Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Июль 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 770
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 764
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 714
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 966 от 18.07.2009, 00:05
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 229, экспертов - 134
В номере: вопросов - 2, ответов - 4

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170384: Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд: ∑(n=1...∞)1/(2*√(n+2))...

Вопрос № 170388: Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд: ∑(n=1...∞)1/(n5+1)1/4...
Вопрос № 170384:

Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд:
∑(n=1...∞)1/(2*√(n+2))

Отправлен: 12.07.2009, 18:34
Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
Всего ответов: 2
Страница вопроса >>

Отвечает And0809, 5-й класс :
Здравствуйте, Alik4546.

an=1/(2*√(n+2))

Расмотрим ряд ∑(n=1...∞)1/√(n+2) (вынесение постоянного сомножителя за знак суммы не повлияет на сходимость).

Сравним его с гармоническим рядом 1/n, который как известно расходится.
Сравним 1/√(n+2) и 1/n
докажем, что 1/√(n+2) > 1/n
т.к. обе части неравенства >0, то можно возводить в квадрат.
1/(n+2) > 1/n2
n+2 < n2
очевидно, что n+2 < n2 при n>2
следовательно
1/√(n+2)> 1/n при n>2

Т.о. начиная с третьего члена ряда 1/√(n+2) > 1/n
(отметим что первые два (как и любое конечное число членов ряда) не могут повлиять на сходимость)

расмотрим ряд ∑(n=3...∞)1/√(n+2),
т.к. все его члены больше членов расходящегося ряда ∑(n=3...∞)1/n, то ряд расходится.
Ряд ∑(n=1...∞)1/√(n+2)=1/√3+1/2+∑(n=3...∞)1/√(n+2) тоже расходится.

Ответ отправил: And0809, 5-й класс
Ответ отправлен: 12.07.2009, 19:10

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252101 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Kom906, 5-й класс :
    Здравствуйте, Alik4546.

    Применим интегральный признак Коши
    Пусть f(x) = 1/(2*√(x+2))
    При x > 0 функция неотрицательная и убывающая. Последнее легко доказывается, вычислением производной функции:
    f'(x) = [1/(2*√(x+2))]' = (1/2)*[(x+2)^(-1/2)]' = (1/2)*(-1/2)*[(x+2)^(-3/2)] = - 1/[4*(x+2)*√(x+2)] < 0
    Значит, интегральный признак Коши применим.

    Тогда исследуем на сходимость несобственный интеграл

    I = ∫{от 1 до +∞}f(x) dx = lim{A->+∞}∫{от 1 до A}1/(2*√(x+2)) dx = lim{A->+∞}∫{от 1 до A}(1/2)*((x+2)^(-1/2)) dx =

    = lim{A->+∞}(1/2)*(1/(-1/2+1))*((x+2)^(-1/2+1))|{от 1 до A} = lim{A->+∞}√(x+2)|{от 1 до A} = lim{A->+∞}(√(A+2) - √(3)) = +∞

    То есть несобственный интеграл расходится. По интегральному признаку Коши ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом.
    Следовательно, ряд расходится.

    Редактирование по просьбе ответившего.
    -----
    ∙ Отредактировал: Sel, Младший модератор
    ∙ Дата редактирования: 12.07.2009, 19:47 (время московское)

    Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
    Ответ отправлен: 12.07.2009, 19:17

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252102 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 170388:

    Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд:
    ∑(n=1...∞)1/(n5+1)1/4

    Отправлен: 12.07.2009, 21:49
    Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает Kom906, 5-й класс :
    Здравствуйте, Alik4546.

    1. Применим второй признак сравнения
    Сравним исходный ряд с рядом
    ∑{n=1 ... ∞}1/n5/4
    Формулы общих членов рядов:

    an = 1/(n5+1)1/4

    bn = 1/n5/4

    Тогда:

    I = lim{n->∞}(an/bn) = lim{n->∞}(n5/4/(n5+1)1/4)) =

    = lim{n->∞}(n5/4:n5/4)/(n5+1)1/4:n5/4) = lim{n->∞}1/(1+1/n5)1/4) = 1/1 = 1 > 0

    Следовательно, по второму признаку сравнения рядов, оба ряда сходятся или расходятся одновременно

    2. Исследуем на сходимость ряд ∑{n=1 ... ∞}1/n5/4
    Применим интегральный признак Коши
    Пусть f(x) = 1/x5/4
    Тогда проверим сходимость несобственного интеграла

    I = ∫{от 1 до +∞}f(x) dx = lim {A->+∞}W 47;{от 1 до A}(1/x5/4) dx = lim {A->+∞} (1/(-5/4+1))*x(-5/4+1) |{от 1 до A} =

    = lim {A->+∞}(-4/x1/4) |{от 1 до A} = lim {A->+∞}(-4/A1/4 + 4/11/4) = (-4/∞) + (4/1) = 0 + 4 = 4

    Следовательно, несобственный интеграл сходится, а значит и сходится ряд ∑{n=1 ... ∞}1/n5/4 согласно интегральному признаку Коши

    Значит и сходится исходный ряд согласно второму признакусравнения
    По просьбе автора
    -----
    ∙ Отредактировал: Victor Pyrlik, Модератор
    ∙ Дата редактирования: 12.07.2009, 22:33 (время московское)

    Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
    Ответ отправлен: 12.07.2009, 22:01

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252106 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает And0809, 5-й класс :
    Здравствуйте, Alik4546.

    Т.к. 1/n5/4 > 1/(n5+1)1/4, то по признаку сравнения исследуем на сходимость ряд ∑(n=1...∞) 1/n5/4

    применим интегральный признак сходимости рядов:
    Ряд ∑(n=1..∞)f(n) сходится или расходится одновременно с интегралом ∫(x=1..∞)f(x) dx.
    т.е. если интеграл сходится, то сходтися ряд. если интеграл расходится, то расходится и ряд.

    Выичслим несобственный интеграл
    ∫(x=1..∞) 1/x5/4 dx=∫(x=1..∞) x-5/4 dx=x-1/4/(-1/4)|(x=1..∞) =
    = -4*1/x1/4 |(x=1..∞) = -4*( lim(b→∞) 1/b1/4 - 1/11/4 )=-4*(0-1)=4.

    Т.к. несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд.

    Ответ отправил: And0809, 5-й класс
    Ответ отправлен: 12.07.2009, 22:34

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252107 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009
    В избранное