Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Июль 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1268
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1095
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 905
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 977 от 29.07.2009, 05:35
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 227, экспертов - 134
В номере: вопросов - 1, ответов - 1

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170724: Найти все лорановские разложения функции z/(z2+4) по степеням (z-z0), z0=2i....

Вопрос № 170724:

Найти все лорановские разложения функции z/(z2+4) по степеням (z-z0), z0=2i.

Отправлен: 23.07.2009, 16:44
Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
Здравствуйте, Alik4546.

В ответе на Ваш предыдущий вопрос было показано разложение функции в ряд Лорана по степеням z. Решение теперешней задачи аналогично. Имеем
f(z) = z/(z2 + 4) = z/[(z – 2i)(z + 2i)] = [1/2 ∙ (z + 2i) + 1/2 ∙ (z – 2i)]/[(z – 2i)(z + 2i)] = = 1/[2(z – 2i)] + 1/[2(z + 2i)]. (1)

Первое слагаемое в выражении (1) представляет собой член искомого вида. Найдем разложения в ряд для второго слагаемого. Обозначим
w = z + 2i, тогда
1/[2(z + 2i)] = 1/[2(w + 4i)] = 1/[8i(1 + w/4i)] = 1/[8i{1 – iw/4)] = -i/8 ∙ 1/(1 – iw/4) =
= -i/8 ∙ [1 + iw/4 + (iw/4)2 + … + (iw/4)n + …] = -i/8 ∙ Σ n = 0∞ (iw/4)n, (2)
1/[2(z + 2i)] = 1/[2(w + 4i)] = 1/[2w(1 + 4i/w}] = 1/[2w(1 – 4/(iw))] =
1/(2w) ∙ 1/[1 – 4/(iw)] = 1/(2w) ∙ [1 + 4/(iw) + (4/(iw))2 + … + (4/(iw))n + …] =
= 1/(2w) ∙ Σ n = 0∞ [4/(iw)]n = 1/2 ∙ Σ n = 0∞ [4n/(inwn + 1)]. (3)

Находим радиус сходимости ряда (2):
R = |(i/4)n : (i/4)n + 1| = |4/i| = 4.
Следовательно, данный ряд сходится в области |w| < 4.

Находим радиус сходимости ряда (3):
R = |(4/i)n : (4/i)n + 1| = |i/4| = 1/4.
Следовательно, данный ряд сходится при |1/w| < 1/4, то есть в области |w| > 4.

Окончательно получаем, учитывая что w = z – 2i, следующие разложения:
1) при 0 < |z – 2i| < 4
f(z) = 1/[2(z – 2i)] – i/8 ∙ Σ n = 0∞ (i(z - 2i)/4)n;
2) при |z – 2i| > 4
f(z) = 1/[2(z – 2i)] + 1/2 ∙ Σ n = 0∞ 4n/[in(z - 2i)n + 1].

Вроде бы так...

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Ответ отправлен: 24.07.2009, 08:24

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252546 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.6 от 21.07.2009
    В избранное