RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / МатематикаВыпуск № 970 от 22.07.2009, 02:05Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал В рассылке: подписчиков - 228, экспертов - 135 В номере: вопросов - 4, ответов - 4
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: Вопрос № 170483: Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд: ∑(n=1...∞)[(15n2+n)/(13n2-10)]n... Вопрос № 170487: Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд: ∑(n=2...∞)1/(n*ln15n)... Вопрос № 170488: Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд: ∑(n=1...∞)n13/(13n14+27)... Вопрос № 170495: Исследовать на сходимость знакопеременный ряд: ∑(n=1...∞)(cos3nα)/(n3+5)... Вопрос № 170483:
Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд:
Отправлен: 16.07.2009, 16:25 Отвечает Kom906, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. Применяем признак Коши, Формула общего члена ряда: an = [(15n2+n)/(13n2-10)]^n Вычисляем предел I = lim{n->∞}(an)^(1/n) = lim{n->∞}([(15n2+n)/(13n2-10)]^n)^(1/n) = lim{n->∞}[(15n2+n)/(13n2-10)] = = lim{n->∞}[(15n2+n):n2] / [(13n2-10):n2] = lim{n->∞}[15+(1/n)] / [13-(10/n2)] = 15/13 > 1 Так как I = 15/13 > 1, то согласно признаку Коши ряд расходится P.S. Знак "^" - знак степени, то есть запись вида n^3 это "n в третьей степени", а запись n^(1/n) - "корень степени n из числа n"
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170487:
Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд:
Отправлен: 16.07.2009, 18:36 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Alik4546. Поскольку общий член ряда задается формулой an = 1/(n ∙ ln15 n), то положим f(x) = 1/(x ∙ ln15 x). Поскольку f(x) – функция непрерывная, положительная и монотонно убывающая на промежутке ]2; +∞[, то для исследования ряда на сходимость можно применить интегральный признак Коши. Находим соответствующий неопределенный интеграл: ∫dx/(x ∙ ln15 x) = ∫(ln x)-15 ∙ d(ln x) = -1/14 ∙ 1/ln14 x + C. В качестве первообразной для функции f(x) примем функцию F(x) = -1/14 ∙ 1/ln14 x. Тогда несобственный интеграл 2∫+∞ f(x)dx = lim b → +∞ (-1/14 ∙ 1/ln14 x)|2b = -1/14 ∙ lim b → +∞ (1/ln14 b – 1/ln14 2) = -1/14 ∙ (0 – 1/ln14 2) = 1/(14 ∙ ln 14 2). Поскольку несобственный интеграл 2∫+∞ f(x)dx сходится, то сходится и заданный ряд. Ответ: ряд сходится. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170488:
Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд:
Отправлен: 16.07.2009, 19:29 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Alik4546. Находим предел общего члена ряда: lim n → ∞ an = lim n → ∞ n13/(13n14 + 27) = (разделим числитель и знаменатель дроби на n14) = = lim n → ∞ (1/n)/(13 + 27/n14) = [lim n → ∞ (1/n)]/[lim n → ∞ (13 + 27/n14)] = 0/13 = 0, то есть необходимый признак сходимости выполняется. При n → ∞ числитель и знаменатель дроби n13/(13n14 + 27) неограниченно растут. При этом скорость роста знаменателя определяется слагаемым 13n14, то есть 13n14 + 27 ~ 13n14, и n13/(13n14 + 27) ~ n13/13n14 = 1/13 ∙ 1/n. А поскольку гармонический ряд Σn = 1∞ 1/n расходится, то расходится и ряд Σn = 1ͩ 4; (1/13 ∙ 1/n) = 1/13 ∙ Σn = 1∞ 1/n, а с ним и заданный ряд. Ответ: ряд расходится. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170495:
Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:
Отправлен: 16.07.2009, 21:41 Отвечает Kom906, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. 1. Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда, то есть знакопостоянный ряд: ∑{n=1 ... ∞}|(cos3na) / (n3+5)| = ∑{n=1 ... ∞}|(cos3na)| / (n3+5) Так как для любых действительных чисел a и n |(cos3na)| ≤ 1, то |(cos3na)| / (n3+5) ≤ 1 / (n3+5) < 1/n3 Значит, если сходится ряд ∑{n=1 ... ∞} 1/n3, то согласно первому признаку сравнения рядов сходятся ряды ∑{n=1 ... ∞}|(cos3na)| / (n3+5) и ∑{n=1 ... ∞}1 / (n3+5) По интегральному признаку Коши ряд ∑{n=1 ... ∞} 1/n3 сходится, так как сходится несобственный интеграл: I = ∫{от 1 до +∞}(1/x3)dx = lim{A->+∞}∫{от 1 до A}(1/x3)dx = lim{A->+∞}(-1/(2 *x2))|{от 1 до A} = = lim{A->+∞}(-1/(2*A2) + 1/(2*12)) = -1/0 + 1/2 = 1/2 (то есть конечное число) Значит сходятся ряды ∑{n=1 ... ∞}|(cos3na)| / (n3+5) и ∑{n=1 ... ∞}1 / (n3+5), согласно первому признаку сравнения рядов. То есть сходится ряд, составленный из модулей исходного ряда. 2. Исследуем на сходимость исходный ряд, то есть знакопеременный ряд ∑{n=1 ... ∞}(cos3na) / (n3+5) Так как |(cos3na)| ≤ 1, то числа (cos3na) образуют монотонную и ограниченную последовательность А ряд ∑{n=1 ... ∞}1 / (n3+5) сходится (доказано в пункте 1.) Значит, согласно признаку Абеля сходится исходный ряд, а так как сходится и ряд, составленный из модулей исходного ряда, то исходный ряд сходится абсолютно
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: оценить выпуск >>
подать вопрос экспертам этой рассылки >>Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009 |
| В избранное | ||
