RusFAQ.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: Московский хостер Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008 РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / МатематикаВыпуск № 943 от 20.06.2009, 23:05Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал В рассылке: подписчиков - 227, экспертов - 130 В номере: вопросов - 3, ответов - 5
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: Вопрос № 169404: Очень прошу, помогите мне пожалуйста!! ∞ 1)∑ (-1)^n-1 (x-2)^n/ (n+1)4^n n=1 нужно найти область сходимости степенного ряда. 2) y=5√x/3 ; y=5x/9 ; z=0; z=5( 3+√x)/9 Нужно найти объем тела, заданного ограничив... Вопрос № 169413: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Помогите пожалуйста решить задачу. Буду очень благодарен.  ...
Вопрос № 169416: Два игрока поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет шестерка. Найти вероятность выигрыша каждого игрока. (Решить задачу, применяя операции над случайными событиями)... Вопрос № 169404:
Очень прошу, помогите мне пожалуйста!!
Отправлен: 15.06.2009, 00:15 Отвечает And0809, 5-й класс : Здравствуйте, Осьмирко Владимир. 1) (-1)^(n-1)/ ((n+1)4^n) *(x-2)^n --- n-й член реда Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке x1, то он абсолютно сходится для всех x таких, что | x-a | < | x1-a |, причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге | x-a | ≤ r < | x1-a |. Если же ряд (2) расходится в точке x2, то он расходится и для всех x таких, что | x-a | > | x2-a |. Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является круг с центром в точке a, радиус которого может быть определен применением либо признака Даламбера, либо признака Коши. Найдем радиус сходимоти по ризнаку Даламбера lim{n->infinity} |c_{n+1}*(x-a)^{n+1}/(c_n*(x-a)^n)|=|(x-a)|*lim{n->infinity} |c_{n+1}/c_n <1| Радиус сходимости находится по формуле R=1/( lim{n->infinity} |c_{n+1}/c_n| ) в нашем случае lim{n->infinity} |c_{n+1}/c_n|=lim{n->infinity} |[ (-1)^(n+ 1-1)/ ( (n+1+1)*4^(n+1) ) ]/[ (-1)^(n-1)/ ((n+1)*4^n)]|= =lim{n->infinity} |[ (-1)^n/ ( (n+2)*4*4^n ) ]/[ (-1)^(n-1)/ ((n+1)*4^n)]| =lim{n->infinity} |(-1)^n/(-1)^(n-1) * ((n+1)*4^n)/((n+2)*4*4^n )|= =lim{n->infinity} |(-1)* (n+1)/((n+2)*4 )|=lim{n->infinity} |(-1/4)* (n+1)/(n+2)|=1/4 => R=4 следовательно областью сходимости будет |x-2|<4, т.е. x принадлежит (-2;6)
Ответ отправил: And0809, 5-й класс
Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Осьмирко Владимир. 1. Пусть дан ряд Σn = 1∞ (-1)n – 1(x – 2)n/(4n(n + 1)). Тогда un = (-1)n – 1(x – 2)n/(4n(n + 1)), un + 1 = (-1)n(x – 2)n + 1/(4n + 1(n + 2)), |un + 1/un| = |(-1)n(x – 2)n + 1/(4n + 1(n + 2)) : (-1)n – 1(x – 2)n/(4n(n + 1))| = = |(x – 2)n + 1 ∙ 4n(n + 1)/((x – 2)n ∙ 4n + 1(n + 2))| = |(x – 2)(n + 1)/(4(n + 2))| = = |x – 2|/4 ∙ (1 – 1/(n + 2)), при n → ∞ |un + 1/un| = |x – 2|/4 ∙ (1 – 1/(n + 2)) → |x – 2|/4. Согласно признаку Даламбера, данный ряд абсолютно сходится при |x – 2|/4 < 1, то есть при -2 < x < 6. При -∞ < x < -2 и 6 < x < +&# 8734; данный ряд расходится. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При x = -2 имеем ряд Σn = 1∞ (-1)n – 1(-4)n/(4n(n + 1)) = Σn = 1∞ (-1)2n – 14n/(4n(n + 1)) = Σn = 1∞ (-1)2n – 1/(n + 1) = = Σn = 1∞ -1/(n + 1) = -1 ∙ Σn = 1∞ 1/(n + 1). Сравним ряд Σn = 1∞ 1/(n + 1) с гармоническим рядом Σn = 1∞ 1/n: при n → ∞ 1/(n + 1) : 1/n = n/(n + 1) = 1 – 1/(n + 1) → 1. Поскольку гармонический ряд расходится, то расходится и ряд Σn = 1∞ 1/(n + 1), а с ним и ряд -1 ∙ Σn = 1∞ 1/(n + 1). Значит, заданный ряд в точке x = -2 расходится. При x = 6 имеем ряд ] 1;n = 1∞ (-1)n – 14n/(4n(n + 1)) = Σn = 1∞ (-1)n – 1/(n + 1), который является знакопеременным. Этот ряд не является абсолютно сходящимся, поскольку ряд Σn = 1∞ 1/(n + 1), составленный из абсолютных величин его членов, расходится (см. выше). Применим тогда признак Лейбница. Поскольку un = 1/(n + 1) > 1/(n + 2) = un + 1, и при n → ∞ un → 0, то оба условия признака Лейбница выполнены, и знакочередующийся ряд Σn = 1∞ (-1)n – 1/(n + 1) сходится, причем условно. Итак, область сходимости заданного степенного ряда суть -2 < x ≤ 6. Ответ: -2 < x ≤ 6. 2. Первое уравнение задает параболический цилиндр с вертикальной образующей, второе – плоскость, параллельную оси аппликат, третье – параболический цилиндр с параллельной оси ординат образующей. Изобразим фигуру (область D), лежащую в сечении тела плоскостью Oxy и являющуюся основанием тела (рисунок). Поскольку z = f(x; y) – непрерывная, положительная в каждой точке полученной фигуры функция, то искомый объем тела равен V = D∫∫f(x; y)dxdy = D∫∫[5(3+√x)/9]dxdy = 5/9 ∙ D∫∫(3 + √x)dxdy = = 5/9 ∙ 0∫9(3 + √x)dx ∙ 5x/9∫5√x/3dy = 5/9 ∙ 0∫9(3 + √x)(5√x/3 – 5x/9)dx = = 5/9 ∙ 0∫9(5√x + 5x/3 – 5x/3 – 5x√x/9)dx = 5/9 ∙ 0∫9(5√x – 5x√x/9)dx = = 25/9 ∙ 0∫9√xdx – 25/81 ∙ 0∫9x√xdx = 25/9 ∙ 0∫9x1/2dx – 25/81 ∙ 0∫9x3/2dx = = 25/9 ∙ 2/3 ∙ x3/2|09 – 25/81 ∙ 2/5 ∙ x5/2|09 = 25/9 ∙ 2/3 ∙ 27 – 25/81 ∙ 2/5 ∙ 243 = 50 – 30 = 20 (куб. ед.).  Ответ: 20 куб. ед. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Вопрос № 169413:
Здравствуйте, уважаемые эксперты. Помогите пожалуйста решить задачу. Буду очень благодарен.
Отправлен: 15.06.2009, 03:35 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Вороновичев Антон Викторович. Функция φ(x) задает форму струны, а функция ψ(x) – скорости ее точек в момент времени t = 0. В курсе высшей математики при изучении уравнений математической физики ограничиваются рассмотрением малых поперечных плоских колебаний струны. Напомню, что струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться. Струну считают находящейся под действием некоторого натяжения. Оказывается, что при определенных условиях решением задачи является некоторый бесконечный ряд. Находим коэффициенты этого ряда (попутно заметив, что в задании содержится описка: в определении функции φ(x) вместо 2h/3 ∙ (5 – x) должно быть 2h/5 ∙ (5 – x)): ak = 2/l ∙ 0∫l φ(x) ∙ sin kπx/l ∙ dx = 4h/25 ∙ 0∫5/2 x ∙ sin kπx/5 ∙ dx + 4h/25 ∙ 5/2∫5 (5 – x) ∙ sin kπx/5 ∙ dx = = 4h/25 ∙ 0∫5/2 x ∙ sin kπx/5 ∙ dx + 4h/5 ∙ 5/2∫5 sin kπx/5 ∙ dx – 4h/25 ∙ 5/2∫5 x ∙ sin kπx/5 ∙ dx; bk = 2/(akπ) ∙ 0∫l ψ(x) ∙ sin kπx/l ∙ dx = 4/(akπ) ∙ 0∫5/2 x ∙ sin kπx/5 ∙ dx + 4/(akπ) ∙ 5/2∫5 (5 – x) ∙ sin kπx/5 ∙ dx = = 4/(akπ) ∙ 0∫5/2 x ∙ sin kπx/5 ∙ dx + 20/(akπ) ∙ 5/2∫5 sin kπx/5 ∙ dx – 4/(akπ) ∙ 5/2∫5 x ∙ sin kπx/5 ∙ dx; поскольку ∫x ∙ sin kπx/5 ∙ dx = = [u = x, dv = sin kπx/5 ∙ dx, v = ∫sin kπx/5 ∙ dx = 5/(kπ) ∙ ∫sin kπx/5 ∙ d(kπx/5) = -5/(kπ) ∙ cos kπx/5] = = -5x/(kπ) ∙ cos kπx/5 + 5/(kπ) ∙ ∫cos kπx/5 ∙ dx = -5x/(kπ) ∙ cos kπx/5 + 25/(k2π2) ∙ sin kπx/5 + C, постольку ak = 4h/25 ∙ (-5x/(kπ) ∙ cos kπx/5 + 25/(k2π2) ∙ sin kπx/5)|05/2 – 4h/(kπ) ∙ cos kπx/5|5/25 + + (-4h/25) ∙ (-5x/(kπ) ∙ cos kπx/5 + 25/(k2π2) ∙ sin kπx/5)|5/25; (1) bk = 4/(akπ) ∙ (-5x/(kπ) ∙ cos kπx/5 + 25/(k2π2) ∙ sin kπx/5)|05/2 – 100/(ak2π2) ∙ cos kπx/5|5/25 + + (-4/(akπ)) ∙ (-5x/(kπ) ∙ cos kπx/5 + 25/(k2π2) ∙ sin kπx/5)|5/25. (2) Вам остается толь ко продолжить вычисление коэффициентов (1) и (2), а искомое решение уравнения колебания струны суть ряд u(x; t) = Σk = 1∞ [(ak ∙ cos akπt/5 + bk ∙ sin akπt/5) ∙ sin kπx/5], где коэффициенты при слагаемых указаны выше, а параметр a берется из уравнения колебаний струны и представляет собой квадратный корень из коэффициента при ∂2u/∂x2. Общий ход решения, думаю, Вам ясен. А приведенные выкладки Вам следует проверить и продолжить самостоятельно. Полагаю, проблем быть не должно. Успехов! С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Вопрос № 169416: Два игрока поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет шестерка. Найти вероятность выигрыша каждого игрока. (Решить задачу, применяя операции над случайными событиями)
Отправлен: 15.06.2009, 08:00 Отвечает SLasH, 8-й класс : Здравствуйте, Fffox. Пусть A и B - события, состоящие в том, что выиграет 1-й и 2-й игрок соответственно. Представим события A и B в следующем виде: 6 - выпала шестерка - - не выпала A = 6 + --6 + ----6 + ....... В = -6 + ---6 + -----6 + ...... Р(А) = 1/6 + 1/6 * (5/6)^2 + 1/6 * (5/6)^4 + ...... = (1/6) / (1-(5/6)^2) = 6/11 P(B) = 1/6 * 5/6 + 1/6 * (5/6)^3 + 1/6 * (5/6)^5 + ..... = (5/36) / (1-(5/6)^2) = 5/11
Ответ отправил: SLasH, 8-й класс
Оценка ответа: 5
Отвечает Копылов Александр Иванович, Практикант : Здравствуйте, Fffox. Так события независимы, вероятность выпадения шестерки – 1/6, вероятность невыпадения шестерки – 5/6. Вероятность выигрыша 1 игрока после I броска: P(1) = p1 = 1/6= 0,166667 P(2)=q1*q2*p1 = 0,115741 P(3)=q1*q2*q1*q2*p1 = 0,080376 P(4)= q1*q2*q1*q2*q1*q2*p1 = 0,055816 P(5)= q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*q2*p1 = 0,038761 P(6)= q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*q2*p1 = 0,026918 И т.д. Вероятность выигрыша 2 игрока после I броска: P(1) = q1*p2 = 1/6= 0,138889 P(2)=q1*q2*q1*p2 = 0,096451 P(3)=q1*q2*q1*q2*q1*p2 = 0,06698 P(4)= q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*p2 = 0,046514 P(5)= q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*p2 = 0,032301 P(6)= q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*q2*q1*p2 = 0,022431 И т.д.
Ответ отправил: Копылов Александр Иванович, Практикант
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: оценить выпуск >>
подать вопрос экспертам этой рассылки >>Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.2 от 15.06.2009 |
| В избранное | ||
