Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay
  Все выпуски  

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1237
∙ повысить рейтинг >>
Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1000
∙ повысить рейтинг >>
_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 896
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 975 от 27.07.2009, 04:35
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 227, экспертов - 136
В номере: вопросов - 4, ответов - 4

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170641: Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: ABC∫(z2+cosz)dz; ABC-ломаная, zA=0, zB=1, zC=i...


Вопрос № 170645: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить задачу Выяснить сходимость несобственного интеграла ∫03 (x+3)/( x*sin(2*x) ) dx мне сказали, что можно использовать теорему сравнения и порядок...
Вопрос № 170658: С помощью интегральной фотмулы Коши и её обобщений вычислить интеграл по замкнутому контуру: |z-1/2|=1∫(i(z-i))/(z(z2+4))dz....
Вопрос № 170661: С помощью интегральной формулы Коши и её обобщений вычислить интеграл по замкнутому контуру: |z|=1/3∫((3-2z+4z4)/z3)dz....

Вопрос № 170641:

Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой:
ABC∫(z2+cosz)dz; ABC-ломаная, zA=0, zB=1, zC=i

Отправлен: 21.07.2009, 08:44
Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>


Отвечает Kom906, 5-й класс :
Здравствуйте, Alik4546.

Как я понял путь интегрирования не является замкнутым, и представляет собой путь от точки А до В и от точки В до С.

Подынтегральная функция аналитическая на всей комплексной плоскости, так как она получена при помощи операций сложения и умножения аналитических функций f1(z)=z и f2(z)=cos(z), поэтому указанная функция также аналитическая.

Так как функция аналитическая на всей комплексной плоскости, то криволинейный интеграл от этой функции не зависит от формы кривой пути интегрирования, и применима формула Ньютона-Лейбница:

ABC f(z)dz = ∫AB f(z)dz + ∫BC f(z)dz = ∫AC f(z)dz = ∫AC (z2+cos(z))dz = ∫0i (z2+cos(z))dz =

= ((z3/3)+sin(z)) |0i = i3/3)+sin(i) = - (i/3) + sin(i) = -( i/3) + ((ei*i-e-i*i)/2) = -(i/3) + 0.5*(e-1-e1) = -(i/3) - sh1

Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Ответ отправлен: 21.07.2009, 14:06

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252421 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Вопрос № 170645:

    Здравствуйте, уважаемые эксперты!

    Помогите, пожалуйста, решить задачу
    Выяснить сходимость несобственного интеграла
    03 (x+3)/( x*sin(2*x) ) dx
    мне сказали, что можно использовать теорему сравнения и порядок роста функции

    Отправлен: 21.07.2009, 10:46
    Вопрос задал: serg00008, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса >>


    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, serg00008.

    Подынтегральная функция терпит разрыв при x = 0, поскольку при x → 0
    f(x) = (x + 3)/(x ∙ sin 2x) ~ x/(x ∙ 2x) = 1/(2x) → ∞.

    Рассмотрим функцию φ (x) = 1/x. Интеграл
    03 dx/x = lim ε → 0 0 + ε3 dx/x = lim ε → 0 ln x|ε3 = ln 3 - lim ε → 0 ln ε
    расходится, потому что при ε → 0 ln ε → -∞.

    Поскольку при x → 0
    f(x)/φ(x) = [(x + 3)/(x ∙ sin 2x)]/(1/x) = (x + 3)/sin 2x ~ x/2x = 1/2,
    то и заданный интеграл расходится.

    Ответ: интеграл расходится.

    С уважением.

    P. S. Если не сложно, пожалуйста, оцените ответ.

    P. P. S. Учитывая справедливое замечание эксперта Kom906, хочу внести в данный мной ответ дополнение.

    Указанный несобственный интеграл надо разб ить на три части, получив три несобственных интеграла:

    03 (x+3)/( x*sin(2*x) ) dx = ∫01 (x+3)/( x*sin(2*x) ) dx + ∫1pi/2 (x+3)/( x*sin(2*x) ) dx + ∫pi/23 (x+3)/( x*sin(2*x) ) dx,

    так как подынтегральная функция терпит разрыв в точках x=0 и x=pi/2,
    и функции надо сравнивать на интервалах в соответствии с признаками сравнения.

    В первом случае надо сравнить с функцией (1/х): (1/х) < (x+3)/( x*sin(2*x) ) при 0 < x <1

    Во втором случае надо сравнивать с функцией (1/(pi-2x)): (1/(pi-2x)) < - (x+3)/( x*sin(2*x) ) при 1 < x < pi/2.
    Здесь правильнее рассматривать интеграл ∫1pi/2 (-(x+3))/( x*sin(2*x) ) dx , так как sin(2x)<0 при 1 < x < pi/2.

    В третьем случае надо сравнивать с функцией (1/(2x-pi)): (1/(2x-pi)) < (x+3)/( x*sin(2*x) ) при pi/2 < x < 3.

    Каждый несобственный интеграл из т рех расходится, хотя достаточно доказать расходимость любого для доказательства расходимости всего суммарного интеграла.


    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 21.07.2009, 16:33

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252434 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Вопрос № 170658:

    С помощью интегральной фотмулы Коши и её обобщений вычислить интеграл по замкнутому контуру:
    |z-1/2|=1∫(i(z-i))/(z(z2+4))dz.

    Отправлен: 21.07.2009, 15:35
    Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса >>


    Отвечает Kom906, 5-й класс :
    Здравствуйте, Alik4546.

    1. Исследуем аналитичность подынтегральной функции.
    Подынтегральная функция аналитична на всей комплексной плоскости за исключением точек:

    z*(z2+4)=0

    То есть точек: z1=0 , z2,3=±2i. Это простые полюсы функции

    2. Контур интегрирования С:|z-1/2|=1 представляет собой окружность радиуса R=1 и с центром в точке z=1/2
    Полюсы подынтегральной функции z2,3=±2i лежат за пределами указанной окружности, а полюс z1=0 лежит внутри области, ограниченной данной окружностью

    3. Тогда преобразуем подынтегральную функцию:

    (i*(z-i)) / (z*(z2+4)) = f(z)/z , где f(z)=(i*(z-i)) / (z2+4)

    Функция f(z) имеет два простых полюса z=±2i и аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением этих двух полюсов. Значит она аналитична внутри области, ограниченной контуром интегрирования, и на самом контуре. Поэтому справедлива интегр альная формула Коши:

    С (f(z)/(z-z1)) dz = 2*pi*i*f(z1), здесь z1=0

    Итак:

    С (i*(z-i)) / (z*(z2+4)) dz = 2*pi*i*f(0) = 2*pi*i* {(i*(z-i)) / (z2+4)} |z=0 = 2*pi*i*(i*(0-i)) / (02+4) = 2*pi*i*i*(-i) / 4 = i*pi/2

    pi = 3.14... (константа "пи")
    Редактирование ответа по просьбе автора
    -----
    ∙ Отредактировал: Цикалов Игорь Константинович, Модератор
    ∙ Дата редактирования: 21.07.2009, 23:05 (время московское)

    Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
    Ответ отправлен: 21.07.2009, 16:31

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252433 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Вопрос № 170661:

    С помощью интегральной формулы Коши и её обобщений вычислить интеграл по замкнутому контуру:
    |z|=1/3∫((3-2z+4z4)/z3)dz.

    Отправлен: 21.07.2009, 18:04
    Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса >>


    Отвечает Kom906, 5-й класс :
    Здравствуйте, Alik4546.

    1. Исследуем аналитичность подынтегральной функции.
    Подынтегральная функция аналитична на всей комплексной плоскости за исключением точек:

    z3 = 0

    То есть точки: z0=0. Это тройной полюс функции (так как z в третьей степени)

    2. Контур интегрирования С:|z|=1/3 представляет собой окружность радиуса R=1/3 и с центром в точке z0=0
    Единственный полюс подынтегральной функции z0=0 лежит внутри области, ограниченной данной окружностью

    3. Тогда преобразуем подынтегральную функцию:

    (3 - 2z + 4z4)/z3 = f(z)/z3 , где f(z) = 3 - 2z + 4z4

    Функция f(z) аналитична на всей комплексной плоскости. Значит она аналитична внутри области, ограниченной контуром интегрирования, и на самом контуре. Поэтому справедлива интегральная формула Коши:

    С (f(z)/(z-z0)3) dz = (2*pi*i/2!)*f'' (z0) = pi*i*f''(z0), здесь z0=0

    Вычисляем вторую производную:

    f''(z) = (3 - 2z + 4z4)'' = ( - 2 + 16*z3)' = 48*z2

    Итак:

    С (3 - 2z + 4z4) / z3 dz = pi*i*f''(0) = pi*i* {48*z2} |z=0 = pi*i*0 = 0

    Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
    Ответ отправлен: 21.07.2009, 22:39

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252454 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)

    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.


    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009

    В избранное