Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 759 RSS
←   Июль 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

759 подписчиков
-1 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1276
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1125
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 917
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 978 от 30.07.2009, 06:05
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 227, экспертов - 134
В номере: вопросов - 2, ответов - 2

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170745: Вычислить интеграл: 0∫2пиdt/(4-(√7)sint)....

Вопрос № 170768: Вычислить интеграл: -∞∫+∞1/[(x2+2)(x2+3)2]....
Вопрос № 170745:

Вычислить интеграл:
0∫2пиdt/(4-(√7)sint).

Отправлен: 24.07.2009, 09:31
Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
Здравствуйте, Alik4546.

Находим первообразную подынтегральной функции:
F(t) = ∫dt/(4 - √7sin t).

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой p = tg t/2. Получаем
sin t = 2p/(1 + p2), t = 2arctg p, dt = 2dp/(1 + p2),
F(t) = ∫dt/(4 - √7sin t) = 2∫dp/(1 + p2} ∙ 1/[4 – 2p√7/(1 + p2)] =
= 2∫dp/(1 + p2}∙ (1 + p2)/[4(1 + p2) – 2p√7] = 2∫dp/(4p2 – 2p√7 + 4) =
= 2∫dp/[(2p)2 – 2 ∙ 2p ∙ √7/2 + (√7/2)2 + (4 – (√7/2)2)] = 2∫dp/[(2p - √7/2)2 + (4 – 7/4)] =
= 2∫1/2 ∙ d(2p - √7/2)/[(2p - √7/2)2 + (3/2)2] = ∫d(2p - √7/2)/[(2p - √7/2)2 + (3/2)2] =
= 2/3 ∙ arctg (2p - √7/2)/(3/2) + C = 2/3 ∙ arctg (4p - √7)/3 + C = 2/3 ∙ arctg (4tg t/2 - √7)/3 + C. (2)

Воспользовавшись формулой Ньютона – Лейбница и полученным выражением (2), находим искомый интеграл:
0∫2π dt/(4 - √7sin t) = F(2π) – F(0) = 2/3 ∙ arctg (4tg π - √7)/3 - 2/3 ∙ arctg (4tg 0 - √7)/3 =
= 2/3 ∙ [arctg -√7/3 – arctg -√7/3] = 0.

Проверьте выкладки!

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Ответ отправлен: 24.07.2009, 18:00

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252572 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 170768:

    Вычислить интеграл:
    -∞∫+∞1/[(x2+2)(x2+3)2].

    Отправлен: 24.07.2009, 20:12
    Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса >>

    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Alik4546.

    Разложим подынтегральную дробь на простейшие:
    1/[(x2+2)(x2+3)2] = A/(x2 + 2) + B/(x2 + 3) + C/(x2 + 3)2 =
    = [A(x2 + 3)2 + B(x2 + 2)(x2 + 3) + C(x2 + 2)]/[(x2+2)(x2+3)2],
    A(x2 + 3)2 + B(x2 + 2)(x2 + 3) + C(x2 + 2) = 1. (1)

    Приравнивая в выражении (1) коэффициенты при свободных членах, получаем
    9A + 6B + 2C = 1; (2)
    приравнивая в выражении (1) коэффициенты при x4, получаем
    A + B = 0; (3)
    приравнивая в выражении (1) коэффициенты при x2, получаем
    6A + 5B + C = 0. (4)

    Решаем систему уравнений (2) – (4), переписав их следующим образом:
    C + 5B + 6A = 0,
    B + A = 0,
    2C + 6B + 9A = 1.
    Расширенная матрица системы имеет следующий вид:
    ||1 5 6 | 0||
    ||0 1 1 | 0| |
    ||2 6 9 | 1||.
    Применяя метод Гаусса, получим
    ||1 5 6 | 0||
    ||0 1 1 | 0|| ~
    ||2 6 9 | 1||

    ||1 5 6 | 0||
    ||0 1 1 | 0|| ~
    ||0 -4 -3 | 1||

    ||1 5 6 | 0||
    ||0 1 1 | 0|| ~
    ||0 0 1 | 1||.
    Следовательно,
    A = 1,
    B + A = 0, B + 1 = 0, B = -1,
    C + 5B + 6A = 0, C – 5 + 6 = 0, C = -1,
    и подынтегральная дробь раскладывается на простейшие следующим образом:
    1/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = 1/(x2 + 2) - 1/(x2 + 3) - 1/(x2 + 3)2.

    Пользуясь таблицами интегралов (чтобы не брать «трудный» интеграл), предварительно находим
    ∫dx/(x2 + 3)2 = x/[6(x2 + 3)] + 1/6 ∙ ∫dx/(x2 + 3) = x/[6(x2 + 3)] + 1/6 ∙ 1/√3 ∙ arctg x/√3 =
    = x/[6(x2 + 3)] + 1/(6√3) ∙ arctg x/√3 (произвольную постоянную интегрирования опускаем).

    Находим первообразную подынтегральной функции:
    F(x) = ∫dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = ∫dx/(x2 + 2) - ∫dx/(x2 + 3) - ∫dx/(x2 + 3)2 =
    = 1/√2 ∙ arctg x/√2 - 1/√3 ∙ arctg x/√3 - x/[6(x2 + 3)] - 1/(6√3) ∙ arctg x/√3 =
    = 1/√2 ∙ arctg x/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg x/√3 – x/[6(x2 + 3)] (произвольные постоянные интегрирования опускаем).

    Далее находим

    0∫+∞ dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = 0∫+∞ dx/(x2 + 2) - 0∫+∞ dx/(x2 + 3) - 0∫+∞ dx/(x2 + 3)2 =
    = lim b → +∞ [0∫b dx/(x2 + 2) - 0∫b dx/(x2< /sup> + 3) - 0∫b dx/(x2 + 3)2] =
    = lim b → +∞ {1/√2 ∙ arctg x/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg x/√3 – x/[6(x2 + 3)]}|0b =
    = lim b → +∞ {1/√2 ∙ arctg b/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg b/√3 – x/[6(b2 + 3)]} – 0 = π/(2√2) – 7π/(12√3)
    (здесь при b → +∞ b/[6(b2 + 3)] = [∞/∞] = (по правилу Лопиталя) = 1/(12b) → 0);

    -∞∫0 dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = -∞∫0 dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = -∞∫0 dx/(x2 + 2) - -∞∫0 dx/(x2 + 3) - -∞∫0 dx/(x2 + 3)2 =
    = lim a → -∞ [a∫0 dx/(x2 + 2) - a∫0 dx/(x2 + 3 ) - a∫0 dx/(x2 + 3)2] =
    = lim a → -∞ {1/√2 ∙ arctg x/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg x/√3 – x/[6(x2 + 3)]}||a0 =
    = 0 – lim a → -∞ {1/√2 ∙ arctg a/√2 – 7/(6√3) ∙ arctg a/√3 – a/[6(a2 + 3)]} = π/(2√2) – 7π/(12√3)
    (здесь при a → -∞ a/[6(a2 + 3)] = [∞/∞] = (по правилу Лопиталя) = 1/(12a) → 0);

    -∞∫+∞ dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = -∞∫0 dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] + 0∫+∞ dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = 2[π/(2√2) – 7π/(12√3)] =
    = π/√2 – 7π/(6√3) = π(√2/2 – 7√3 /18) = π/18 ∙ (9√2 - 7√3).

    Найти несобственный интеграл можно по-другому.

    Функция f(z) = 1/[(z2 + 2)(z2 + 3)2] является аналитической в верхней полуплоскости, за исключением полюсов i√2 (простой полюс), i√3 (полюс второго порядка). Кроме того,
    при |z| → +∞ z2f(z) = z2/[(z2 +2)(z2 +3)2] → 0, то есть является конечной величиной.

    Находим вычет функции f(z) относительно простого полюса i√2:
    r i√2 f(z) = lim z → i√2 (z – i√2)/[(z2 + 2)(z2 + 3)2] = lim z → i√2 1/[(z + i√2)(z2 + 3)2] = 1/(2i√2).

    Находим вычет функции f(z) относительно полюса второго порядка i√3:
    r i√3 f(z) = lim z → i√3 d{(z – i√3)2/[(z2     + 2)(z2 + 3)2]}/dz =
    = lim z → i√3 d{1/[(z2 + 2)(z + i√3)2]}/dz = 1/2 ∙ lim z → i√3 {-1/[(z2 + 2)2(z + i√3)4] ∙ d[(z2 + 2)(z + i√3)2]/dz} =
    = -lim z → i√3 {1/[(z2 + 2)2(z + i√3)4] ∙ [2z(z + i√3)2 + 2(z2 + 2)(z + i√3)]} =
    = -2 ∙ lim z → i√3 {z/[(z2 + 2)2(z + i√3)2] + 1/[(z2 + 2)(z + i√3)3]} = -2[i√3/(2i√3)2 – 1/(2i√3)3] =
    = -2[i√3/(12i2) – 1/(24√3i3)] = i/(2√3) + i/(12√3).

    Искомый несобственный интеграл равен
    -∞∫+∞ dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = 2πi[1/(2i√2) + i/(2√3) + i/(12√3)] = π/√2 – π/√3 - π/(6√3) =
    = π/√2 - 7π/(6√3) = π/18 ∙ (9√2 - 7√3).

    В обоих случаях получаем одинаковый результат
    -∞∫+∞ dx/[(x2 + 2)(x2 + 3)2] = π/18 ∙ (9√2 - 7√3) ≈ 0,1053.

    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 25.07.2009, 13:17

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252599 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.6 от 21.07.2009
    В избранное