RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / МатематикаВыпуск № 974 от 26.07.2009, 04:05Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал В рассылке: подписчиков - 227, экспертов - 136 В номере: вопросов - 3, ответов - 4
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: Вопрос № 170618: Начертить область,заданную неравенствами [z-1-i]≥1, 0≤Rez∠2, 0∠Imz≤2 (если это,конечно,возможно на этом сайте). Пояснение: []-модуль,∠-строго меньше (невключительно).... Вопрос № 170629: Пользуясь условиями Коши-Римана,выяснить,является ли функция z*cosz аналитической или нет хотя бы в одной точке.... Вопрос № 170633: Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию f(z) по известной действительной u(x,y) или мнимой части v(x,y) и значению f(z0). Дано: v(x,y)=y-(y)/(x2+y2), f(1)=2.... Вопрос № 170618:
Начертить область,заданную неравенствами [z-1-i]≥1, 0≤Rez∠2, 0∠Imz≤2 (если это,конечно,возможно на этом сайте).
Отправлен: 20.07.2009, 15:25 Отвечает Kom906, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. Пусть z = x + i*y Первое условие: |z-1-i| = |x+i*y-1-i| = |(x-1)+i*(y-1)| = √((x-1)2 + (y-1)2) ≥ 1 ⇒ (x-1)2 + (y-1)2 ≥ 1 Данное условие определяет точки окружности радиуса R = 1 и с центром в точке (1, 1), а ткже точки лежащие за пределами этой окружности Второе условие Re z = x ⇒ 0 ≤ x < 2 Данное условие определяет точки лежащие между прямыми х = 0 (ось у) и х = 2, а также точки прямой х = 0 (ось у) Третье условие Im z = y ⇒ 0 < у ≤ 2 Данное условие определяет точки лежащие между прямыми y = 0 (ось x) и y = 2, а также точки прямой y = 2 В итоге получим множество точек, заключенных между окружностью радиуса R = 1 с центром в точке (1, 1) и квадратом, в который вписана данная окружность, включая точки окружности и левой и правой стороны квадрата 
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170629: Пользуясь условиями Коши-Римана,выяснить,является ли функция z*cosz аналитической или нет хотя бы в одной точке.
Отправлен: 20.07.2009, 20:34 Отвечает Kom906, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. Пусть z = x + i*y Представим функцию в виде w(z) = u(x,y) + i*v(x,y) w(z) = z*cosz = (x+i*y)*(e(i*z) + e(-i*z))/2 = 0.5*(x+i*y)*(e(i*x+i*i*y) + e(-i*x-i*i*y)) = 0.5*(x+i*y)*(e(i*x-y) + e(-i*x+y)) = = 0.5*(x+i*y)*(e-y*e(i*x) + ey*e(-i*x)) = 0.5*(x+i*y)*(e-y*(cosx+i*sinx) + ey*(cosx-i*sinx)) = = 0.5*(x+i*y)*((e-y+ey)*cosx+i*(e-y-ey)*sinx) = 0.5*(x+i*y)*(2*ch(y)*cosx - i*2*sh(y)*sinx) = (x+i*y)*(ch(y)*cosx - i*sh(y)*sinx) = = x*ch(y)*cosx - i*x*sh(y)*sinx + i*y*ch(y)*cosx - i*y*i*sh(y)*sinx = x*ch(y)*cosx + y*sh(y)*sinx - i*x*sh(y)*sinx + i*y*ch(y)*cosx = = (x*ch(y)*cosx + y*sh(y)*sinx) + i*(-x*sh(y)*sinx + y*ch(y)*cosx) Значит u(x,y) = x*ch(y)*cosx + y*sh(y)*sinx , v(x,y) = -x*sh(y)*sinx + y*ch(y)*cosx Вычисляе м частные производные du(x,y)/dx = ch(y)*cosx - x*ch(y)*sinx + y*sh(y)*cosx , du(x,y)/dy = x*sh(y)*cosx + sh(y)*sinx + y*ch(y)*sinx dv(x,y)/dx = -sh(y)*sinx - x*sh(y)*cosx - y*ch(y)*sinx , dv(x,y)/dy = -x*ch(y)*sinx + ch(y)*cosx + y*sh(y)*cosx ⇒ du(x,y)/dx = dv(x,y)/dy , du(x,y)/dy = - dv(x,y)/dx (это и есть условия Коши-Римана) То есть условия Коши-Римана выполняются при любых х и у, значит функция аналитическая на всей комплексной плоскости
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Alik4546. Теория по вопросу URL >>Условия Коши — Римана Функция комплексного переменного f(z)=u+i*v состоит из вещественной u=u(x,y) и мнимой v=v(x,y) частей. Найдем u и v для данной функции. z=x+i*y f(z)=z*cos(z)=(x+i*y)*cos(x+i*y)=(x+i*y)*( cos(x)*cos(i*y) - sin(x)*sin(i*y) )=x*cos(x)*cos(i*y) - x*sin(x)*sin(i*y) + i*y*cos(x)*cos(i*y) - i*y*sin(x)*sin(i*y)= ={ cos(i*y)=ch(y), sin(i*y)=i*sh(y) }=x*cos(x)*ch(y) - x*sin(x)*i*sh(y) + i*y*cos(x)*ch(y) - i*y*sin(x)*i*sh(y)={ i*i=-1 }= =x*cos(x)*ch(y) - i*x*sin(x)*sh(y) + i*y*cos(x)*ch(y) + y*sin(x)*sh(y)=[ x*cos(x)*ch(y)+ y*sin(x)*sh(y) ] +i*[ y*cos(x)*ch(y) - x*sin(x)*sh(y) ] Т.о. u=u(x,y)=x*cos(x)*ch(y)+ y*sin(x)*sh(y) v=v(x,y)=y*cos(x)*ch(y) - x*sin(x)*sh(y) Найдем du/dx и dv/dy и проверим выполнение равенства du/dx = dv/dy du/dx=cos(x)*ch(y)-x*sin(x)*ch(y)+y*cos(x)*sh(y) dv/dy=cos(x)*ch(y)-x*sin(x)*ch(y)+y*cos(x)*sh(y) => du/dx = dv/dy Найдем du/dy и dv/dx и проверим выполнение равенства du/dy = - dv/dx du/dy=x*cos(x)*sh(y)+sin(x)*sh(y)+y*sin(x)*ch(y) dv/dx=-( x*cos(x)*sh(y)+sin(x)*sh(y)+y*sin(x)*ch(y) ) => du/dx = - dv/dy Т.к. du/dx = dv/dy и du/dx = - dv/dy, то условиями Коши-Римана выполнены во всей области С. Следовательно функция f(z)=z*cos(z) является аналитической на всей комплексной плоскости С.
Ответ отправил: And0809, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170633:
Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию f(z) по известной действительной u(x,y) или мнимой части v(x,y) и значению f(z0).
Отправлен: 20.07.2009, 22:25 Отвечает Kom906, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. Так как функция аналитическая, то воспользуемся условиями Коши-Римана: du(x,y)/dx = dv(x,y)/dy , du(x,y)/dy = - dv(x,y)/dx Вычисляем частные производные: dv(x,y)/dx = (y-(y)/(x2+y2))'x = -y*(-1)*(1/(x2+y2)2)*2x = (2xy) / (x2+y2)2 dv(x,y)/dy = (y-(y)/(x2+y2))'y = 1 - {(1*(x2+y2) - y*2y) / (x2+y2)2} = = 1 - {(x2 - y2) / (x2+y2)2} ⇒ du(x,y)/dx = dv(x,y)/dy = 1 - {(x2 - y2) / (x2+y2)2} ⇒ du(x,y)/dy = - dv(x,y)/dx = - (2xy) / (x2+y2)2 Тогда, общий вид функции u(x,y): u(x,y) = g(x) + ∫ (du(x,y)/dy) dy = g(x) - ∫ (2xy*dy) / (x2+y2)2 = = / d(x2+y2)= (x2+y2)'y *dy = 2y*dy/ = g(x) - x*∫ d(x2+y2) / (x2+y2)2 = = g(x) - x*(-1)/(x2+y2) = g(x) + x/(x2+y2) , где g(x) - неизвестная функция от х Определяем функцию g(x): du(x,y)/dx = {g(x) + x/(x2+y2)}'x = g'(x) + (1*(x2+y2) - x*2x)/(x2+y2)2 = = g'(x) + (-x2+y2)/(x2+y2)2 ≡ 1 - {(x2 - y2) / (x2+y2)2} ⇒ g'(x) = 1 g(x) = ∫ 1*dx = x + C , где С - неизвестная константа ⇒ u(x,y) = x + C + x/(x2+y2) Определяем константу С. Так как f(1)=2, то есть при х = 1 и у = 0 функции u(x,y) = 2 и v(x,y) = 0 (легко проверяется проверкой). Тогда: u(1,0) = 1 + C + 1/(12+02) = 1 + С + 1 = 2 , ⇒ С =0 Итак u(x,y) = x + x/(x2+y2) Тогда искомая функция имеет вид: f(z) = u(x,y) + i*v(x,y) = u(x,y) = x + x/(x2+y2) + i*{y-(y)/(x2+y2)} = (x+i*y) + (x-i*y)/(x2+y2) = z + z/|z|2 Здесь z - комплексно-сопряженное число к числу z, реально обозначается как z подчеркнутое сверху (как вектор) (не нашел лучшего кода); |z| - модуль z
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: оценить выпуск >>
подать вопрос экспертам этой рассылки >>Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009 |
| В избранное | ||
