Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 760 RSS
←   Июнь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

760 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RusFAQ.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Химик CH
Статус: Младший модератор
Рейтинг: 544
∙ повысить рейтинг >> 		Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 513
∙ повысить рейтинг >> 		And0809
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 428
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 934 от 11.06.2009, 05:05
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 228, экспертов - 123
В номере: вопросов - 5, ответов - 10

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 168974: Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачку. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятности своевременной доставки в них соответственно равны р1=0.8, р2=0.9, р3 Вопрос № 168979: Уважаемые эксперты, помогите еще с одной задачей, пожалуйста. Вероятность приема радиосигнала каждой передаче равна р. Найти вероятность того, что при n-кратной передаче сигнал будет принят: а) m раз; б) не менее m раз. m=3, р=0.82, n=5...

Вопрос № 168998: Помогите, пожалуйста, уважаемые эксперты. Решить определенные интегралы. Осталось 2 дня для сдачи работы, если не сдам - не допустят до экзамена. Очень нужна ваша помощь. Спасибо. 1.?dx/7+x^2 2.?(2x+3)^14dx 3.?(3x+2)dx/x^2 -2x+3 4.?(2x-5)...
Вопрос № 169001: Помогите решить пару дифф. уравнений. y" = cos 4x; (x +2xy)dx + xydy =0; y'- y÷x = xsinx; буду очень благодарен...
Вопрос № 169019: Нужно "исследовать на сходимость числовые ряды" ...
Вопрос № 168974:

Здравствуйте уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачку.
Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятности своевременной доставки в них соответственно равны р1=0.8, р2=0.9, р30.8.
Найти вероятность того, что:
а) два отделения из трех получат газеты вовремя;
б)хотя бы одно из отделений получит газеты с опозданием.

Отправлен: 05.06.2009, 10:00
Вопрос задал: Svetka99, Посетитель
Всего ответов: 3
Страница вопроса >>

Отвечает Violka, 3-й класс :
Здравствуйте, Svetka99.

Помогаю :)

p1=0.8, p2=0.9, p3=0.8 - вероятности своевременной доставки в 1, 2, 3 издательства соответственно. Тогда
q1=0.2, q2=0.1, q3=0.2 - вероятности несвоевременной доставки в 1, 2, 3 издательства соответственно.

а)
a=p1*p2*q3 - вероятность получить своевременно 1 и 2 отделению и несвоевременно 3-му;
b=p1*q2*p3 - вовремя доставка 1, 3, а 2-му не вовремя;
c=q1*p2*p3 - вовремя доставка 2, 3, а 3-му не вовремя;

Тогда вероятность того, что два отделения из трех получат газеты вовремя P=a+b+c = 0.144+0.064+0.144=0.352.

б) вероятность того, что хотя бы одно из отделений получит газеты с опозданием - это вероятность того, что с опозданием получат газеты 1 или 2 или все 3 отделения, или это то же, что и 1 - вероятность того, что все газеты доставят без опозданий.

Тогда P=1- p1*p2*p3 = 1-0.576 = 0.424

Вот так ;)

Ответ отправил: Violka, 3-й класс
Ответ отправлен: 05.06.2009, 10:19

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250464 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Отвечает Lenchiks, 2-й класс :
    Здравствуйте, Svetka99!
    Пусть событие Аi - i-е отделение получит газеты вовремя.
    q1=1-p1=1-0.8=0.2, q2=1-p2=1-0.9=0.1, q3=1-p3=1-0.8=0.2
    а) вероятность того, что два отделения из трех получат газеты вовремя равна Р=p1*p2*q3+p1*q2*p3+q1*p2*p3=0.8*0.9*0.2+0.8*0.1*0.8+0.2*0.9*0.8=0.352
    б) вероятность того, что хотя бы одно из отделений получит газеты с опозданием равна Р=1-q1*q2*q3=1-0.2*0.1*0.2=0.996

    Ответ отправил: Lenchiks, 2-й класс
    Ответ отправлен: 05.06.2009, 12:53

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250483 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Отвечает Копылов Александр Иванович, Практикант :
    Здравствуйте, Svetka99.

    а) два отделения из трех получат газеты вовремя;

    P (2) = p1*p2*q3 + q1*p2*p3+ p1*q2*p3 = 0,8*0,9*0,2 +0,2*0,9*0,8 + 0,8*0,1*0,8 = 0,352


    б)хотя бы одно из отделений получит газеты с опозданием.

    Это событие противоположно событию, когда всем доставят вовремя:
    P = 1- 0,8*0,9*0,8 = 0,424

    Ответ отправил: Копылов Александр Иванович, Практикант
    Ответ отправлен: 06.06.2009, 12:39

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250529 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 168979:

    Уважаемые эксперты, помогите еще с одной задачей, пожалуйста.
    Вероятность приема радиосигнала каждой передаче равна р. Найти вероятность того, что при n-кратной передаче сигнал будет принят:
    а) m раз;
    б) не менее m раз.
    m=3, р=0.82, n=5

    Отправлен: 05.06.2009, 11:39
    Вопрос задал: Svetka99, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает Вера Агеева, 10-й класс :
    Здравствуйте, Svetka99.

    По теореме Бернулли, если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рm,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

    Pm,n = Cnmpmqn-m,

    где q = 1 - p.

    q = 1 - p = 1 - 0,82 = 0,18.

    a) P 3,5 = C53 * 0,823 * 0,18 2 = 0,1786.

    б) P 5 (m >= 3) = P 3,5 + P 4,5 + P 5,5 =

    = C53 * 0,823 * 0,18 2 + C54 * 0,824 * 0,18 1 + C55 * 0,825 * 0,18 0 = 0,9563.
    -----
    Экономика должна быть математической

    Ответ отправил: Вера Агеева, 10-й класс
    Ответ отправлен: 05.06.2009, 12:21

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250479 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Отвечает Lenchiks, 2-й класс :
    Здравствуйте, Svetka99!
    Условие задачи удовлетворяет схеме Бернулли. а) Вероятность того, что при 5-кратном передаче сигнал будет принят 3 раза, равна Р5(3)=5!/(3!2!)*0.82^3*0.18^2=0.179
    б) Вероятность того, что при 5-кратном передаче сигнал будет принят не менее 3 раз, равна Р=Р5(3)+Р5(4)+Р5(5)=0.179+5!/(4!1!)*0.82^4*0.18+5!/(5!0!)*0.82^5*0.18^1=0.179+0.407+0.371=0.957

    Ответ отправил: Lenchiks, 2-й класс
    Ответ отправлен: 05.06.2009, 12:38

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250481 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 168998:

    Помогите, пожалуйста, уважаемые эксперты. Решить определенные интегралы. Осталось 2 дня для сдачи работы, если не сдам - не допустят до экзамена. Очень нужна ваша помощь. Спасибо.
    1.?dx/7+x^2
    2.?(2x+3)^14dx
    3.?(3x+2)dx/x^2 -2x+3
    4.?(2x-5)dx/Sqrt[x^2+25]
    5.?arcsin^52xdx/Sqrt[1-4x^2]
    6.?e^3xdx/2e^3x -5
    7.?(3x^3 -x)dx/Sqrt[x^4 -9]
    8.?(2x-1)cos4xdx
    9.?(x+1)ln3xdx
    10.?xarcsinxdx/Sqrt[1-x^2]
    11.?(x^4-5x^3+7x^2-4x+2)dx/x(x-1)(x-2)
    12.?(-2x^3+2x^2-18x+9)dx/x^2(x^2+9)
    13.?dx/1+sinx
    14.?(2tg^2x-tgx+1)dx/1-tgx
    15.?Sqrtx+2/x-1*dx/x+2
    ? - znak integrala

    Отправлен: 05.06.2009, 17:05
    Вопрос задал: Aspir, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает Lenchiks, 2-й класс :
    Здравствуйте, Aspir!
    1. =1/7^0.5arctg(x/7^0/5)+c
    2.=1/2*((2x+3)^15)/15+c=1/30*(2x+3)^15+c

    Ответ отправил: Lenchiks, 2-й класс
    Ответ отправлен: 05.06.2009, 22:22

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250506 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Aspir.

    1. ∫dx/(7 + x2) = ∫dx/((√7)2 + x2) = 1/√7 ∙ arctg x/√7 + C.

    2. ∫(2x + 3)14dx = ∫(2x + 3)14 ∙ 1/2 ∙ d(2x + 3) = 1/2 ∙ ∫(2x + 3)14 ∙ d(2x + 3) =
    = 1/2 ∙ 1/15 ∙ (2x + 3)15 + C = 1/30 ∙ (2x + 3)15 + C.

    3. ∫(3x + 2)dx/(x2 – 2x + 3) = ∫(3/2 ∙ (2x – 2) + 5)dx/(x2 – 2x + 3) =
    = 3/2 ∙ ∫(2x – 2)dx/(x2 – 2x + 3) + 5∫dx/((x – 1)2 + (√2)2) =
    = 3/2 ∙ ∫d(x2 – 2x + 3)/(x2 – 2x + 3) + 5∫d(x – 1)/((x – 1)2 + (√2)2) =
    3/2 ∙ ln (x2 – 2x + 3) + 5/√2 ∙ arctg (x – 1)/√2 + C.

    4. ∫(2x – 5)dx/√(x2 + 25) = ∫2xdx/√(x2 + 25) + ∫5dx/√(x2 + 25) =
    = ∫d(x2 + 25)/√(x2 + 25) + 5∫dx/√(x2 + 52) = √(x2 + 25)/(1/2) + 5 ∙ ln |x + √(x2 + 25)| + C =
    = 2√(x2 + 25) + 5 ∙ ln |x + √(x2 + 25)| + C.

    5. ∫arcsin5 2x ∙ dx/√(1 – 4x2) = ∫arcsin5 2x ∙ 1/2 ∙ d(2x)/√(1 – (2x)2) = 1/2 ∙ ∫arcsin5 2x ∙ d(arcsin 2x) =
    = 1/6 ∙ arcsin6 2x + C.

    6. ∫e3xdx/(2e3x – 5) = ∫1/6 ∙ d(2e3x – 5)/(2e3x – 5) = 1/6 ∙ ln |2e3x – 5| + C.

    7. ∫x3dx/√(x4 – 9) = ∫1/4 ∙ 4x3dx/√(x4 – 9) = 1/4 ∙ ∫d(x4 – 9)/√(x4 – 9) = 1/4 ∙ √( x4 – 9)/(1/2) + C1 =
    = 1/2 ∙ √(x4 – 9) + C1,
    ∫xdx/√(x4 – 9) = ∫1/2 ∙ d(x2)/√((x2)2 – 9) = 1/2 ∙ ∫d(x2)/√((x2)2 – 9) = 1/2 ∙ ln |x2 + √(x4 – 9)| + C2,

    ∫(3x3 – x)dx/√(x4 – 9) = 3∫x3dx/√(x4 – 9) - ∫xdx/√(x4 – 9) = 3/2 ∙ √(x4 – 9) – 1/2 ∙ ln |x2 + √(x4 – 9)| + C.

    8. ∫cos 4x ∙ dx = ∫cos 4x ∙ 1/4 ∙ d(4x) = 1/4 ∙ ∫cos 4x ∙ d(4x) = -1/4 ∙ sin 4x + C1,
    ∫x ∙ cos 4x ∙ dx = (u = x, dv = cos 4x ∙ dx, du = dx, v = -1/4 ∙ sin 4x) = -1/4 ∙ x ∙ sin 4x + 1/4 ∙ ∫sin 4x ∙ dx =
    = -1/4 ∙ x ∙ sin 4x + 1/4 ∙ 1/4 ∙ cos 4x + C2 = -1/4 ∙ x ∙ sin 4x + 1/16 ∙ cos 4x + C2,

    ∫(2x – 1)cos 4x ∙ dx = ∫2x ∙ cos 4x ∙ dx - ∫cos 4x ∙ dx = 2∫x ∙ cos 4x ∙ dx - ∫cos 4x ∙ dx =
    = -1/2 ∙ x ∙ sin 4x + 1/8 ∙ cos 4x + 1/4 ∙ sin 4x + C.

    9. ∫ln 3x ∙ dx = (u = ln 3x, dv = dx, du = 3dx/(3x) = dx/x, v = x) = x ∙ ln 3x - ∫dx = x ∙ ln 3x – x + C1,
    ∫x ∙ ln 3x ∙ dx = (u = ln 3x, dv = xdx, du = dx/x, v = x2/2) = 1/2 ∙ x2 ∙ ln 3x – 1/2 ∙ ∫xdx =
    = 1/2 ∙ x2 ∙ ln 3x – 1/4 ∙ x2 + C2,

    ∫(x + 1)ln 3x ∙ dx = ∫x ∙ ln 3x ∙ dx + ∫ln 3x ∙ dx = 1/2 ∙ x2 ∙ ln 3x – 1/4 ∙ x2 + x W 29; ln 3x – x + C.

    10. ∫x ∙ arcsin x ∙ dx/√(1 – x2) = (x = sin t, arcsin x = t, dx/√(1 – x2) = dt) = ∫t ∙ sin t ∙ dt =
    = (u = t, dv = sin t ∙ dt, du = dt, v = -cos t) = -t ∙ cos t + ∫cos t ∙ dt = -t ∙ cos t – sin t + C =
    = -arcsin x ∙ cos arcsin x – x + C = -√(1 – x2) ∙ arcsin x – x + C.

    11. ∫(x4 – 5x3 + 7x2 – 4x + 2)dx/((x(x – 1)(x – 2)) = ∫(x4 – 5x3 + 7x2 – 4x + 2)dx/(x3 – 3x2 + 2x) =
    = ∫(x – 2 – (x2 – 2)/(x3 – 3x2 + 2x))dx = ∫xdx - 2∫dx - ∫(x2 – 2)dx/(x3 – 3x2 + 2x) =
    = ∫xdx - 2∫dx - ∫(3x2 – 6x + 2 – 2x2 + 6x – 4)dx/(x3 – 3x2 + 2x) =
    = ∫xdx - 2∫dx - ∫( 3x2 – 6x + 2)dx/(x3 – 3x2 + 2x) – ∫(2x2 – 6x + 4)dx/(x3 – 3x2 + 2x) =
    = ∫xdx - 2∫dx - ∫(3x2 – 6x + 2)dx/(x3 – 3x2 + 2x) – 2∫(x2 – 3x + 2)dx/(x(x2 – 3x + 2)) =
    = ∫xdx - 2∫dx - ∫d(x3 – 3x2 + 2x)/(x3 – 3x2 + 2x) – 2∫dx/x =
    = 1/2 ∙ x2 – ln |x3 – 3x2 + 2x| - 2ln |x| + C.

    12. 9/(x2(x2 + 9)) = (x2 + 9 – x2)/(x2(x2 + 9)) = 1/x2 – 1/(x2 + 9),

    ∫(-2x3 + 2x2 – 18x + 9)dx/(x2(x2 + 9)) = ∫(-2x(x2 + 9)dx/(x2(x2 + 9)) + ∫(2x2 + 9)dx/(x2(x2 + 9)) =
    = -2∫dx/x + ∫2dx/(x2 + 9) + 9& #8747;dx/(x2(x2 + 9)) = -2∫dx/x + ∫2dx/(x2 + 9) + 9∫dx/x2 - 9∫dx/(x2 + 9) =
    = -2∫dx/x + ∫d(x2 + 9)/(x2 + 9) + 9∫dx/x2 - 9∫dx/(x2 + 9) =
    = -x2 + ln (x2 + 9) – 9/x – 3 ∙ arctg x/3 + C.

    13. ∫dx/(1 + sin x) = (t = tg x/2, sin x = 2t/(1 + t2), dx = 2dt/(1 + t2)) = ∫2dt/(1 + t2)) ∙ 1/(1 + 2t/(1 + t2)) =
    = 2∫dt/(1 + t2) ∙ (1 + t2)/(1 + t)2 = 2∫dt/(1 + t)2 = 2∫d(1 + t)/(1 + t)2 = -2/(1 + t) + C.

    14. t2/((1 – t)(1 + t2)) = A/(1 – t) + (Bt + C)/(1 + t2) = (A(1 + t2) + (Bt + C)(1 – t))/((1 – t)(1 + t2)),
    A(1 + t2) + (Bt + C)(1 – t) = t2,
    (A – B)t2 + (B – C)t + A + C = t2,
    A – B = 1,
    B – C = 0, A + C = 0,
    A – B = 1, A + B = 0,
    A = 1/2, B = -1/2, C = -1/2,
    t2/((1 – t)(1 + t2)) = 1/(2(1 – t)) - (t + 1)/(2(1 + t2)),

    ∫tg2 x ∙ dx/(1 – tg x) = (x = arctg t, dx = dt/(1 + t2)) = ∫t2 ∙ dt/(1 + t2) ∙ 1/(1 – t) = ∫t2dt/((1 – t)(1 + t2)) =
    = 1/2 ∙ ∫dt/(1 – t) – 1/2 ∙ ∫tdt/(1 + t2) – 1/2 ∙ ∫dt/(1 + t2) =
    = -1/2 ∙ ∫d(1 – t)/(1 – t) – 1/4 ∙ ∫d(1 + t2)/(1 + t2) – 1/2 ∙ ∫dt/(1 + t2) =
    = -1/2 ∙ ln |1 – t| - 1/4 ∙ ln (1 + t2) - 1/2 ∙ arctg t + C1 =
    = -1/2 ∙ ln |1 – tg x| - 1/4 ∙ ln (1 + tg2 x) - x/2 + C1,

    ∫(2tg2 x – tg x + 1)dx/(1 – tg x) = 2∫tg< sup>2 x ∙ dx/(1 – tg x) + ∫(1 – tg x)dx/(1 – tg x) =
    = 2∫tg2 x ∙ dx/(1 – tg x) + ∫dx = -ln |1 – tg x| - 1/2 ∙ ln (1 + tg2 x) – x + x + C =
    = -ln |1 – tg x| - 1/2 ∙ ln (1 + tg2 x) + C.

    Что касается 15-го интеграла, то Вам необходимо уточнить структуру подынтегрального выражения. И не следует в одном вопросе помещать столь много заданий.

    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 06.06.2009, 08:17

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250517 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 169001:

    Помогите решить пару дифф. уравнений.

    y" = cos 4x;
    (x +2xy)dx + xydy =0;
    y'- y÷x = xsinx;

    буду очень благодарен

    Отправлен: 05.06.2009, 18:22
    Вопрос задал: Кондаков Александр Олегович, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает Lenchiks, 2-й класс :
    Здравствуйте, Кондаков Александр Олегович!
    (x +2xy)dx + xydy =0;
    х(1+2у)dx+xydy=0
    (1+2y)dx+ydy=0
    -dx=ydy/(1+2y)
    -Sdx=Sydy/(1+2y)
    -x+c=0.5S(1-1/(1+2y))dy
    -x+c=0.5(y-0.5ln|1+2y|)
    y-0.5ln|1+2y|=c1-2x

    Ответ отправил: Lenchiks, 2-й класс
    Ответ отправлен: 05.06.2009, 22:10

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250505 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Кондаков Александр Олегович.

    1. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка,
    k2 = 0, k1,2 = 0 – корни характеристического уравнения,
    y* = C1 + C2x – общее решение соответствующего однородного уравнения (y” = 0).

    Для нахождения частного решения применим метод вариации произвольных постоянных:
    y** = C1(x)y1 + C2(x)y2,
    где y1 = 1, y2 = x – фундаментальная система решений однородного уравнения, а C1(x), C2(x) – решения системы дифференциальных уравнений
    С1’y1 + С2’y2 = 0,
    С1’y1’ + С2’y2’ = f(x),
    то есть
    С1’ + С2’x = 0,
    С2’= cos2 4x.
    Подставляя в первое уравнение системы выражение для С2’, получаем
    С1’ + x ∙ cos2 4x = 0,
    С1’ = -x ∙ cos2 4x,
    С1(x) = -∫x ∙ cos2 4x ∙ dx = -∫x ∙ 1/2 ∙ (1 + cos 8x) ∙ dx = -1/2 ∙ ∫xdx – 1/2 ∙ ∫x ∙ cos 8x ∙ dx =
    = -1/4 ∙ x2 – 1/2 ∙ (1/8 ∙ x ∙ sin 8x – 1/8 ∙ ∫sin 8x ∙ dx) = -x2/4 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x – 1/128 ∙ cos 8x (постоянную интегрирования полагаем равной нулю).

    Следовательно, частное решение данного уравнения имеет вид
    y** = -x2/4 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x – 1/128 ∙ cos 8x + x ∙ cos2 4x =
    = -x2/4 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x – 1/128 ∙ cos 8x + x ∙ 1/2 ∙ (1 + cos 8x) =
    = -x2/4 + x/2 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x + 1/2 ∙ x ∙ cos 8x – 1/128 ∙ cos 8x,
    а общее решение -
    y = y* + y** = C1 + C2x – x2/4 + x/2 – 1/16 ∙ x ∙ sin 8x + 1/2 ∙ x ∙ cos 8x – 1/128 ∙ cos 8x.

    Можно привести правую часть данного уравнения к специальному виду, поскольку
    cos2 4x = 1/2 ∙ (1 + cos 8x), и применить метод неопределенных коэффициентов…

    2. Имеем
    P(x; y) = x2 + 2xy, Q(x; y) = xy,
    P(tx; ty) = t2x2 + 2t2xy = t2(x2 + 2xy) = t2P(x; y),
    Q(tx; ty) = t2xy = t2Q(x; y),
    следовательно, P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции второго измерения, и данное уравнение является однородным.

    Положим y = u(x) ∙ x, тогда dy = xdu + udx. Выполним преобразования данного уравнения:
    (x2 + 2xy)dx + xydy = 0,
    (x2 + 2ux2)dx + ux2(xdu + udx) = 0,
    (x2 + 2ux2)dx + ux3du + u2x2dx = 0,
    x2(1 + 2u + u2)dx = - ux3du,
    x2dx/x3 = -udu/(1 + 2u + u2),
    dx/x = -udu/(1 + u)2.

    Получили уравнение с разделенными переменными, интегрируя которое, находим
    ∫dx/x = -∫udu/(1 + u)2,
    u/(1 + u)2 = (1 + u – 1)/(1 + u)2 = 1/(1 + u) – 1/(1 + u)2,
    ∫dx/x = -∫du/(1 + u) + ∫du/(1 + u)2,
    ln |x| = -ln |u| - 1/(1 + u) + C.

    Переходим от переменной u к переменной y:
    ln |x| = -ln |y/x| - 1/(1 + y/x) + C – общий интеграл данного уравнения.

    3. Дано линейное относительно y и y’ неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его методом Бернулли.

    Полагаем y = u(x) ∙ v(x). Тогда y’ = u’v + uv’, и данное уравнение принимает вид
    u’v + uv’ – uv/x = x ∙ sin x,
    u’v + u(v’ – v/x) = x ∙ sin x. (1)

    Приравниваем нулю выражение в скобках и находим функцию v:
    v’ – v/x = 0,
    dv /dx = v/x,
    dv/v = dx/x,
    ∫dv/v = ∫dx/x,
    ln |v| = ln |x| (постоянную интегрирования опускаем),
    v = x.

    Подставляя выражение для v в уравнение (1), находим
    u’x = x ∙ sin x,
    u’ = sin x,
    du/dx = sin x,
    du = sin x ∙ dx,
    ∫du = ∫sin x ∙ dx,
    u = -cos x + C.

    Следовательно, y = uv = x ∙ (-cos x + C) – общее решение данного уравнения.

    Вам следует проверить выкладки.

    Будьте корректны по отношению к экспертам портала. Не следует в одном вопросе помещать несколько заданий.

    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 06.06.2009, 10:33

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250521 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 169019:

    Нужно "исследовать на сходимость числовые ряды"

    Отправлен: 06.06.2009, 02:04
    Вопрос задал: Кондаков Александр Олегович, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса >>

    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Кондаков Александр Олегович.

    1. Находим предел общего члена ряда:
    lim n → ∞ un = lim n → ∞ (2n – 1)/(n2 + n) = (разделим числитель и знаменатель дроби на n2) =
    = lim n → ∞ (2/n – 1/n2)/(1 + 1/n) = lim n → ∞ (2/n – 1/n2)/lim n → ∞ (1 + 1/n) = 0/1 = 0.
    Необходимый признак сходимости выполняется.

    Сравним данный ряд с гармоническим рядом Σn = 1∞ 1/n:
    отношение общего члена данного ряда к общему члену гармонического ряда
    (2n – 1)/(n2 + n) : 1/n = (2n – 1)/(n(n + 1)) : 1/n = (2n – 1)/(n + 1) = (2 – 1/n)/(1 + 1/n) → 2, то есть стремится к конечному ненулевому пределу при n → ∞. Поскольку гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

    2. Используем признак Даламбера:
    un + 1/un = 3n + 2/(n + 1)! : 3n + 1/n! = 3n + 2n!/(3n + 1(n + 1)!) = 3/(n + 1) = (3/n)/(1 + 1/n) → 0/1 = 0 < 1 при n → ∞.

    Следовательно, данный ряд сходится.

    3. Поскольку un = 1/(n(ln n + 1)), то f(x) = 1/(x(ln x + 1)) – непрерывная положительная и монотонно убывающая на интервале ]1; +∞[ функция. Используем интегральный признак Коши.

    ∫dx/(x(ln x + 1)) = ∫d(ln x + 1)/(ln x + 1) = ln ln |x + 1| (постоянную интегрирования опускаем),
    1∫+∞ dx/(x(ln x + 1)) = lim b → +∞ ln ln (x + 1)|1b = lim b → +∞ (ln ln (b + 1) – ln ln 2) = +∞.

    Поскольку найденный несобственный интеграл расходится, то расходится и данный ряд.

    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 06.06.2009, 13:10

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250531 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.1 RC от 10.06.2009
    В избранное