RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 173018: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить задачу: Вопрос № 173019: Уважаемые эксперты, здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу: Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел a и b, что, если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится... Вопрос № 173018:
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Отправлен: 07.10.2009, 15:38 Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Студент : Здравствуйте, Болдырев Тимофей. Задача, на мой взгляд, достаточно сложная. Т.е. расчитана на подготовленных людей. Поэтому решение приведу вкратце, буквально, идейно (не останавливаясь на решении стандартных уравнений и неравенств). Единственное, что стоит отметить, это факт того, что при решении любого уравнения необходимо учитывать его область допустимых значений (ОДЗ). При данном решении ОДЗ как таковое не формулировалось. Поэтому необходима проверка. Места, в которых нужно осуществить проверку, помечены отдельно. Проверка производится простой подстановкой найденного в процессе решения значения x в исходное уравнение: F(F(x))=x. Само решение приведено во вложенном файле. Прикрепленный файл: загрузить » ----- Впред и вверх!
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Студент
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Болдырев Тимофей. 1-ая группа вариантов: x ≤ 7 В этом случае внутренняя функция (назавем ее так) вычисляется по формуле: [(3x - 30) / (x - 8)]. В зависимости от полученного значения, внешняя функция вычисляется по одной из двух формул (где только дробь, или где есть синус). Рассматриваем эти варианты Вариант А: [(3x - 30) / (x - 8)] ≤ 7 В этом случае формула внешней функции аналогична формуле внутренней. Тогда решение получается из системы уравнений и неравенств: { x ≤ 7 - общее ограничение группы вариантов { [(3x - 30) / (x - 8)] ≤ 7 - ограничение варианта { F( F(x) ) = x 1. Рассмотрим ограничения Второе: [(3x - 30) / (x - 8)] ≤ 7 ⇔ [(3x - 30) / (x - 8)] - 7 ≤ 0 ⇔ [(- 4x + 26) / (x - 8)] ≤ 0 ⇔ [(x - 6.5) / (x - 8)] ≥ 0 ⇒ x ≤ 6.5 и x > 8 Учитывая первое условие x ≤ 7 и полученно е условие, то есть пересекая их, получим общее ограничение для данного варианта: x ≤ 6.5 2. Вычисляем корни уравнения *** как далее будет видно, это единственный вариант, при котором корни вычисляются непосредственно из уравнения F( F(x) ) = [(3x - 30) / (x - 8)] | x=(3x-30)/(x-8) = [(3*{(3x - 30) / (x - 8)} - 30) / ({(3x - 30) / (x - 8)} - 8)] = [9x - 90 - 30x + 240] / [3x - 30 - 8x + 64] = = [150 - 21x] / [34 - 5x] = x ⇒ 150 - 21x = 34x - 5x2 ⇒ 5x2 - 55x + 150 = 0 ⇒ x2 - 11x + 30 = 0 ⇒ x1,2 = (11 ± 1)/2 = {5; 6} Данные корни удовлетворяют ограничению x ≤ 6.5 3. Проверка При х = 5 F(x) | x=5 = [(3x - 30) / (x - 8)] | x=5 = (- 15)/(- 3) = 5 ≤ 7 F( F(x) ) | x=5 = [(3x - 30) / (x - 8)] | x=5 = 5 При х = 6 F(x) | x=6 = [(3x - 30) / (x - 8)] | x=6 = (- 12)/(- 2) = 6 ≤ 7 F( F(x) ) | x=6 = [(3x - 30) / (x - 8)] | x=6 = 6 Итак, получили два корня: х = 5 и х = 6 Вариант Б: [(3x - 30) / (x - 8)] > 7 В этом случае формула внешней функции содержит синус. Тогда решение получается из системы уравнений и неравенств: { x ≤ 7 - общее ограничение группы вариантов { [(3x - 30) / (x - 8)] > 7 - ограничение варианта { F( F(x) ) = x 1. Рассмотрим ограничения Второе, учитывая предыдущие выкладки: [(3x - 30) / (x - 8)] > 7 ⇔ 6.5 < x < 8 Учитывая первое условие x ≤ 7 и полученное условие, то есть пересекая их, получим общее ограничение для данного варианта: 6.5 < x ≤ 7 2. Здесь, очевидно, так как требуется найти целочисленное решение, то из полученного ограничения следует, что в этом случае возможно только одно цел очисленное решение, а именно, это корень х = 7. Проверяем его F(x) | x=7 = [(3x - 30) / (x - 8)] | x=7 = (- 9)/(- 1) = 9 > 7 F( F(x) ) = { (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 } | x=9 = (1/9)*sin(pi*9/9) + 7 = (1/9)*sin(pi) + 7 = (1/x)*0 + 7 = 7 То есть х = 7 не является решением исходного уравнения Итак, получим один корень: х = 7 2-ая группа вариантов: x > 7 В этом случае внутренняя функция (назавем ее так) вычисляется по формуле: [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ]. В зависимости от полученного значения, внешняя функция вычисляется по одной из двух формул (где только дробь, или где есть синус). Рассматриваем эти варианты Вариант А: [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ] ≤ 7 В этом случае формула внешней функции представляет собой дробь. Тогда решение получается из системы уравнений и неравенств: { x > 7 - общее ограничение группы вариантов { [ (1/x)*sin( pi*x/9) + 7 ] ≤ 7 - ограничение варианта { F( F(x) ) = x Или: { x > 7 - общее ограничение группы вариантов { [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] ≤ 0 - ограничение варианта { F( F(x) ) = x 1. Рассмотрим ограничения Второе: [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] ≤ 0 Так как: [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] = 0 ⇒ (pi*x/9) = pi*n, где n ∈ Z ⇒ x = 9n, где n ∈ Z *** Z - множество целых чисел Тогда [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] ≤ 0 при: -18n≤x≤-9(2n - 1) и 9(2n - 1)≤x≤18n, где n ∈ N *** N - множество натуральных чисел Учитывая первое условие x > 7 и полученное условие, то есть пересекая их, получим общее ограничение для данного варианта: 9(2n - 1) ≤ x ≤ 18n, где n ∈ N 2. Рассмотрим уравнение F( F(x) ) = [(3x - 30) / (x - 8)] | x=(1/x)*sin(pi*x/9) + 7 = [(3*{(1/x)*sin(pi*x/9) + 7} - 30) / ({(1/x)*sin(pi*x/9) + 7} - 8)] = = 3 * [ sin(pi*x/9) - 3x ] / [ sin(pi*x/9) - x ] = x ⇒ 3 * [ sin(pi*x/9) - 3x ] / [ sin(pi*x/9) - x ] = x ⇒ (3 - x)*sin(pi*x/9) = 9x - x2 ⇒ sin(pi*x/9) = (9x - x2) / (3 - x) = (x2 - 9x) / (x - 3) 3. Так как в полученном уравнении слева стоит синус, то данное уравнение возможно при: - 1 ≤ (x2 - 9x) / (x - 3) ≤ 1 Получим еще одну систему ограничений: { (x2 - 9x) / (x - 3) ≥ - 1 { (x2 - 9x) / (x - 3) ≤ 1 Первое: (x2 - 9x) / (x - 3) ≥ - 1 ⇔ [(x2 - 9x) / (x - 3)] + 1 ≥ 0 ⇔ (x2 - 8x - 3) / (x - 3) ≥ 0 ⇔ ⇔ [(x + 0.36)(x - 8.36)] / (x - 3) ≥ 0 *** так как квадратное уравнение в числителе не имеет целых и требуется найти целые решения исходного уравнения, то такой точности достаточно ⇒ - 0.36 ≤ x < 3 и x ≥ 8.36 Второе: (x2 - 9x) / (x - 3) ≤ 1 ⇔ [(x2 - 9x) / (x - 3)] - 1 ≤ 0 ⇔ (x2 - 10x + 3) / (x - 3) ≤ 0 ⇔ ⇔ [(x - 0.31)(x - 9.69)] / (x - 3) ≤ 0 ⇒ 0.31 ≤ x и 3 < x ≥ 9.69 Пересекая два полученных ограничения, получим ограничение: - 0.36 ≤ x ≤ 0.31 и 8.36 ≤ x ≤ 9.69 4. Пересекаем полученное ограничение с ограничением для данного варианта: { 9(2n - 1) ≤ x ≤ 18n, где n ∈ N { - 0.36 ≤ x ≤ 0.31 и 8.36 ≤ x ≤ 9.69 получим "результирующее" ограничение: ⇒ 9 ≤ x ≤ 9.69 Очевидно, единственное целочисленное решение исходного уравнения может быть равно x = 9. Проверяем его: F(x) | x=9 = { (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 } | x=9 = (1/9)*sin(pi*9/9) + 7 = (1/9)*sin(pi) + 7 = (1/x)*0 + 7 = 7 ≤ 7 F( F(x) ) | x=7 = [(3x - 30) / (x - 8)] | x=7 = (- 9)/(- 1) = 9 То есть х = 9 является решением исходного уравнения Итак, получим один корень: х = 9 Вариант Б: [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ] > 7 В этом случае формула внешней функции содержит синус. Тогда решение получается из системы уравнений и неравенств: { x > 7 - общее ограничение группы вариантов { [ (1/x)*sin(pi*x/9) + 7 ] > 7 - ограничение варианта { F( F(x) ) = x Или: { x > 7 - общее ограничение группы вариантов { [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] > 0 - ограничение варианта { F( F(x) ) = x 1. Рассмотрим ограничения Второе: [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] > 0 Так как: [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] = 0 ⇒ x = 9n, где n ∈ Z Тогда [ (1/x)*sin(pi*x/9) ] > 0 при: -9(2n + 1)<x<-18n и -9<x<0 и 0<x<9 и 18n<x<9(2n + 1), где n ∈ N Учитывая первое условие x > 7 и полученное условие, то есть пересека я их, получим общее ограничение для данного варианта: 7<x<9 и 18n<x<9(2n + 1), где n ∈ N 2. Рассмотрим у равнение F( F(x) ) = [(1/x)*sin(pi*x/9) + 7] | x=(1/x)*sin(pi*x/9) + 7 = = [ x / (sin(pi*x/9) + 7x) ] * sin[ (pi/9) * { (sin(pi*x/9) + 7x) / x } ] + 7 = x ⇒ [ x / (sin(pi*x/9) + 7x) ] * sin[ (pi/9) * { (sin(pi*x/9) + 7x) / x } ] = x - 7 ⇒ sin[ (pi/9) * { (sin(pi*x/9) + 7x) / x } ] = [ (x - 7) / x ] * [ sin(pi*x/9) + 7x ] 3. Так как в полученном уравнении слева стоит синус, то данное уравнение возможно при: - 1 ≤ [ (x - 7) / x ] * [ sin(pi*x/9) + 7x ] ≤ 1 При 18n<x<9(2n + 1), где n ∈ N: (x - 7) / x = 1 - (7/x) > 1 - (7/18) = 11/18 sin(pi*x/9) + 7x > - 1 + 7*18 = 125 ⇒ [ (x - 7) / x ] * [ sin(pi*x/9) + 7x ] > (11/18)*125 ≈ 76.39 Следовательно, данное неравенство несовместно при 18n<x<9(2n + 1), где n ∈ N, и на этом интервале нет корней исходного уравнения 4. На интервале 7<x<9 возможно только одно целочисленно е решение, а, именно, х = 8. Проверяем его: F( F(x) ) | x=8 = 7.09 *** из-за громоздкости выражений привел конечный результат, вычисления проверены в MathCAD'e То есть х = 8 не является решением исходного уравнения Итак, в этом варианте корней нет Ответ: целочисленные решения: х = 5, х = 6, х = 7, х = 9
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 173019:
Уважаемые эксперты, здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Отправлен: 07.10.2009, 15:44 Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Студент : Здравствуйте, Болдырев Тимофей. Пусть десятичная запись числа b содержит n цифр. Тогда число, полученное после приписывания к десятичной записи числа a справа через запятую десятичную запись числа b, будет равно a+b/10n, или, по условию задачи, a/b. Получаем уравнение: a+b/10n = a/b. (1) Решим его в натуральных числах относительно a и b. a+b/10n = a/b {умножим обе части на произведение b*10n} a*b*10n+b2 = a*10n b*(a*10n+b) + b = a*10n + b (b-1)*(a*10n+b) + (b-1) = -1 (b-1)*(a*10n+b+1) = -1. Теперь заметим следующее. Известно, что b - натуральное число. Следовательно, b≥1 и b-1≥0. Аналогично, a≥1, 10n≥10, b+1≥2 ⇒ a*10n+b+1≥10+2=12≥0. Поэтому произведение (b-1)*(a*10n+b+1)≥0 и не может равняться -1.< br> Следовательно, уравнение (1) не имеет решений в натуральных числах. Следовательно, не существует чисел a и b, удовлетворяющих условию задачи. Ответ: таких чисел не существует. ----- Впред и вверх!
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Студент
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.9 от 25.09.2009 |
| В избранное | ||
