)*(1.02 - 1)2 + (f'''(1)/3!)*(1.02 - 1)3 + ...
Далее заметим,
f'(x) = 1/(1+x2) ⇒ f'(1) = 1/2 ⇒ (f'(1)/1!)*(1.02 - 1)=0.01 ⇒ |(f'(1)/1!)*(1.02 - 1)|>ε
f''(x) = -(2*x)/(1+x2)2 ⇒ f''(1) = -1/2 ⇒ (f''(1)/2!)*(1.02 - 1)2=-0.0001 ⇒ |(f''(1)/2!)*(1.02 - 1)2|<ε

Поэтому 3-х членов ряда для приближенного вычисления вполне достаточно.
f(1 .02) ≈ f(1) + (f'(1)/1!)*(1.02 - 1) + (f''(1)/2!)*(1.02 - 1)2 ≈ 0.7854 + 0.01 -0.0001 ≈ 0.795.

Для x = 0.97 получаем
f(0.97) = f(1) + (f'(1)/1!)*(0.97 - 1) + (f''(1)/2!)*(0.97 - 1)2 + (f'''(1)/3!)*(0.97 - 1)3 + ...
Далее заметим,
f'(x) = 1/(1+x2) ⇒ f'(1) = 1/2 ⇒ (f'(1)/1!)*(0.97 - 1)=-0.015 ⇒ |(f'(1)/1!)*(0.97 - 1)|>ε
f''(x) = -(2*x)/(1+x2)2 ⇒ f''(1) = -1/2 ⇒ (f''(1)/2!)*(0.97 - 1)2≈-0.0002 ⇒ |(f''(1)/2!)*(0.97 - 1)2|<ε

Поэтому 3-х членов ряда для приближенного вычисления вполне достаточно.
f(1.02) ≈ f(1) + (f'(1)/1!)*(0.97 - 1) + (f''(1)/2!)*(0.97 - 1)2 ≈ 0.7854 - 0.015 - 0.0002 ≈ 0.770.

Это совпадает с ответом.
Исправлены указанные автором опечатки
-----
∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич, Модератор
∙ Дата редактирования: 03.10.2009, 03:04 (время московское)

-----
Впред и вверх!

Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Студент
Ответ отправлен: 02.10.2009, 20:08

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254933 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.9 от 25.09.2009
    В избранное